Đề bài
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM [4 điểm].
Hãy chọn và ghi lại chữ cái trước đáp án mà em chọn vào bài làm.
Câu 1:Trong các cung lượng giác có số đo sau, cung nào có cùng điểm cuối với cung có số đo \[\dfrac{{13\pi }}{4}?\]
A.\[\dfrac{{3\pi }}{4}\]
B.\[ - \dfrac{{3\pi }}{4}\]
C.\[ - \dfrac{\pi }{4}\]
D.\[\dfrac{\pi }{4}\]
Câu 2:Cho \[\sin \alpha = \dfrac{1}{2},\] giá trị của biểu thức \[P = 3{\cos ^2}\alpha + 4{\sin ^2}\alpha \] bằng
A.\[\dfrac{{13}}{4}\]
B.\[\dfrac{7}{4}\]
C.\[\dfrac{{15}}{4}\]
D.\[7\]
Câu 3:Cho \[A,B,C\] là ba góc của một tam giác. Khằng định nào sau đây làsai?
A.\[\cos \left[ {A + B} \right] = - \cos C\]
B.\[\cot \dfrac{A}{2} = \tan \left[ {\dfrac{{B + C}}{2}} \right]\]
C.\[\cos \left[ {A + C} \right] - \cos B = 0\]
D.\[\cos \left[ {2A + B + C} \right] = - \cos A\]
Câu 4:Cho điểm \[B\left[ {0;3} \right]\] và đường thẳng \[\Delta :x - 5y - 2 = 0\]. Đường thẳng đi qua B và song song với \[\Delta \] có phương trình là:
A.\[x - 5y - 15 = 0\]
B.\[5x + y - 3 = 0\]
C.\[5x - y + 3 = 0\]
D.\[x - 5y + 15 = 0\]
Câu 5:Trong mặt phẳng \[Oxy,\] tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \[\left[ \Delta \right]:2x + y - 3 = 0\] và \[\left[ d \right]:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = t\end{array} \right.\] là
A.\[\left[ {0;3} \right]\]
B.\[\left[ { - 2;1} \right]\]
C.\[\left[ {3;0} \right]\]
D.\[\left[ {2; - 1} \right]\]
Câu 6:Phương trình tiếp tuyến tại điểm \[M\left[ {3;4} \right]\] với đường tròn \[\left[ C \right]:{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 3 = 0\] là
A.\[x - y - 7 = 0\]
B.\[x + y + 7 = 0\]
C.\[x + y - 7 = 0\]
D.\[x + y - 3 = 0\]
Câu 7:Cho Elip \[\left[ E \right]\] có phương trình chính tắc là: \[\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1.\] Khẳng định nào sau đây làsai?
A.Tâm sai của \[\left[ E \right]\] là \[e = \dfrac{5}{4}\].
B.Tọa độ các đỉnh nằm trên trục lớn là \[A\left[ {5;0} \right],A'\left[ { - 5;0} \right]\].
C.Độ dài tiêu cự là \[8.\]
D.Tọa độ các đỉnh nằm trên trục nhỏ là \[B\left[ {0;3} \right],B'\left[ {0; - 3} \right]\].
Câu 8:Cho nhị thức \[f\left[ x \right] = ax + b,a \ne 0\] và số \[\alpha \] thỏa mãn điều kiện \[a.f\left[ \alpha \right] < 0\]. Khi đó:
A.\[a > \dfrac{{ - b}}{a}\]
B.\[\alpha < \dfrac{b}{a}\]
C.\[\alpha > \dfrac{b}{a}\]
D.\[\alpha < \dfrac{{ - b}}{a}\]
Câu 9:Giá trị của \[m\] để hàm số \[y = \left[ {2m - 1} \right]x + 1\] luôn đồng biến là
A.\[m = - \dfrac{1}{2}\]
B.\[m = \dfrac{1}{2}\]
C.\[m > \dfrac{1}{2}\]
D.\[m < \dfrac{1}{2}\]
Câu 10:Bảng xét dấu sau là của biểu thức \[f\left[ x \right]\] nào dưới đây?
