Đề bài
Cho hình chữ nhật \[ABCD, AC\] và \[BD\] cắt nhau tại \[I\]. Gọi \[H, K, L\] và \[J\] lần lượt là trung điểm của \[AD, BC, KC\] và \[IC\]. Chứng minh hai hình thang \[JLKI\] và \[IHDC\] đồng dạng với nhau.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Thực hiện liên tiếp hai phép biến hình sau:
- Phép vị tự tâm \[C\] tỉ số \[2.\]
- Phép đối xứng tâm \[I.\]
Lời giải chi tiết
Ta có: \[J, L, K, I\] là trung điểm của \[CI, CK, CB, CA\] nên
\[\overrightarrow{CI}=2\overrightarrow{CJ}\] \[\Rightarrow {V_{\left[ {C,2} \right]}}\left[ J \right] = I\]
\[\overrightarrow{CK}=2\overrightarrow{CL}\] \[\Rightarrow {V_{\left[ {C,2} \right]}}\left[ L \right] = K,\]
\[\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CK}\] \[\Rightarrow {V_{\left[ {C,2} \right]}}\left[ K \right] = B,\]
\[\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{CI}\] \[{V_{\left[ {C,2} \right]}}\left[ I \right] = A\]
Do đó \[{V_{\left[ {C,2} \right]}}\left[ {JLKI} \right] = IKBA\].
Lại có, \[{D_I}\left[ I \right] = I,{D_I}\left[ K \right] = H\]
\[{D_I}\left[ B \right] = D,{D_I}\left[ A \right] = C\]
Nên \[{D_I}\left[ {IKBA} \right] = IHDC\].
Do đó tồn tại phép đồng dạng [hợp bởi phép vị tự và phép đối xứng tâm] biến hình thang \[JLKI\] thành hình thang \[IHDC\].
Vậy hai hình thang \[JLKI\] và hình thang \[IHDC\] đồng dạng.
Cách khác:
+ \[I\] là trung điểm \[AC; BD; HK\]
\[ \Rightarrow {\rm{ }}{_I}\left[ H \right] = K{\rm{ }};{_I}\left[ D \right] = B{\rm{ }};{_I}\;\left[ C \right] = {\rm{ }}A.\]
\[\] Hình thang \[IKBA\] đối xứng với hình thang \[IHDC\] qua \[I\] [1]
+ \[J; L; K; I\] lần lượt là trung điểm của \[CI; CK; CB; CA\]
\[\] Hình thang \[JLKI\] là ảnh của hình thang \[IKBA\] qua phép vị tự tâm \[C\] tỉ số \[\frac 1 2\]
\[\] Hình thang \[JLKI\] là ảnh của hình thang \[IHDC\] qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm \[I\] và phép vị tự tâm\[ C\] tỉ số\[\frac 1 2\].
\[ IJKI\] và \[IHDC\] đồng dạng.