Đề bài
Ba số có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, hoặc là các số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng để tổng của chúng là 820 ?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức của CSC: \[{u_n} = {u_k} + \left[ {n - k} \right]d\]
Tính chất CSN: \[{u_{k + 1}}.{u_{k - 1}} = u_k^2\]
Tổng CSC: \[{S_n} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left[ {n - 1} \right]d} \right]}}{2}\]
Lời giải chi tiết
Gọi số hạng thứ hai của cấp số cộng là \[{u_2},\]ta có
\[{u_9} = {u_2} + 7d,{u_{44}} = {u_2} + 42d.\]
Tổng ba số là \[217\] nên \[\left[ {{u_2} + 7d} \right] + {u_2} + \left[ {{u_2} + 42d} \right] = 217\] \[ \Leftrightarrow 3{u_2} + 49d = 217\]
Lại có: \[{u_2}.{u_{44}} = u_9^2\]\[ \Leftrightarrow {u_2}\left[ {{u_2} + 42d} \right] = {\left[ {{u_2} + 7d} \right]^2}\] \[ \Leftrightarrow 42{u_2}d = 14{u_2}d + 49{d^2}\] \[ \Leftrightarrow 4{u_2}d = 7{d^2} \Leftrightarrow 4{u_2} = 7d\]
Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}4{u_2} = 7d\\3{u_2} + 49d = 217\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 7\\d = 4\end{array} \right. \Rightarrow {u_1} = 7 - 4 = 3\]
Tổng của CSC: \[820 = \dfrac{{n\left[ {2.3 + \left[ {n - 1} \right].4} \right]}}{2}\] \[ \Leftrightarrow 4{n^2} + 2n - 1640 = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 20\left[ {TM} \right]\\n = - \dfrac{{41}}{2}\left[ {loai} \right]\end{array} \right.\]
Vậy \[n = 20.\]