A.\[f\left[ x \right] = - {x^2} + x - 6\]
B.\[f\left[ x \right] = {x^2} + x - 6\]
C.\[f\left[ x \right] = - {x^2} - x + 6\]
D.\[f\left[ x \right] = {x^2} - x - 6\]
Câu 11:Tập nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 3 < 0\\ - 6x + 12 > 0\end{array} \right.\] là
A.\[\left[ {1;3} \right]\]
B.\[\left[ {1;2} \right]\]
C.\[\left[ { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right]\]
D.\[\left[ { - \infty ;2} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right]\]
Câu 12:Cho \[\cos a = - \dfrac{5}{{13}}\] và \[\pi < a < \dfrac{{3\pi }}{2}\]. Tính \[\sin 2a\].
A.\[\sin 2a = - \dfrac{{120}}{{169}}\]
B.\[\sin 2a = \pm \dfrac{{120}}{{169}}\]
C.\[\sin 2a = \dfrac{{119}}{{169}}\]
D.\[\sin 2a = \dfrac{{120}}{{169}}\]
Câu 13:Đẳng thức nào sau đây làsai? [với điều kiện các biểu thức xác đinh]
A.\[\cos \left[ {\alpha - \beta } \right]\] \[ = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \]
B.\[\sin \left[ {\alpha - \beta } \right]\] \[ = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \]
C.\[\sin \left[ {\alpha + \beta } \right]\] \[ = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \]
D.\[\tan \left[ {\alpha - \beta } \right] = \dfrac{{\tan \alpha - \tan \beta }}{{1 + \tan \alpha .\tan \beta }}\]
Câu 14:Biểu thức \[A = \dfrac{{1 + \sin 2x + \cos 2x}}{{1 + \sin 2x - \cos 2x}}\] được rút gọn thành
A.\[\tan x\]
B.\[2\cot x\]
C.\[\cot x\]
D.\[\tan 2x\]
Câu 15:Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng \[{\Delta _1}:x - 2y + 3 = 0\] và \[{\Delta _2}:x + 3y - 5 = 0\]
A.\[{60^0}\]
B.\[{45^0}\]
C.\[{30^0}\]
D.\[{135^0}\]
Câu 16:Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn có tâm \[I\left[ {1;3} \right]\] và bán kính bằng \[3\]?
A.\[{x^2} + {y^2} - 2x - 6y = 0\]
B.\[{x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 1 = 0\]
C.\[{x^2} + {y^2} - 2x + 3y = 0\]
D.\[{x^2} + {y^2} - 3y - 8 = 0\]
PHẦN II: TỰ LUẬN [6 điểm].
Câu 17: [1,5 điểm]
a] [0,75 điểm]Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào \[x\].
\[A = \sin \left[ {x + 3\pi } \right] + \cos \left[ {\dfrac{{5\pi }}{2} - x} \right]\] \[ + \tan \left[ {\dfrac{{3\pi }}{2} + x} \right] + \cot \left[ {x + 5\pi } \right]\]
b] [0,75 điểm]Rút gọn biểu thức
\[B = \dfrac{{\sin 3x\cos x + \sin 2x - \cos 3x\sin x}}{{2\cos x}}\]
Câu 18: [1,5 điểm]
Cho \[f\left[ x \right] = \left[ {{m^2} - 4} \right]{x^2} + \left[ {m - 2} \right]x + 1\].
Tìm các giá trị của m để bất phương trình \[f\left[ x \right] < 0\] vô nghiệm.
Câu 19: [2,5 điểm]
Cho điểm A[1; 3] và đường tròn \[\left[ C \right]\] có tâm I có phương trình \[{x^2} + {y^2} - 6x + 2y + 6 = 0\].
a] [1 điểm]Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AI.
b] [1 điểm]Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \[\left[ C \right]\] kẻ từ điểm A.
c] [0,5 điểm]Tìm tất cả các điểm \[J\] nằm trên đường thẳng \[x = - 1\] sao cho ba điểm \[A,I,J\] tạo thành tam giác cân tại \[A\]
Câu 20: [0,5 điểm]
Cho hai số \[x,y\] thỏa mãn \[4{x^2} + {y^2} = 4\].
