Giải chi tiết bài tập Toán lớp 12
Giải bài tập trang 84, 85 SGK Giải tích lớp 12: Phương trình mũ và phương trình lôgarit được VnDoc sưu tầm và chọn lọc. Lời giải bài tập Toán 12 này sẽ là tài liệu hay dành cho các em học sinh lớp 12 để ôn luyện cách giải các bài tập Toán một cách nhanh và chính xác nhất. Mời các bạn và thầy cô tham khảo
Giải bài tập trang 55, 56 SGK Giải tích lớp 12: Lũy thừa
Giải bài tập trang 60, 61 SGK Giải tích lớp 12: Hàm số lũy thừa
Giải bài tập trang 77 SGK Giải tích lớp 12: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit
Giải bài tập trang 84, 85 SGK Giải tích lớp 12: Phương trình mũ và phương trình lôgarit
=> Họ tốt Toán với tài liệu Giải toán lớp 12 tại đây: Giải Toán lớp 12
Thông thường để học tốt toán cũng như giải bài Phương trình mũ. Phương trình Lôgarit nhanh chóng và hiệu quả các bạn hoàn toàn có thể ứng dụng tài liệu giải toán lớp 12 với hệ thống bài giải và hướng dẫn được cập nhật chi tiết và dễ hiểu nhất. Tất cả những thông tin bài giải Phương trình mũ. Phương trình Lôgarit hay các bài tập toán từ cơ bản đến nâng cao đều được soạn thảo bám sát với nội dung chương trình SGK toán 12 chính vì thế giải bài tập trang 84 SGK Toán 12 giờ đây không còn gặp nhiều khó khăn nữa. Qua tài liệu giải toán lớp 12 này các em học sinh sẽ nắm bắt được nhiều kiến thức và học tập Toán dễ dàng và hiệu quả hơn.
Trong chương trình học môn Toán 12 phần Giải toán lớp 12 Bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 77, 78 SGK Giải Tích- Hàm số mũ, Hàm số Lôgarit là một trong những nội dung rất quan trọng mà các em cần quan tâm và trau dồi để nâng cao kỹ năng giải Toán 12 của mình.
Sau bài này này chúng ta sẽ cùng tham khảo nội dung giải bài Bất phương trình mũ và lôgarit, các bạn hãy cùng theo dõi chi tiết hơn ở bài sau.
Chương I Giải Tích các em học bài Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô, hãy xem gợi ý Giải Toán 12 trang 45, 46 của Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô để học tốt Toán 12
Bài 3. Lôgarit là phần học tiếp theo của Chương II Giải Tích lớp 12 cùng xem gợi ý Giải toán lớp 12 trang 68 để nắm vững kiến thức cũng như học tốt Toán 12
Bài trước chúng ta đã cùng nhau tìm hiểu về giải bài Hàm số mũ, hàm số Lôgarit, bài ngày hôm nay chúng ta sẽ chuyển sang nội dung giải bài Phương trình mũ. Phương trình Lôgarit. Tất cả những nội dung cùng hướng dẫn giải bài chi tiết được cập nhật tên tài liệu Giải Toán lớp 12 mời các bạn cùng theo dõi.
Giải toán lớp 12 Bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 140 SGK Giải Tích - Phương trình bậc hai với hệ số thực Giải bài tập trang 68 SGK Giải Tích 12 Giải bài tập trang 100, 101 SGK Giải Tích 12 - Nguyên hàm Giải toán lớp 6 tập 2 trang 84, 85 vẽ góc khi biết số đo Giải bài tập trang 145, 146, 147, 148 SGK Giải Tích 12, ÔN TẬP CUỐI NĂM Giải toán lớp 12 Bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 trang 49 SGK Hình Học - Mặt cầu
Bài 1 trang 84 sgk giải tích 12
Giải các phương trình mũ:
a] \[{\left[ {0,3} \right]^{3x - 2}} = 1\];
b] \[\left [ \frac{1}{5} \right ]^{x}\]= 25;
c] \[2^{x^{2}-3x+2}\] = 4;
d] \[{\left[ {0,5} \right]^{x + 7}}.{\left[ {0,5} \right]^{1 - 2x}} = 2\].
