Bài 1 [2 điểm]. Thực hiện phép tính bằng cách hợp lý [nếu có thể]
\[a]\,\,17.85 + 15.17\]
\[b]\,\,\left[ {{3^{15}}.4 + {{5.3}^{15}}} \right]:{3^{16}}\]
\[c]\,\,\left[ { - 13} \right] + 26 + 74 + 13 + \left[ { - 100} \right]\]
\[d]\,\,\left[ {2019 - 181 + 27} \right] - \left[ { - 18 + 27} \right]\]
Bài 2 [2 điểm]. Tìm số nguyên \[x\] biết:
\[a]\,\,92 - \left[ {17 + x} \right] = 72\]
\[b]\,\,720:\left[ {41 - \left[ {2x + 5} \right]} \right] = 40\]
\[c]\,\,x + 199\] là số nguyên âm lớn nhất
\[d]\,\,2 + \left| {x - 1} \right| = \left| { - 5} \right|\]
Bài 3 [2,5 điểm]. Một số sách sau khi xếp thành từng bó \[10\] cuốn, \[12\] cuốn, \[15\] cuốn, \[18\] cuốn đều thừa \[2\] cuốn. Tính số sách đó biết rằng số sách trong khoảng từ \[350\] đến \[400\] cuốn.
Bài 4 [2,5 điểm]. Trên tia \[Ox\] lấy hai điểm \[A\] và \[B\] sao cho \[OA = 2cm,\,\,OB = 6cm.\]
a] Chứng tỏ rằng điểm \[A\] nằm giữa hai điểm \[O\] và \[B\]. Tính độ dài đoạn thẳng \[AB\].
b] Gọi \[M\] là trung điểm của đoạn thẳng \[AB.\] Tính \[AM,\,\,OM\].
c] Gọi \[Oy\] là tia đối của tia \[Ox\]. Lấy điểm \[K\] trên tia \[Oy\] sao cho \[OK = 4cm.\] Điểm \[O\] có phải là trung điểm của đoạn thẳng \[KM\] không? Vì sao?
Bài 5 [1 điểm].
a] Cho \[A = {9^{23}} + {5.3^{43}}.\] Chứng minh \[A\] chia hết cho \[32\].
b] Chứng minh rằng nếu \[p\] là số nguyên tố lớn hơn \[3\] thì \[\left[ {p - 1} \right]\left[ {p + 1} \right]\] chia hết cho \[24.\]
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Thực hiện: Ban chuyên môn
Bài 1:
Phương pháp
a] Sử dụng tính chất \[ab + ac = a\left[ {b + c} \right]\].
b] Sử dụng: \[ab + ac = a\left[ {b + c} \right]\].
c] Sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp để nhóm các số hạng thích hợp.
d] Sử dụng qui tắc phá ngoặc rồi nhóm các số hạng thích hợp.
Cách giải:
\[a]\,\,17.85 + 15.17 = 17\left[ {85 + 15} \right]\]\[ = 17.100 = 1700\]
\[b]\,\,\left[ {{3^{15}}.4 + {{5.3}^{15}}} \right]:{3^{16}}\]\[ = \left[ {{3^{15}}\left[ {4 + 5} \right]} \right]:{3^{16}} = \left[ {{3^{15}}.9} \right]:{3^{16}}\]
\[ = {3^{15}}{.3^2}:{3^{16}} = {3^{17}}:{3^{16}}\] \[ = {3^{17 - 16}} = 3.\]
\[c]\,\,\left[ { - 13} \right] + 26 + 74 + 13 + \left[ { - 100} \right]\]\[ = \left[ {\left[ { - 13} \right] + 13} \right] + \left[ {26 + 74} \right] + \left[ { - 100} \right]\] \[ = 0 + 100 + \left[ { - 100} \right] = 0\]
\[d]\,\,\left[ {2019 - 181 + 27} \right] - \left[ { - 18 + 27} \right]\]\[ = 2019 - 181 + 27 + 18 - 27\]
\[ = 1938 + 27 - 27 + 18\] \[ = 1938 + 0 + 18 = 1956\]
Bài 2:
Phương pháp
a] Sử dụng qui tắc chuyển vế để tìm \[x\]
b] Sử dụng qui tắc chuyển vế và cách tìm \[x\] khi biết số hạng và tổng, biết số bị chia và thương, biết số bị trừ và hiệu.
