Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] nội tiếp đường tròn \[[O]\] và tia phân giác của góc \[A\] cắt đường tròn tại \[M\]. Vẽ đường cao \[AH\]. Chứng minh rằng:
a] \[OM\] đi qua trung điểm của dây \[BC\]
b] \[AM\] là tia phân giác của góc \[OAH\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng : Đường kính đi qua điểm chính giữa một cung thì vuông góc và đi qua trung điểm của dây căng cung đó
+ Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song và tính chất tam giác cân.
Lời giải chi tiết
a] \[AM\] là tia phân giác góc \[A\] \[\Rightarrow \widehat {BAM} = \widehat {CAM}\]
Vì \[\widehat {BAM}\] và \[\widehat {MAC}\] là hai góc nội tiếp \[ \Rightarrow\overparen{BM}=\overparen{MC}\] hay \[M\] là điểm chính giữa của cung \[BC.\]
Theo định lý về đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung ta có \[OM \bot BC\] và \[OM\] đi qua trung điểm dây \[BC\].
b] Theo câu a] ta có \[OM \bot BC\]
Theo giả thiết \[AH \bot BC\]
Vậy \[AH//OM\]
Do đó, \[\widehat {OMA} = \widehat {MAH}\] [so le trong] .
Mặt khác, \[\Delta AOM\] cân vì \[OM = OA\].
Do đó, ta có \[\widehat {MAO} = \widehat {AMO}\]
hay \[AM\] là tia phân giác của góc \[OAH.\]