Giải:
a] \[{\left[ {0,3} \right]^{3x - 2}} = 1 ={\left[ {0,3} \right]^0} \Leftrightarrow 3x - 2=0 ⇔ x = \frac{2}{3}\].
b] \[\left [ \frac{1}{5} \right ]^{x}= 25 ⇔{5^{ - x}} = {5^2} \Leftrightarrow x = - 2\].
c] \[2^{x^{2}-3x+2} = 4 ⇔ {x^2} - 3x +2=2 \Leftrightarrow x =0;x = 3\].
d] \[{\left[ {0,5} \right]^{x + 7}}.{\left[ {0,5} \right]^{1 - 2x}} = 2 ⇔ \left [ \frac{1}{2} \right ]^{x+7+1-2x}= 2\] \[⇔ 2^{x - 8} = 2^{1} \Leftrightarrow x - 8 = 1 \Leftrightarrow x = 9\].
Bài 2 trang 84 sgk giải tích 12
Giải các phương trình mũ:
a] \[{3^{2x-1}} + {3^{2x}} =108\];
b] \[{2^{x + 1}} + {2^{x - 1}} + {2^x} = 28\];
c] \[{64^x}-{8^x}-56 =0\];
d] \[{3.4^x}-{2.6^x} = {9^x}\].
Giải:
a] Đặt \[t ={3^{2x-1}} > 0\] thì phương trình đã cho trở thành \[t+ 3t = 108 ⇔ t = 27\].
Do đó phương trình đã cho tương đương với
\[{3^{2x{\rm{ }}-{\rm{ }}1}} = {\rm{ }}27 \Leftrightarrow {\rm{ }}2x{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}3 \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2\].
b] Đặt \[t{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^{x{\rm{ }} - {\rm{ }}1}} > {\rm{ }}0\], phương trình đã cho trở thành \[4t + t + 2t = 28 ⇔ t = 4\].
Phương trình đã cho tương đương với
\[{2^{x{\rm{ }} - {\rm{ }}1}} = {\rm{ }}4 \Leftrightarrow {2^{x{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }}}} = {\rm{ }}{2^{2}} \Leftrightarrow x{\rm{ }} - 1{\rm{ }} = {\rm{ }}2 \Leftrightarrow {\rm{ }}x = {\rm{ }}3\].
c] Đặt \[t = 8^x> 0\]. Phương trình đã cho trở thành
\[{t^2}-{\rm{ }}t{\rm{ }}-{\rm{ }}56{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}t{\rm{ }} = {\rm{ }}8;{\rm{ }}t{\rm{ }} = {\rm{ }} - 7\text{ [loại]}\].
Vậy phương trình đã cho tương đương với \[8^x= 8 ⇔ x = 1\].
d] Chia hai vế phương trình cho \[9^x> 0\] ta được phương trình tương đương
\[3.\frac{4^{x}}{9^{x}}\] - 2.\[\frac{6^{x}}{9^{x}}\] = 1 ⇔ 3. \[\left [ \frac{4}{9} \right ]^{x}\] - 2.\[\left [ \frac{2}{3} \right ]^{x} - 1 = 0\].
Đặt \[t = \left [ \frac{2}{3} \right ]^{x}\] > 0, phương trình trên trở thành
\[3t^2-2t – 1 = 0 ⇔ t = 1\]; \[t = -\frac{1}{3}\][ loại].
Vậy phương trình tương đương với \[\left [ \frac{2}{3} \right ]^{x}= 1 ⇔ x = 0\].
