Đề bài
Cho góc \[xOy\] khác góc bẹt. Trên tia \[Ox\] lấy hai điểm \[A\] và \[B\], trên tia \[Oy\] lấy hai điểm \[C\] và \[D\] sao cho \[OA = OC, OB = OD.\] Gọi \[I\] là giao điểm của hai đoạn thẳng \[AD\] và \[BC.\] Chứng minh rằng:
a] \[BC = AD\]
b] \[IA = IC, IB = ID\]
c] Tia \[OI\] là tia phân giác của góc \[xOy\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh dựa vào các tam giác bằng nhau.
Lời giải chi tiết
a] Xét hai tam giác \[OAD\] và \[OCB\].
Ta có \[OA = OC\] [gt]; \[OD = OB\][gt], góc \[O\] chung
Vậy \[AOD = COB\] [c.g.c]
suy ra \[AD = BC\] [hai cạnh tương ứng].
b] Xét hai tam giác \[AIB\] và \[CID\]. Ta có [theo gt]
\[AB = OB - OA = OD - OC = CD.\]
Mặt khác, do\[AOD = COB\] [câu a] suy ra\[\widehat{ABI} = \widehat{CDI}\] và\[\widehat{OAI} = \widehat{OCI}\]. Từ\[\widehat{OAI} = \widehat{OCI}\] suy ra\[\widehat{BAI} = \widehat{DCI}\] [cặp góc kề bù với các góc bằng nhau]
Vậy \[AIB = CID\] [g.c.g] suy ra \[ IC = IA\] và \[ID = IB\] [hai cạnh tương ứng]
c] Ta có \[ OBI = ODI\] [c.c.c], suy ra \[\widehat{AOI} = \widehat{COI}\].
Hơn nữa, hiển nhiên \[I\] nằm bên trong góc \[xOy\]. Vậy \[OI\] là tia là phân giác của\[\widehat{xOy}\].