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \[M = {x^2} - 3xy + 2{y^2}\].
Lời giải chi tiết
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Thực hiện: Ban chuyên môn
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM
|
1B |
2A |
3C |
4D |
|
5D |
6C |
7A |
8D |
|
9C |
10C |
11B |
12D |
|
13A |
14C |
15B |
16B |
Câu 1 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng hai cung lượng giác hơn kém nhau \[k2\pi \] có cùng điểm cuối với nhau
Cách giải:
Ta thấy \[\dfrac{{13\pi }}{4} - \left[ { - \dfrac{{3\pi }}{4}} \right] = \dfrac{{16\pi }}{4} = 4\pi \] \[ = 2.2\pi \] nên hai cung có số đo \[\dfrac{{13\pi }}{4}\] và \[ - \dfrac{{3\pi }}{4}\] có cùng điểm cuối.
Chọn B
Câu 2 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\]
Cách giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}P = 3{\cos ^2}\alpha + 4{\sin ^2}\alpha \\ = 3{\cos ^2}\alpha + 3{\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha \\ = 3\left[ {{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha } \right] + {\sin ^2}\alpha \\ = 3.1 + {\left[ {\dfrac{1}{2}} \right]^2} = \dfrac{{13}}{4}\end{array}\]
Chọn A
Câu 3 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng mối quan hệ giữa các cung đặc biệt
\[\begin{array}{l}\cos \alpha = - \cos \left[ {\pi - \alpha } \right]\\\cot \alpha = \tan \left[ {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right]\\\cos \alpha = - \cos \left[ {\pi + \alpha } \right]\\\cos \left[ { - \alpha } \right] = \cos \alpha \end{array}\]
Cách giải:
Ta có \[\widehat A + \widehat B + \widehat C = \pi \] nên:
\[\cos \left[ {A + B} \right] = \cos \left[ {\pi - C} \right]\] \[ = - \cos C\], do đó A đúng
\[\cot \dfrac{A}{2} = \tan \left[ {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{A}{2}} \right]\] \[ = \tan \left[ {\dfrac{{A + B + C - A}}{2}} \right] = \tan \dfrac{{B + C}}{2}\] nên B đúng
\[\cos \left[ {A + C} \right] = \cos \left[ {\pi - B} \right]\] \[ = - \cos B\] nên \[\cos \left[ {A + C} \right] + \cos B = 0\], do đó C sai
\[\cos \left[ {2A + B + C} \right]\] \[ = \cos \left[ {A + A + B + C} \right]\] \[ = \cos \left[ {\pi + A} \right] = - \cos A\] nên D đúng
Chọn C
Câu 4 [TH]:
Phương pháp:
Đường thẳng đi qua \[M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] và có 1 VTPT \[\overrightarrow n = \left[ {a;b} \right]\] có phương trình: \[a\left[ {x - {x_0}} \right] + b\left[ {y - {y_0}} \right] = 0\]
Cách giải:
Đường thẳng \[d\] song song với \[\Delta :x - 5y - 2 = 0\] có dạng \[x - 5y + c = 0\] với \[c \ne - 2\]
Lại có \[B \in d\] nên \[0 - 5.3 + c = 0 \Leftrightarrow c = 15\] [thỏa mãn]
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là \[x - 5y + 15 = 0\]
Chọn D
Câu 5 [TH]:
Phương pháp:
Giải hệ phương trình gồm 2 phương trình đường thẳng ta có tọa độ giao điểm cần tìm
Cách giải:
Tọa độ giao điểm \[\left[ {x;y} \right]\] của \[\left[ \Delta \right]\] và \[\left[ d \right]\] là nghiêm của hệ phương trình:
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 3 = 0\\x = 3 + t\\y = t\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = t\\2\left[ {3 + t} \right] + t - 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = t\\3t + 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\x = 2\\y = - 1\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là \[\left[ {2; - 1} \right]\]
Chọn D
Câu 6 [TH]:
Phương pháp:
Phương trình tiếp tuyến tại \[M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] của đường tròn tâm \[I\left[ {a;b} \right]\] nhận \[\overrightarrow {IM} = \left[ {{x_0} - a;{y_0} - b} \right]\] làm VTPT là: \[\left[ {{x_0} - a} \right]\left[ {x - {x_0}} \right] + \left[ {{y_0} - b} \right]\left[ {y - {y_0}} \right] = 0\]
Cách giải:
Đường tròn \[\left[ C \right]\] có tâm \[I\left[ {1;2} \right]\]
Phương trình tiếp tuyến của \[\left[ C \right]\] tại \[M\left[ {3;4} \right]\] là:
\[\left[ {3 - 1} \right]\left[ {x - 3} \right] + \left[ {4 - 2} \right]\left[ {y - 4} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow 2x + 2y - 14 = 0\] \[ \Leftrightarrow x + y - 7 = 0\]
Chọn C
Câu 7 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng: Elip \[\left[ E \right]:\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left[ {a > b > 0} \right]\]
Có \[{c^2} = {a^2} - {b^2}\]
Tâm sai \[e = \dfrac{c}{a}\]
Tiêu cự có độ dài \[2c\]
Các đỉnh của \[\left[ E \right]\] có tọa độ là \[\left[ {a;0} \right],\left[ { - a;0} \right],\] \[\left[ {0;b} \right],\left[ {0; - b} \right]\]
Cách giải:
Elip \[\left[ E \right]:\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\] có \[a = 5;b = 3\] \[ \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 4\]
Nên tâm sai \[e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{4}{5}\] , do đó A sai.
Chọn A
Câu 8 [TH]:
Phương pháp:
Thay \[\alpha \] vào \[f\left[ a \right]\] rồi giải bất phương trình thu được
Cách giải:
Ta có: \[a.f\left[ \alpha \right] < 0\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow a.\left[ {a\alpha + b} \right] < 0\\ \Leftrightarrow {a^2}\alpha + ab < 0\\ \Leftrightarrow {a^2}\alpha < - ab\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow \alpha < - \dfrac{{ab}}{{{a^2}}}\] [vì \[{a^2} > 0\] với \[a \ne 0\]]
\[ \Leftrightarrow \alpha < - \dfrac{b}{a}\]
Chọn D
Câu 9 [TH]:
Phương pháp:
Hàm số \[y = ax + b\] đồng biến khi \[a > 0\]
Cách giải:
Hàm số \[y = \left[ {2m - 1} \right]x + 1\] đồng biến khi \[2m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{2}\]
Chọn C
Câu 10 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai \[f\left[ x \right] = a{x^2} + bx + c\left[ {a \ne 0} \right]\] có hai nghiệm \[{x_1} < {x_2}\]
Nếu \[a < 0\] thì \[f\left[ x \right] < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < {x_1}\\x > {x_2}\end{array} \right.\] và \[f\left[ x \right] > 0 \Leftrightarrow {x_1} < x < {x_2}\]
Cách giải:
Từ bảng xét dấu suy ra tam thức cần tìm có hệ số \[a < 0\] và có hai nghiệm \[x = - 3;x = 2\]
Vì \[a < 0\] nên ta loại B và D
Thay \[x = 2\] vào hai hàm số ở A và C ta thấy ở đáp án A có \[f\left[ 2 \right] = - {2^2} + 2 - 6\] \[ = - 8 \ne 0\] và đáp án C có \[f\left[ 2 \right] = - {2^2} - 2 + 6 = 0\], nên loại A, chọn C.