Bài 3 trang 84 SGK Giải tích 12
Giải các phương trình logarit
a] \[{lo{g_3}\left[ {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_3}\left[ {7x{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right]}\]
b] \[{log\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]{\rm{ }}-{\rm{ }}log\left[ {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}11} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}2}\]
c] \[{lo{g_2}\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right]{\rm{ }} + {\rm{ }}lo{g_2}\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}3}\]
d] \[{log{\rm{ }}\left[ {{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right]}\]
Giải
a] \[{lo{g_3}\left[ {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_3}\left[ {7x{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right]}\] [1]
TXD: \[D = \left[ {{{ - 3} \over 5}, + \infty } \right]\]
Khi đó: [1] \[⇔ 5x + 3 = 7x + 5 ⇔ x = -1\] [loại]
Vậy phương trình [1] vô nghiệm.
b] \[{log\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]{\rm{ }}-{\rm{ }}log\left[ {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}11} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}2}\]
TXD: \[D = [{{11} \over 2}, + \infty ]\]
Khi đó:
\[\eqalign{ & [2] \Leftrightarrow \lg {{x - 1} \over {2x - 11}} = \lg 2 \Leftrightarrow {{x - 1} \over {2x - 11}} = 2 \cr
& \Rightarrow x - 1 = 4x - 22 \Leftrightarrow x = 7 \cr} \]
Ta thấy \[x = 7\] thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình có nghiệm là \[x = 7\]
c] \[{lo{g_2}\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right]{\rm{ }} + {\rm{ }}lo{g_2}\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}3}\] [3]
TXD: \[[5, +∞]\]
Khi đó:
[3]\[ \Leftrightarrow {\log _2}[x - 5][x + 2]=3\]
\[\Leftrightarrow \left[ {x - 5} \right][x + 2] = 8 \]
\[\Leftrightarrow {x^2} - 3x - 18 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 6 \hfill \cr
x = - 3 \hfill \cr} \right.\]
Loại \[x = -3\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x = 6\]
d] \[{log{\rm{ }}\left[ {{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right]}\] [4]
TXD: \[D = [3 + \sqrt 2 , + \infty ]\]
Khi đó:
\[\eqalign{ & [4] \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 7 = x - 3 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 5 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Loại \[x = 2\]
Vậy phương trình [4] có nghiệm là \[x = 5\].
Bài 4 trang 85 sgk giải tích 12
Giải các phương trình lôgarit:
a] \[{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} + x - 5} \right] = \log 5{\rm{x}} + \log {1 \over {5{\rm{x}}}}\]
b] \[{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right] = \log 8{\rm{x}} - \log 4{\rm{x}}\]
c] \[{\log _{\sqrt 2 }}x + 4{\log _{4{\rm{x}}}}x + {\log _8}x = 13\]
Giải
a] \[{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} + x - 5} \right] = \log 5{\rm{x}} + \log {1 \over {5{\rm{x}}}}\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 5{\rm{x}} > 0 \hfill \cr
{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} + x - 5} \right] = \log 5{\rm{x}} - \log 5{\rm{x}}\hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr
{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} + x - 5} \right] = 0 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr
\log \left[ {{x^2} + x - 5} \right] = 0 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr {x^2} + x - 5 = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr
{x^2} + x - 6 = 0 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr
x = - 3;x = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 2\]
Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 2\]
b] \[{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right] = \log 8{\rm{x}} - \log 4{\rm{x}}\]
\[\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ 4{\rm{x > 0}} \hfill \cr {{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} - 1 > 0 \hfill \cr
{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right] = \log {{8{\rm{x}}} \over {4{\rm{x}}}} \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr {{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} - 1 > 0 \hfill \cr
{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right] = \log 2 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr \left[ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr x < 2 - \sqrt 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\log \left[ {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right] = 2\log 2 \hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr
\log \left[ {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right] = \log {2^2} = \log 4 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr
{x^2} - 4{\rm{x}} - 1 = 4 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr
{x^2} - 4{\rm{x}} - 5 = 0 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr
x = - 1;x = 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 5\]
Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 5\]
c] \[{\log _{\sqrt 2 }}x + 4{\log _{4}}x + {\log _8}x = 13\]
\[\Leftrightarrow {\log _{{2^{{1 \over 2}}}}}x + 4{\log _{{2^2}}}x + {\log _{{2^3}}}x = 13\]
\[\Leftrightarrow 2{\log _2}x + 2{\log _2}x + {1 \over 3}{\log _2}x = 13\]
\[\Leftrightarrow {{13} \over 3}{\log _2}x = 13 \Leftrightarrow {\log _2}x = 3 \Leftrightarrow x = {2^3} = 8\]
Vậy phương trình có nghiệm là \[x = 8\]
Giaibaitap.me
Page 2
- Giải bài 1, 2 trang 274, 275 SGK Sinh học 12 Nâng...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 273, 274 SGK Sinh học...