c] Tìm số nguyên âm lớn nhất rồi tìm \[x\].
d] Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối, đưa về dạng \[\left| A \right| = m\left[ {m \ge 0} \right]\]
TH1: \[A = m\]
TH2: \[A = - m\]
Cách giải:
\[a]\,\,92 - \left[ {17 + x} \right] = 72\]
\[\begin{array}{l}17 + x = 92 - 72\\17 + x = 20\\x = 20 - 17\\x = 3\end{array}\]
\[b]\,\,720:\left[ {41 - \left[ {2x + 5} \right]} \right] = 40\]
\[\begin{array}{l}41 - \left[ {2x + 5} \right] = 720:40\\41 - \left[ {2x + 5} \right] = 18\\2x + 5 = 41 - 18\\2x + 5 = 23\\2x = 23 - 5\\2x = 18\\x = 18:2\\x = 9\end{array}\]
\[c]\,\,x + 199\] là số nguyên âm lớn nhất
Số nguyên âm lớn nhất là \[ - 1\].
Ta có:
\[\begin{array}{l}x + 199 = - 1\\x = - 1 - 199\\x = - 200\end{array}\]
Vậy \[x = - 200\].
\[d]\,\,2 + \left| {x - 1} \right| = \left| { - 5} \right|\]
\[\begin{array}{l}2 + \left| {x - 1} \right| = 5\\\left| {x - 1} \right| = 5 - 2\\\left| {x - 1} \right| = 3\\TH1:\,x - 1 = 3\\x = 3 + 1\\x = 4\\TH2:\,x - 1 = - 3\\x = 1 + \left[ { - 3} \right]\\x = - 2\end{array}\]
Bài 3 [VD]:
Phương pháp:
- Gọi số sách cần tìm là \[x\], tìm điều kiện của \[x\].
- Sử dụng kiến thức về bội chung để tìm \[x\].
Cách giải:
Gọi số sách cần tìm là \[x\], \[350 \le x \le 400\].
Vì số sách xếp từng bó \[10,12,15\] cuốn đều thừa \[2\] cuốn nên \[\left[ {x - 2} \right] \vdots 10,12,15\]
Do đó \[x - 2 \in BC\left[ {10,12,15} \right]\].
Ta có: \[\left. \begin{array}{l}10 = 2.5\\12 = {2^2}.3\\15 = 3.5\end{array} \right\}\] \[ \Rightarrow BCNN\left[ {10,12,15} \right] = {2^2}.3.5 = 60\]
\[ \Rightarrow BC\left[ {10,12,15} \right]\] \[ = B\left[ {60} \right]\] \[ = \left\{ {0;60;120;180;240;300;360;420;...} \right\}\]
\[ \Rightarrow x - 2 \in \left\{ {0;60;120;180;240;300;360;420;...} \right\}\]
Mà \[350 \le x \le 400\] nên \[348 \le x - 2 \le 398\] hay \[x - 2 = 360\]
\[ \Rightarrow x = 360 + 2 = 362\] cuốn.
Vậy số sách cần tìm là \[362\] cuốn.
Bài 4 [VD]:
Phương pháp:
a] So sánh độ dài \[OA\] và \[OB\].
Sử dụng đẳng thức cộng \[OA + AB = OB\].
b] Điểm \[M\] là trung điểm của \[AB\] thì \[AM = MB = \dfrac{{AB}}{2}\].
c] Để kiểm tra \[O\] có là trung điểm \[KM\] ta kiểm tra \[O\] nằm giữa \[KM\] và \[OK = OM\].
Cách giải:
a] Trên tia \[Ox\], \[A\] nằm giữa \[O\] và \[B\] vì \[OA < OB\left[ {2 < 6} \right]\].
\[\begin{array}{l} \Rightarrow OA + AB = OB\\2 + AB = 6\\AB = 6 - 2\\AB = 4\left[ {cm} \right]\end{array}\]
Vậy \[AB = 4cm\].
b] Điểm \[M\] là trung điểm của \[AB\] thì \[AM = MB = \dfrac{{AB}}{2}\]
\[ \Rightarrow AM = MB = 4:2 = 2\left[ {cm} \right]\].