Chọn C
Câu 11 [TH]:
Phương pháp:
Giải hai bất phương trình rồi lấy giao hai tập nghiệm
Cách giải:
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 3 < 0\\ - 6x + 12 > 0\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 3} \right] < 0\\ - 6x > - 12\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 < x < 3\\x < 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow 1 < x < 2\end{array}\]
Vậy hệ bất phương trình có tập nghiệm \[S = \left[ {1;2} \right]\]
Chọn B
Câu 12 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng: \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\] và \[\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \]
Cách giải:
Ta có: \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha + {\left[ { - \dfrac{5}{{13}}} \right]^2} = 1\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = \dfrac{{144}}{{169}}\end{array}\]
\[ \Rightarrow \sin \alpha = - \dfrac{{12}}{{13}}\] [do \[\pi < \alpha < \dfrac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \sin \alpha < 0\]]
Khi đó \[\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \] \[ = 2.\dfrac{{ - 12}}{{13}}.\dfrac{{ - 5}}{{13}} = \dfrac{{120}}{{169}}\]
Chọn D
Câu 13 [NB]:
Phương pháp:
Sử dụng các công thức:
\[\begin{array}{l}\sin \left[ {a \pm b} \right] = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b\\\cos \left[ {a \pm b} \right] = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b\end{array}\]
Cách giải:
Ta có \[\cos \left[ {\alpha - \beta } \right] = \cos \alpha \cos \beta + \sin a\sin \beta \] nên A sai.
Chọn A
Câu 14 [VD]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức \[\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\]\[ = 1 - 2{\sin ^2}\alpha \] và \[\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \]
Cách giải:
Ta có:
\[A = \dfrac{{1 + \sin 2x + \cos 2x}}{{1 + \sin 2x - \cos 2x}}\] \[ = \dfrac{{1 + \sin 2x + 2{{\cos }^2}x - 1}}{{1 + \sin 2x - \left[ {1 - 2{{\sin }^2}x} \right]}}\]
\[ = \dfrac{{2\sin x\cos + 2{{\cos }^2}x}}{{2\sin x\cos x + 2{{\sin }^2}x}}\] \[ = \dfrac{{2\cos x\left[ {\sin x + \cos x} \right]}}{{2\sin x\left[ {\cos x + \sin x} \right]}}\] \[ = \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}} = \cot x\]
Chọn C
Câu 15 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng: Góc giữa \[{\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\] và \[{\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\] là \[\alpha \]
Ta có: \[\cos \alpha = \dfrac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\]
Cách giải:
Gọi góc giữa hai đường thẳng \[{\Delta _1};{\Delta _2}\] là \[\alpha \]
Ta có: \[\cos \alpha = \dfrac{{\left| {1.1 + \left[ { - 2} \right].3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left[ { - 2} \right]}^2}} .\sqrt {{1^2} + {3^2}} }}\] \[ = \dfrac{5}{{5\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\]
Suy ra \[\alpha = {45^0}\] .
Chọn B
Câu 16 [NB]:
Phương pháp:
Phương trình đường tròn tâm \[I\left[ {a;b} \right]\] và bán kính \[R\] là \[{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y - b} \right]^2} = {R^2}\]
Cách giải:
Phương trình đường tròn tâm \[I\left[ {1;3} \right]\] và bán kính bằng \[3\] là \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 3} \right]^2} = 9\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 1 = 0\]
Chọn B
PHẦN II: TỰ LUẬN [6 điểm]
Câu 17 [VD]:
Phương pháp:
a] Sử dụng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt để rút gọn biểu thức.
b] Sử dụng công thức cộng và công thức nhân đôi:
\[\sin \left[ {a - b} \right]\] \[ = \sin a\cos b - \sin b\cos a\]
\[\sin 2a = 2\sin a\cos a\]
Cách giải:
a] [0,75 điểm] Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào\[x\].