- Giải bài I.1, I.2, II.1, II.2 trang 272 SGK Sinh...
- Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 271 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 270 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 5, 6, 7, 8, 9 trang 268, 269, 270 SGK...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 267 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 266 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 263 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 258 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 254 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 248 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 243 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 239 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 236 SGK Sinh học 12...
Page 3
- Giải bài 1, 2 trang 274, 275 SGK Sinh học 12 Nâng...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 273, 274 SGK Sinh học...
- Giải bài I.1, I.2, II.1, II.2 trang 272 SGK Sinh...
- Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 271 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 270 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 5, 6, 7, 8, 9 trang 268, 269, 270 SGK...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 267 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 266 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 263 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 258 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 254 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 248 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 243 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 239 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 236 SGK Sinh học 12...
Page 4
Bài 5 trang 90 SGK Giải tích 12
Biết \[{4^x} + {\rm{ }}{4^{ - x}} = {\rm{ }}23\].
Hãy tính: \[{2^x} + {\rm{ }}{2^{ - x}}\]
Giải
\[{{{\left[ {{2^x} + {\rm{ }}{2^{ - x}}} \right]}^2} = {[{2^x}]^2} + {2.2^x}{.2^{ - x}} + {[{2^{ - x}}]^2}={\rm{ }}{4^x} + {\rm{ }}{4^{ - x}} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}23{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}25}\]
Do đó \[|{2^x} + {2^{ - x}}| = 5\]
Mà \[{2^x} + {2^{ - x}} > 0\]
\[⇒ {{2^x} + {\rm{ }}{2^{ - x}} = {\rm{ }}5}\].
Bài 6 trang 90 SGK Giải tích 12
Cho \[{\log _a}b = 3,{\log _a}c = - 2\] . Hãy tính \[log_ax\] với:
a] \[x = {a^3}{b^2}\sqrt c \]
b] \[x = {{{a^4}\root 3 \of b } \over {{c^3}}}\]
Giải
Logarit hóa biểu thức đã cho và sử dụng giả thiết ta được:
a]
\[\eqalign{ & lo{g_a}x = {\rm{ }}3 + 2lo{g_a}b + {1 \over 2}{\log _a}c \cr
& = 3 + 6 - 1 = 8 \cr} \]
b]
\[\eqalign{ & {\log _a}x = 4 + {1 \over 3}{\log _a}b - 3{\log _a}c \cr
& = 4 + 1 + 6 = 11 \cr} \].
Bài 7 trang 90 SGK Giải tích 12
Giải các phương trình sau:
a] \[{3^{x + 4}} + {\rm{ }}{3.5^{x + 3}} = {\rm{ }}{5^{x + 4}} + {\rm{ }}{3^{x + 3}}\]
b] \[{25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
c] \[{4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\]
d] \[lo{g_7}\left[ {x - 1} \right]lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x\]
e] \[{\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6\]
g] \[\log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x\]
Giải
a]
\[\eqalign{ & {3^{x + 4}} + {3.5^{x + 3}} = {5^{x + 4}} + {3^{x + 3}} \cr & \Leftrightarrow {3^{x + 4}} - {3^{x + 3}} = {5^{x + 4}} - {3.5^{x + 3}} \cr & \Leftrightarrow {2.3^{x + 3}} = {2.5^{x + 3}} \cr
& \Leftrightarrow {[{3 \over 5}]^{x + 3}} = 1 \Leftrightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3 \cr} \]
b] \[{25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
Đặt \[t = 5^x\] [\[t > 0\]] \[⇔ x = log_5 t\].
Phương trình đã cho trở thành:
\[t^2– 6t + 5 = 0 ⇔ t ∈ {\rm{\{ }}1;5\} \]
Do đó, phương trình đã cho có nghiệm là \[x = 0, x = 1\]
c] \[{4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\]
Chia phương trình cho \[16^x\] và đặt \[t = {[{3 \over 4}]^x}[t > 0] \Leftrightarrow x = {\log _{{3 \over 4}}}t\] ta được phương trình:
\[4t^2+ t – 3 = 0 ⇔ [t+1][4t-3] = 0\]
Phương trình bậc hai này chỉ có một nghiệm dương \[t = {3 \over 4}\] .
Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là : \[x = {\log _{{3 \over 4}}}{3 \over 4} = 1\]
d] \[lo{g_7}\left[ {x - 1} \right]lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x\]
Điều kiện: \[x > 1\]
\[\eqalign{ & lo{g_7}\left[ {x - 1} \right]lo{g_7}x = lo{g_7}x \cr & \Leftrightarrow {\log _7}x[{\log _7}[x - 1] - 1] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {\log _7}x = 0 \hfill \cr {\log _7}[x - 1] = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr [x - 1] = 7 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr
x = 8 \hfill \cr} \right. \cr}\]
Kết hợp với điều kiện xác định ta có: \[x = 8\]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \[x = 8\]
e] \[{\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6\]
Điều kiện : \[x > 0\]
Ta có:
\[\eqalign{ & {\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6 \cr & \Leftrightarrow {\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x - {\log _3}x = 6 \cr & \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}x = 6 \Leftrightarrow x = {3^3} \cr
& \Leftrightarrow x = 27 \cr} \]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \[x = 27\]
g] \[\log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x\]
Ta có:
\[\eqalign{ & \log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x \Leftrightarrow {{x + 8} \over {x - 1}} = x > 0 \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0,x \ne 1 \hfill \cr {x^2} - 2x - 8 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow x = 4 \cr} \]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \[x = 4\]
Bài 8 trang 90 SGK Giải tích 12
Giải các bất phương trình
a] \[{2^{2x - 1}} + {\rm{ }}2{x^{2x - 2}} + {\rm{ }}{2^{2x - 3}} \ge {\rm{ }}448\]
b] \[{\left[ {0,4} \right]^x}-{\rm{ }}{\left[ {2,5} \right]^{x + 1}} > {\rm{ }}1,5\]
c] \[{\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}[{x^2} - 1]} \right] < 1\]
d] \[{\log _{0,2}}^2x - 5{\log _{0,2}}x < - 6\]
Giải
a] \[{2^{2x - 1}} + {\rm{ }}2{x^{2x - 2}} + {\rm{ }}{2^{2x - 3}} \ge {\rm{ }}448\]
Ta có:
\[⇔ {2^{2x - 3}}[{2^2} + {\rm{ }}{2^1} + {\rm{ }}1]{\rm{ }} \ge {\rm{ }}448\]
\[⇔ {2^{2x - 3}} \ge {\rm{ }}64{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} \ge {\rm{ }}6\]
\[⇔ x ≥ 4,5\]
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \[[4,5; +∞]\].
b] \[{\left[ {0,4} \right]^x}-{\rm{ }}{\left[ {2,5} \right]^{x + 1}} > {\rm{ }}1,5\]
Đặt \[t = {[0,4]}^x> 0\], bất phương trình đã cho trở thành:
\[\eqalign{ & t - {{2,5} \over t} > 1,5 \Leftrightarrow 2{t^2} - 3t - 5 > 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t < - 1 \hfill \cr
t > 2,5 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Do \[t = {[0,4]}^x> 0\], bất phương trình đã cho tương đương với:
\[{\left[ {0,4} \right]^x} > {\rm{ }}2,5{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left[ {0,4} \right]^x} > {\rm{ }}{\left[ {0,4} \right]^{ - 1}} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} < {\rm{ }} - 1\]
c] \[{\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}[{x^2} - 1]} \right] < 1\]
Ta có:
\[{\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}[{x^2} - 1]} \right] < 1 \]
\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}[{x^2} - 1]} \right] < {\log _3}3\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {\log _{{1 \over 2}}}[{x^2} - 1] > 0 = {\log _{{1 \over 2}}}1 \hfill \cr lo{g_{{1 \over 2}}}[{x^2} - 1] > 3 = {\log _{{1 \over 2}}}{1 \over 8} \hfill \cr} \right. \]\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 0 < {x^2} - 1 < 1 \hfill \cr {x^2} - 1 > {1 \over 8} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} < 2 \hfill \cr {x^2} > {9 \over 8} \hfill \cr} \right. \]\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ |x| < \sqrt 2 \hfill \cr
|x| > {3 \over {2\sqrt 2 }} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow {3 \over {2\sqrt 2 }} < |x| 0 nên hàm số đồng biến
Trên các khoảng \[[ - \infty ,{{ - 1} \over 2}] \cup [0,{1 \over 2}]\] , y’ < 0 nên hàm số nghịch biến
_ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCD = 1
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = \pm {1 \over 2},{y_{CT}} = {{15} \over {16}}\]
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị cắt trục tung tại điểm y = 1, không cắt trục hoành.
