Bài 96. Cho tam giác \[ABC\] nội tiếp đường tròn \[[O]\] và tia phân giác của góc \[A\] cắt đường tròn tại \[M\]. Vẽ đường cao \[AH\]. Chứng minh rằng:
- \[OM\] đi qua trung điểm của dây \[BC\].
- \[AM\] là tia phân giác của góc \[OAH\].
Hướng dẫn trả lời:
- Vì \[AM\] là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\] nên \[\widehat {BAM} = \widehat {MAC}\]
Mà \[\widehat {BAM}\] và \[\widehat {MAC}\] đều là góc nội tiếp của \[[O]\] nên
\[\overparen{BM}\]=\[\overparen{MC}\]
⇒ \[M\] là điểm chính giữa cung \[BC\]
Vậy \[OM \bot BC\] và \[OM\] đi qua trung điểm của \[BC\]
- Ta có : \[OM \bot BC\] và \[AH\bot BC\] nên \[AH//OM\]
\[ \Rightarrow \widehat {HAM} = \widehat {AM{\rm{O}}}\] [so le trong] [1]
Mà \[∆OAM\] cân tại \[O\] nên \[\widehat {AM{\rm{O}}} = \widehat {MAO}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[\widehat {HA{\rm{M}}} = \widehat {MAO}\]
Vậy \[AM\] là đường phân giác của góc \[OAH\]
Bài 97 trang 105 SGK Toán 9 tập 2
Bài 97. Cho tam giác \[ABC\] vuông ở \[A\]. Trên \[AC\] lấy một điểm \[M\] và vẽ đường tròn đường kính \[MC\]. Kẻ \[BM\] cắt đường tròn tại \[D\]. Đường thẳng \[DA\] cắt đường tròn tại \[S\]. Chứng minh rằng:
- \[ABCD\] là một tứ giác nội tiếp;
- \[\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{D}}}\] ;
- \[CA\] là tia phân giác của góc \[SCB\]
Hướng dẫn trả lời:
- Ta có góc \[\widehat {MDC}\] là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \[[O]\] nên \[\widehat {MDC} = {90^0}\]
⇒ \[∆CDB\] là tam giác vuông nên nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\] .
Ta có \[∆ABC\] vuông tại \[A\].
Do đó \[∆ABC\] nội tiếp trong đường tròn tâm \[I\] đường kính \[BC\].
Ta có \[A\] và \[D\] cùng nhìn \[BC\] dưới một góc \[90^0\] không đổi nên tứ giác \[ABCD\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\]
- Ta có \[\widehat {AB{\rm{D}}}\] là góc nội tiếp trong đường tròn \[[I]\] chắn cung \[AD\].
Tương tự góc \[\widehat {AC{\rm{D}}}\] là góc nội tiếp trong đường tròn \[[I]\] chắn cung \[AD\]
Vậy \[\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{D}}}\]
- Ta có:
\[\widehat {S{\rm{D}}M} = \widehat {SCM}\] [vì góc nội tiếp cùng chắn cung \[MS\] của đường tròn \[[O]\]]
\[\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {ACB}\] [là góc nội tiếp cùng chắn cung \[AB\] của đường tròn \[[I]\]
Mà \[\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {S{\rm{D}}M} \Rightarrow \widehat {SCM} = \widehat {ACB}\]
Vậy tia \[CA\] là tia phân giác của góc \[SCB\]
Bài 98 trang 105 SGK Toán 9 tập 2
Bài 98. Cho đường tròn \[[O]\] và một điểm \[A\] cố định trên đường tròn. Tìm quỹ tích các trung điểm \[M\] của dây \[AB\] khi điểm \[B\] di động trên đường tròn đó.
Hướng dẫn trả lời:
+] Phần thuận: Giả sử \[M\] là trung điểm của dây \[AB\]. Do đó, \[OM \bot AB\]. Khi \[B\] di động trên đường tròn \[[O]\] điểm \[M\] luôn nhìn đoạn \[OA\] cố định dưới một góc vuông. Vậy quỹ tích của điểm \[M\] là đường tròn tâm \[I\] đường kính \[OA\].
+] Phần đảo: Lấy điểm \[M’\] bất kì trên đường tròn \[[I]\]. Nối \[M’\] với \[A\], đường thẳng \[M’A\] cắt đường tròn \[[O]\] tại \[B’\]. Nối \[M’\] với \[O\], ta có \[\widehat {AM'O} = {90^0}\] hay \[OM’ \bot AB’ \]
⇒ \[M\] là trung điểm của \[AB’\]
Kết luận: Tập hợp các trung điểm \[M\] của dây \[AB\] là đường tròn đường kính \[OA\].
Bài 99 trang 105 SGK Toán 9 tập 2
Bài 99. Dựng \[ΔABC\], biết \[BC = 6cm\], góc \[\widehat{BAC} = 80^0\], đường cao \[AH\] có độ dài là \[2cm\].
Hướng dẫn trả lời:
Cách dựng như sau:
- Đầu tiên dựng đoạn \[BC = 6cm\]
- Dựng cung chứa góc \[80^0\] trên đoạn \[BC\].
- Dựng đường thằng \[xy // BC\] và cách \[BC\] một khoảng là \[2cm\]. Đường thẳng \[xy\] cắt cung chứa góc \[80^0\] tại hai điểm \[A\] và \[A’\]
- Ta có: [AM là tia phân giác của ]
[hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau]
⇒ M là điểm chính giữa của cung
⇒ OM đi qua trung điểm của dây BC [quan hệ đường kính, cung và dây]
- Ta có: M là điểm chính giữa của cung [cmt]
⇒ [quan hệ đường kính, cung và dây]
Mà [AH là đường cao của ]
⇒ OM // AH
[1] [so le trong]
Xét có: OA = OM = bán kính [O]
cân tại O
[2]
Từ [1] và [2] suy ra:
⇒ AM là tia phân giác của