\[A = \sin \left[ {x + 3\pi } \right] + \cos \left[ {\dfrac{{5\pi }}{2} - x} \right]\] \[ + \tan \left[ {\dfrac{{3\pi }}{2} + x} \right] + \cot \left[ {x + 5\pi } \right]\]
Ta có:
\[\begin{array}{l} + ]\,\sin \left[ {x + 3\pi } \right]\\ = \sin \left[ {x + \pi + 2\pi } \right]\\ = \sin \left[ {x + \pi } \right] = - \sin x\\ + ]\,\,\cos \left[ {\dfrac{{5\pi }}{2} - x} \right]\\ = \cos \left[ {2\pi + \dfrac{\pi }{2} - x} \right]\\ = \cos \left[ {\dfrac{\pi }{2} - x} \right] = \sin x\\ + ]\,\tan \left[ {\dfrac{{3\pi }}{2} + x} \right]\\ = \tan \left[ {2\pi - \dfrac{\pi }{2} + x} \right]\\ = \tan \left[ { - \dfrac{\pi }{2} + x} \right]\\ = \tan \left[ { - \left[ {\dfrac{\pi }{2} - x} \right]} \right]\\ = - \tan \left[ {\dfrac{\pi }{2} - x} \right] = - \cot x\\ + ]\,\cot \left[ {x + 5\pi } \right] = \cot x\end{array}\]
\[ \Rightarrow A = - \sin x + \sin x - \cot x + \cot x\] \[ = 0\]
b] [0,75 điểm] Rút gọn biểu thức
\[\begin{array}{l}B = \dfrac{{\sin 3x\cos x + \sin 2x - \cos 3x\sin x}}{{2\cos x}}\\ = \dfrac{{\left[ {\sin 3x\cos x - \cos 3x\sin x} \right] + \sin 2x}}{{2\cos x}}\\ = \dfrac{{\sin \left[ {3x - x} \right] + \sin 2x}}{{2\cos x}}\\ = \dfrac{{\sin 2x + \sin 2x}}{{2\cos x}}\\ = \dfrac{{2\sin 2x}}{{2\cos x}} = \dfrac{{\sin 2x}}{{\cos x}}\\ = \dfrac{{2\sin x\cos x}}{{\cos x}} = 2\sin x\end{array}\]
Câu 18 [VD]:
Phương pháp:
Chia hai trường hợp \[{m^2} - 4 = 0\] và \[{m^2} - 4 \ne 0\].
BPT \[f\left[ x \right] < 0\] vô nghiệm \[ \Leftrightarrow f\left[ x \right] \ge 0\] luôn đúng với mọi \[x \in \mathbb{R}\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\]
Cách giải:
Cho\[f\left[ x \right] = \left[ {{m^2} - 4} \right]{x^2} + \left[ {m - 2} \right]x + 1\].
Tìm các giá trị của m để bất phương trình\[f\left[ x \right] < 0\]vô nghiệm.
TH1: \[{m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 2\end{array} \right.\]
+] Nếu \[m = 2\] thì \[f\left[ x \right] = 1 > 0\] với mọi \[x \in \mathbb{R}\] nên bpt \[f\left[ x \right] < 0\] vô nghiệm [thỏa mãn]
+] Nếu \[m = - 2\] thì \[f\left[ x \right] = - 4x + 1\].
\[\begin{array}{l}f\left[ x \right] < 0 \Leftrightarrow - 4x + 1 < 0\\ \Leftrightarrow - 4x < - 1 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{4}\end{array}\]
Do đó bpt có nghiệm \[x > \dfrac{1}{4}\] [không thỏa mãn].
TH2: \[{m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 2\]
Khi đó bpt \[f\left[ x \right] < 0\] \[ \Leftrightarrow f\left[ x \right] \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 > 0\\{\left[ {m - 2} \right]^2} - 4\left[ {{m^2} - 4} \right] \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 2\end{array} \right.\\{m^2} - 4m + 4 - 4{m^2} + 16 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 2\end{array} \right.\\ - 3{m^2} - 4m + 20 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - \dfrac{{10}}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - \dfrac{{10}}{3}\end{array} \right.\end{array}\]
Kết hợp với \[m = 2\] ta được \[m \ge 2\] hoặc \[m < - \dfrac{{10}}{3}\].
Câu 19 [VD]:
Phương pháp:
a] Tìm tọa độ \[\overrightarrow {AI} \] suy ra tọa độ VTPT của AI.
Từ đó viết được phương trình đường thẳng đi qua A và I.
Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \[M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] và nhận \[\overrightarrow n = \left[ {a;b} \right]\] làm VTPT là:
\[a\left[ {x - {x_0}} \right] + b\left[ {y - {y_0}} \right] = 0\]
b] Gọi \[\overrightarrow n = \left[ {a;b} \right]\] là VTPT của tiếp tuyến \[\Delta \].
Viết dạng phương trình của \[\Delta \] đi qua điểm \[A\].