c] Với y = 1 ta có phương trình:
\[{x^4} - {1 \over 2}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ {0, \pm {1 \over {\sqrt 2 }}} \right\}\]
Trên đồ thị có 2 điểm với tung độ bằng 1 là:
\[{M_1}[{{ - 1} \over {\sqrt 2 }},1];{M_2}[0,1];{M_3}[{1 \over {\sqrt 2 }},1]\]
Ta lấy y’[0] = 0 nên tiếp tuyến với đồ thị tại M2 có phương trình là y = 1
Lại có:
\[y'[{1 \over {\sqrt 2 }}] = {1 \over {\sqrt 2 }};y'[{1 \over {\sqrt 2 }}] = {{ - 1} \over {\sqrt 2 }}\]
\[y = {{ - 1} \over {\sqrt 2 }}x + {1 \over 2} \Leftrightarrow y = {1 \over {\sqrt 2 }}x + {1 \over 2}\]
Bài 6 trang 146 SGK Giải tích 12
Cho hàm số \[y = {{x - 2} \over {x + m - 1}}\]
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số khi m = 2
b] Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị [C] tại điểm có hoành độ a ≠ -1.
Giải
a] Khi m = 2, ta có hàm số: \[y = {{x - 2} \over {x + 1}}\]
_ Tập xác định: [-∞, -1] ∪ [-1, +∞]
_ Sự biến thiên: \[y' = {3 \over {{{[x + 1]}^2}}} > 0,\forall x \in [ - \infty , - 1] \cup [1, + \infty ]\]
nên hàm số đồng biến trên hai khoảng này.
_ Hàm số không có cực trị
_ Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x - 2} \over {x + 1}} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x - 2} \over {x + 1}} = 1\]
Nên x = -1 là tiệm cận đứng.
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị cắt trục tung tại y = -2, cắt trục hoành tại x = 2
b] Tiếp tuyến của đồ thị [C] tại điểm M có hoành độ a≠-1 có phương trình:
\[y = y'[a][x - a] + y[a] = {3 \over {{{[a + 1]}^2}}}[x - a] + {{a - 2} \over {a + 1}}\]
Bài 7 trang 146 SGK Giải tích 12
Cho hàm số \[y = {2 \over {2 - x}}\]
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số đã cho.
b] Tìm các giao điểm của [C] và đồ thị của hàm số y = x2 + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] tại mỗi giao điểm.
c] Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị [C] và các đường thẳng y = 0, x = 0, x = 1 xung quanh trục Ox.
Giải
a] _ Tập xác định: [-∞, 2] ∪[2, +∞]
_ Sự biến thiên: \[y' = {2 \over {{{[2 - x]}^2}}} > 0,\forall x \in [ - \infty ,2] \cup [2, + \infty ]\]
Nên hàm số đồng biến trên hai khoảng này.
_ Hàm số không có cực trị
_ Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {2 \over {2 - x}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {2 \over {2 - x}} = 0\]
Nên y = 0 là tiệm cận ngang.
_ Giới hạn vô cực và tiệm cận đứng:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} [{2 \over {2 - x}}] = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} [{2 \over {2 - x}}] = + \infty \]
Nên x = 2 là tiệm cận đứng.
_ Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị cắt trục tung tại y = 1, không cắt trục hoành.
b] Phương trình xác định hoành độ giao điểm:
\[{2 \over {2 - x}} = {x^2} + 1 \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + x = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ {0,1} \right\}\]
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm M1 [0, 1], M2[1, 2]
Tiếp tuyến với đồ thị [C]: \[y = {2 \over {2 - x}}\] tại điểm M1 có phương trình là: \[y = {1 \over 2}x + 1\]
Tiếp tuyến tại điểm M2 có phương trình y = 2[x – 1] + 2 = 2x
c] Trong khoảng [0, 1] đồ thị [C] nằm phía trên trục hoành nên thể tích cần tính là :
\[V = \pi \int_0^1 {[{2 \over {2 - x}}} {]^2} = 2\pi \]
Bài 8 trang 147 SGK Giải tích 12
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a] \[f[x] = 2x^3– 3x^2– 12x + 1\] trên đoạn \[\left[ { - 2,{5 \over 2}} \right]\]
b] \[ f[x] = x^2lnx\] trên đoạn \[\left[ {1,e} \right]\]
c] \[f[x] = xe^{-x}\] trên nửa khoảng \[[0, +∞]\]
d] \[f[x] = 2sinx + sin2x\] trên đoạn \[\left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]\]
Giải
a] \[f[x] = 2x^3– 3x^2– 12x + 1 ⇒ f’[x] = 6x^2 – 6x – 12\]
\[f’[x] = 0 ⇔ x =-1\] hoặc \[x=2\]
So sánh các giá trị:
\[f[-2] = -3\]; \[ f[-1] = 8\];
\[f[2] = -19\], \[f[{5 \over 2}] = {{ - 33} \over 2}\]
Suy ra:
\[\eqalign{& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 2,{5 \over 2}} \right]} f[x] = f[ - 1] = 8 \cr
& \mathop {min}\limits_{x \in \left[ { - 2,{5 \over 2}} \right]} f[x] = f[2] = - 19 \cr} \]
b] \[f[x] = x^2 lnx ⇒ f’[x]= 2xlnx + x > 0, ∀ x ∈ [1, e]\] nên \[f[x]\] đồng biến.
Do đó:
\[\eqalign{& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1,e} \right]} f[x] = f[e] = {e^2} \cr
& \mathop {min}\limits_{x \in \left[ {1,e} \right]} f[x] = f[1] = 0 \cr} \]
c] \[f[x]= xe^{-x}⇒ f’[x]=e^{-x} –xe^{-x} = [1 – x]e^{-x}\] nên:
\[f’[x] = 0 ⇔ x = 1, f’[x] > 0, ∀x ∈ [0, 1]\] và \[f’[x] < 0, ∀x ∈ [1, +∞]\]
nên:
\[\mathop {\max }\limits_{x \in {\rm{[}}0, + \infty ]} f[x] = f[1] = {1 \over e}\]
Ngoài ra \[f[x]= xe^{-x} > 0, ∀ x ∈ [0, +∞]\] và \[f[0] = 0\] suy ra
\[\mathop {\min}\limits_{x \in {\rm{[}}0, + \infty ]} f[x] = f[0] = 0\]
d] \[f[x] = 2sinx + sin2x ⇒ f’[x]= 2cosx + 2cos2x\]
\[f’[x] = 0 ⇔ cos 2x = -cosx ⇔ 2x = ± [π – x] + k2π\]
⇔ \[x \in \left\{ { - \pi + k2\pi ;{\pi \over 3} + {{k2\pi } \over 3}} \right\}\]
Trong khoảng \[\left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]\] , phương trình \[f’[x] = 0\] chỉ có hai nghiệm là \[{x_1} = {\pi \over 3};{x_2} = \pi \]
So sánh bốn giá trị : \[f[0] = 0\]; \[f[{\pi \over 3}] = {{3\sqrt 3 } \over 2};f[\pi ] = 0;f[{{3\pi } \over 2}] = - 2\]
Suy ra:
\[\eqalign{& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]} f[x] = f[{\pi \over 3}] = {{3\sqrt 3 } \over 2} \cr
& \mathop {min}\limits_{x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]} f[x] = f[{{3\pi } \over 2}] = - 2 \cr} \]
Giaibaitap.me