Trên tia \[BO\], điểm \[M\] nằm giữa \[B,O\] vì \[BM < BO\left[ {2 < 6} \right]\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow BM + MO = BO\\2 + MO = 6\\MO = 6 - 2\\MO = 4\left[ {cm} \right]\end{array}\]
Vậy \[AM = 2cm,OM = 4cm\].
c] Điểm \[O\] nằm giữa hai điểm \[K,M\] vì \[K,M\] nằm trên hai tia đối nhau gốc \[O\].
Mà \[OK = 4cm,OM = 4cm\] nên \[OK = OM\].
Vậy \[O\] là trung điểm của \[KM\].
Bài 5 [VDC]:
Phương pháp:
a] Biến đổi \[A\] về dạng tích có chứa thừa số \[32\].
b] Sử dụng tính chất số nguyên tố có thể có dạng \[6k + 1\] hoặc \[6k + 5\].
Cách giải:
a] Ta có:
\[\begin{array}{l}A = {9^{23}} + {5.3^{43}}\\A = {\left[ {{3^2}} \right]^{23}} + {5.3^{43}}\\A = {3^{46}} + {5.3^{43}}\\A = {3^{43}}\left[ {{3^3} + 5} \right]\\A = {3^{43}}.32 \vdots 32\end{array}\]
Vậy \[A \vdots 32\].
b] Nếu \[p = 5\] thì \[\left[ {5 - 1} \right]\left[ {5 + 1} \right] = 4.6 = 24 \vdots 24\] [đúng].
Nếu \[p > 5\] thì \[p\] có dạng \[6k + 1\] hoặc \[6k + 5\].
+] Nếu \[p = 6k + 1\] thì \[\left[ {p - 1} \right]\left[ {p + 1} \right]\] \[ = \left[ {6k + 1 - 1} \right]\left[ {6k + 1 + 1} \right]\] \[ = 6k.\left[ {6k + 2} \right]\]
\[ = 6k.2\left[ {3k + 1} \right] = 12k\left[ {3k + 1} \right]\]
Nếu \[k\] chẵn thì \[12k \vdots 24\] nên \[12k\left[ {3k + 1} \right] \vdots 24\] hay \[\left[ {p - 1} \right]\left[ {p + 1} \right] \vdots 24\]
Nếu \[k\] lẻ thì \[3k + 1\] chẵn nên \[12k\left[ {3k + 1} \right] \vdots 24\] hay \[\left[ {p - 1} \right]\left[ {p + 1} \right] \vdots 24\]
Do đó nếu \[p = 6k + 1\] thì \[\left[ {p - 1} \right]\left[ {p + 1} \right] \vdots 24\]
+] Nếu \[p = 6k + 5\] thì \[\left[ {p - 1} \right]\left[ {p + 1} \right]\] \[ = \left[ {6k + 5 - 1} \right]\left[ {6k + 5 + 1} \right]\] \[ = \left[ {6k + 4} \right].\left[ {6k + 6} \right]\]
\[ = 2\left[ {3k + 2} \right].6\left[ {k + 1} \right]\]\[ = 12\left[ {k + 1} \right]\left[ {3k + 2} \right]\]
Nếu \[k\] chẵn thì \[3k + 2\] chẵn nên \[12\left[ {k + 1} \right]\left[ {3k + 2} \right] \vdots 24\] hay \[\left[ {p - 1} \right]\left[ {p + 1} \right] \vdots 24\]
Nếu \[k\] lẻ thì \[k + 1\] chẵn nên \[12\left[ {k + 1} \right]\left[ {3k + 2} \right] \vdots 24\] hay \[\left[ {p - 1} \right]\left[ {p + 1} \right] \vdots 24\]
Do đó nếu \[p = 6k + 5\] thì \[\left[ {p - 1} \right]\left[ {p + 1} \right] \vdots 24\].
Vậy với \[p\] nguyên tố lớn hơn \[3\] thì \[\left[ {p - 1} \right]\left[ {p + 1} \right] \vdots 24\].
HẾT