Sử dụng điều kiện \[\Delta \] là tiếp tuyến với \[\left[ C \right]\] thì \[d\left[ {I,\Delta } \right] = R\] để tìm mối quan hệ giữa a và b.
c] Gọi \[J\left[ { - 1;m} \right]\] thuộc đường thẳng \[x = - 1\].
Sử dụng điều kiện \[\Delta AIJ\] cân tại A thì \[AI = AJ\] tìm \[m\].
Kiểm tra lại điểm J tìm được có thỏa mãn bài toán hay không.
Cách giải:
Cho điểm A[1; 3] và đường tròn\[\left[ C \right]\]có tâm I có phương trình\[{x^2} + {y^2} - 6x + 2y + 6 = 0\].
a] [1 điểm] Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AI.
Đường \[\left[ C \right]\] có tâm \[I\left[ {3; - 1} \right]\].
Ta có: \[\overrightarrow {AI} = \left[ {2; - 4} \right]\] \[ \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AI}}} = \left[ {4;2} \right]\] là một VTPT của \[AI\].
Mà AI đi qua \[A\left[ {1;3} \right]\] nên có phương trình tổng quát:
\[\begin{array}{l}4\left[ {x - 1} \right] + 2\left[ {y - 3} \right] = 0\\ \Leftrightarrow 4x - 4 + 2y - 6 = 0\\ \Leftrightarrow 4x + 2y - 10 = 0\\ \Leftrightarrow 2x + y - 5 = 0\end{array}\]
Vậy \[AI:2x + y - 5 = 0\].
b] [1 điểm] Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn\[\left[ C \right]\]kẻ từ điểm A.
Đường \[\left[ C \right]\] có tâm \[I\left[ {3; - 1} \right]\] và bán kính \[R = \sqrt {{3^2} + {{\left[ { - 1} \right]}^2} - 6} = 2\].
Gọi \[\overrightarrow n = \left[ {a;b} \right]\] là VTPT của tiếp tuyến \[\Delta \].
\[\Delta \] đi qua \[A\left[ {1;3} \right]\] nên phương trình \[\Delta \] có dạng:
\[\begin{array}{l}a\left[ {x - 1} \right] + b\left[ {y - 3} \right] = 0\\ \Leftrightarrow ax - a + by - 3b = 0\\ \Leftrightarrow ax + by - a - 3b = 0\end{array}\]
\[\Delta \] là tiếp tuyến với \[\left[ C \right]\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow d\left[ {I,\Delta } \right] = R\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3a - b - a - 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2a - 4b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2\\ \Leftrightarrow \left| {2\left[ {a - 2b} \right]} \right| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow \left| {a - 2b} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow {\left[ {a - 2b} \right]^2} = {a^2} + {b^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} - 4ab + 4{b^2} = {a^2} + {b^2}\\ \Leftrightarrow - 4ab + 3{b^2} = 0\\ \Leftrightarrow b\left[ { - 4a + 3b} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\3b = 4a\end{array} \right.\end{array}\]
TH1: \[b = 0\], chọn \[a = 1\] ta được \[\Delta :x - 1 = 0\].
TH2: \[3b = 4a\], chọn \[a = 3,b = 4\] ta được \[\Delta :3x + 4y - 15 = 0\].
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: \[{\Delta _1}:x - 1 = 0\] và \[{\Delta _2}:3x + 4y - 15 = 0\].
c] [0,5 điểm] Tìm tất cả các điểm\[J\]nằm trên đường thẳng\[x = - 1\]sao cho ba điểm\[A,I,J\]tạo thành tam giác cân tại\[A\]
Gọi \[J\left[ { - 1;m} \right]\] nằm trên đường thẳng \[x = - 1\].
Ta có: \[AI = \sqrt {{{\left[ {3 - 1} \right]}^2} + {{\left[ { - 1 - 3} \right]}^2}} = 2\sqrt 5 \]
\[AJ = \sqrt {{{\left[ { - 1 - 1} \right]}^2} + {{\left[ {m - 3} \right]}^2}} \] \[ = \sqrt {4 + {{\left[ {m - 3} \right]}^2}} \]
Tam giác AIJ cân tại A
\[\begin{array}{l} \Rightarrow AI = AJ\\ \Leftrightarrow 2\sqrt 5 = \sqrt {4 + {{\left[ {m - 3} \right]}^2}} \\ \Leftrightarrow 20 = 4 + {\left[ {m - 3} \right]^2}\\ \Leftrightarrow 16 = {\left[ {m - 3} \right]^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 3 = 4\\m - 3 = - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 7\\m = - 1\end{array} \right.\end{array}\]
Với \[m = 7\] ta được \[J\left[ { - 1;7} \right]\].
Dễ thấy \[\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x_I} + {x_J}}}{2} = \dfrac{{3 + \left[ { - 1} \right]}}{2} = 1 = {x_A}\\\dfrac{{{y_I} + {y_J}}}{2} = \dfrac{{ - 1 + 7}}{2} = 3 = {y_A}\end{array} \right.\] nên A là trung điểm của IJ [loại].
Với \[m = - 1\] ta được \[J\left[ { - 1; - 1} \right]\] [TM]
Vậy \[J\left[ { - 1; - 1} \right]\].
Chú ý:
Một số em có thể sẽ quên kiểm tra lại điểm J và chọn cả hai điểm là sai.
Câu 20 [VDC]:
Phương pháp:
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}x = \sin t\\y = 2\cos t\end{array} \right.\] thay vào M và tìm GTLN, GTNN của biểu thức.
Cách giải:
Cho hai số\[x,y\]thỏa mãn\[4{x^2} + {y^2} = 4\].
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của\[M = {x^2} - 3xy + 2{y^2}\].
Ta có: \[4{x^2} + {y^2} = 4\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^2} \le 4\\{y^2} \le 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \le 1\\{y^2} \le 4\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 1\\ - 2 \le y \le 2\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}4{x^2} + {y^2} = 4\\ \Leftrightarrow {x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left[ {\dfrac{y}{2}} \right]^2} = 1\end{array}\]
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}x = \sin t\\\dfrac{y}{2} = \cos t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \sin t\\y = 2\cos t\end{array} \right.\]
Ta có:
\[M = {x^2} - 3xy + 2{y^2}\]
\[\begin{array}{l} = {\left[ {\sin t} \right]^2} - 3.\sin t.2\cos t + 2{\left[ {2\cos t} \right]^2}\\ = {\sin ^2}t - 3\sin 2t + 8{\cos ^2}t\\ = \dfrac{{1 - \cos 2t}}{2} - 3\sin 2t + 8.\dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}\\ = \dfrac{{1 - \cos 2t - 6\sin 2t + 8\left[ {1 + \cos 2t} \right]}}{2}\\ = \dfrac{{1 - \cos 2t - 6\sin 2t + 8 + 8\cos 2t}}{2}\\ = \dfrac{{9 + 7\cos 2t - 6\sin 2t}}{2}\end{array}\]
Xét \[N = 7\cos 2t - 6\sin 2t\].
Áp dụng BĐT \[{\left[ {ax + by} \right]^2} \le \left[ {{a^2} + {b^2}} \right]\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]\] ta có:
\[\begin{array}{l}{N^2} = {\left[ {7\cos 2t - 6\sin 2t} \right]^2}\\ \le \left[ {{7^2} + {{\left[ { - 6} \right]}^2}} \right]\left[ {{{\cos }^2}2t + {{\sin }^2}2t} \right]\\ = 85.1 = 85\\ \Rightarrow {N^2} \le 85 \Rightarrow - \sqrt {85} \le N \le \sqrt {85} \end{array}\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow 9 - \sqrt {85} \le 9 + N \le 9 + \sqrt {85} \\ \Rightarrow \dfrac{{9 - \sqrt {85} }}{2} \le M \le \dfrac{{9 + \sqrt {85} }}{2}\end{array}\]
Do đó GTNN của \[M\] là \[\dfrac{{9 - \sqrt {85} }}{2}\] và GTLN của \[M\] là \[\dfrac{{9 + \sqrt {85} }}{2}\].