Trong chương trình học lớp 10 chúng ta bắt đầu làm quen với một khái niệm rất mới đó là vectơ. Rất nhiều bạn học sinh khi học ở THCS đã là một học sinh khá giỏi nhưng khi lên lớp 10 và bước đầu học những khái niệm liên quan vectơ, những bài toán về vectơ đều cảm thấy lạ lẫm, khó tiếp thu. Tuy nhiên nếu các bạn nắm chắc nhưng khái niệm cơ bản của vectơ, lấy kiến thức đó làm gốc rễ cộng với những kiến thức đã được xây dựng ở cấp 2 thì việc học vectơ sẽ trở lên đơn giản hơn rất nhiều. Vậy những khái niệm hay định nghĩa liên quan vectơ mà các bạn cần phải nẵm vững ở đây là gì?
1. Khái niệm vectơ
Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B. Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng có hướng. Vậy ta có định nghĩa về vectơ như sau
Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.
Kí hiệu vectơ:
Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B, kí hiệu là $\vec{AB}$ và đọc là “vectơ AB“. Để vẽ vectơ AB ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở đầu mút B.
Nếu vectơ có điểm đầu là B, điểm cuối là A, kí hiệu là $\vec{BA}$ và đọc là “vectơ BA“. Để vẽ vectơ BA ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở đầu mút A.
Vectơ còn được kí hiệu là: $\vec{a}, \vec{b}, \vec{x}, \vec{y}$… [các chữ cái thường nhé] khi không chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó.
Đó là khái niệm về vectơ. Vậy những khái niệm liên quan vectơ ở đây là những gì? chúng ta cùng đọc tiếp nhé.
2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng
Giá của vectơ: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của một vectơ.
Hai vectơ cùng phương: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Hai vectơ cùng hướng: Hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$ cùng phương và có cùng hướng đi từ trái sang phải. Ta nói hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$ cùng hướng. Hai vectơ $\vec{MN}$ và $\vec{PQ}$ cùng phương nhưng ngược hướng nhau. Ta nói hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$ là hai vectơ ngược hướng.
Như vậy hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. Còn hai vectơ cùng hướng thì chắc chắn là chúng phải cùng phương rồi. Dưới đây ta có một nhận xét khá quan trọng dùng để chứng minh vectơ cùng phương và chúng minh 3 điểm phân biệt thẳng hàng.
Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng phương.
Chứng minh:
Thuận: Nếu ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng phương.
Khi ba điểm A, B, C thẳng hàng thì chúng sẽ cùng nằm trên một đường thẳng. Như vậy hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ sẽ có giá trùng nhau. Do đó theo định nghĩa hai vectơ cùng phương thì $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ sẽ cùng phương.
Đảo: Nếu hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng phương thì ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng.
Khi hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng phương thì hai đường thẳng AB và AC sẽ trùng nhau hoặc song song. Vì chúng có một điểm chung là A nên chúng phải có nhiều điểm chung khác nữa. Tức là chúng phải trùng nhau. Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Qua nhận xét trên chúng ta đã khẳng định được “Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng phương” . Một câu hỏi đặt ra là nếu “Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ có cùng hướng” hay không? Để biết được mệnh đề trên đúng hay sai thì chúng ta phải đi chứng minh thôi.
Chứng minh:
TH1: Ba điểm A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C. Khi đó hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{BC}$ sẽ cùng phương, đồng thời ta thấy hai vectơ này có hướng từ trái sang phải [nếu 3 điểm có thứ tự là A, B, C] và có hướng từ phải sang trái [nếu 3 điểm có thứ tự là C, B, A]. Vậy hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{BC}$ cùng hướng.
Hình vẽ
TH2: Ba điểm A, B, C thẳng hàng và A nằm giữa B và C. Khi đó hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{BC}$ cùng phương. Mặt khác ta thấy vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{BC}$ có hướng ngược nhau. Vậy hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{BC}$ ngược hướng.
Qua hai trương hợp trên thì các bạn có thể kết luận cho mệnh đề trên là đúng hay sai chưa? chắc chắn là có kết luận rồi đúng không?
Kết luận: Nếu ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng hướng là sai.
Đọc tới đây thấy cũng khá mệt rồi, không biết những khái niệm liên quan vectơ đã hết chưa? Thưa các bạn là vẫn còn nhé, chúng ta chỉ mới biết được hai khái niệm liên quan thôi mà. Đọc tiếp nào…
Xem thêm: Tổng của hai vectơ
3. Hai vectơ bằng nhau
Độ dài của vectơ: Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của $\vec{AB}$ kí hiệu là $|\vec{AB}|$, như vậy: $|\vec{AB}| = AB$
Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị.
Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng, kí hiệu là: $\vec{a}$ = $\vec{b}$
Chú ý: Khi cho trước vec tơ $\vec{a}$ và một điểm O thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho: $\vec{OA}=\vec{a}$
Trong làm toán dạng vectơ này chúng ta sẽ gặp thường xuyên những bài tập yêu cầu chứng minh hai vectơ bằng nhau. Để chúng minh hai vectơ bằng nhau thì các bạn cần học tốt khái niệm hai vectơ bằng nhau ở trên, những dấu hiệu nhận biết dùng chứng minh hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông.
Các bạn có thể tham khảo video bài giảng này: Chứng minh hai vectơ bằng nhau
4. Vectơ – không
Ta biết rằng mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối và hoàn toàn được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó.
Bây giờ với một điểm A bất kì ta quy ước có một véctơ đặ biệt mà điểm đầu và điểm cuối đều là A. Vectơ này được kí hiệu là $\vec{AA}$ và gọi là vectơ – không.
Vectơ $\vec{AA}$ nằm trên mọi đường thẳng đi qua A, vì vậy ta quy ước vectơ – không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.
Ta cũng quy ước rằng: $\vec{AA} = 0$. Do đó có thể coi mọi vectơ – không đều bằng nhau.
Kí hiệu vectơ – không là: $\vec{0}$. Như vậy $\vec{0} = \vec{AA} = \vec{BB} = …$ với mọi điểm A, B …
Ok. Tới đây là thầy đã giới thiệu xong toàn bộ những khái niệm liên quan vectơ. Các bạn học sinh mới học cố gắng nghiên cứu kĩ những định nghĩa này nhé. Đây chỉ là những định nghĩa cơ bản nhất thôi, còn nhiều cái liên quan nữa thầy sẽ gửi tới các bạn trong những bài viết sau.
Trong nội dung về vectơ này thầy cũng có một bộ tài liệu tổng hợp lý thuyết vectơ hình học 10, các bạn xem ở đây nhé.
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
Cách chứng minh 2 vectơ cùng phương còn có thể phát biểu dưới dạng của một bài toán khác là: chứng minh 3 điểm thẳng hàng. Bài giảng hôm nay, thầy sẽ giúp các bạn giải quyết bài toán này một cách đơn giản và dễ hiểu. Nếu thực sự nó có ích với bạn thì hãy chia sẻ bài giảng này tới tất cả mọi người.
Trước khi vào nội dung chính thầy sẽ nhắc lại một số kiến thức áp dụng cho việc chứng minh:
Thế nào là hai vectơ cùng phương?
Hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Còn “giá” của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Như vậy hiểu một cách đơn giản sẽ như thế này: Nếu các bạn thấy 2 vectơ đó mà nằm trên cùng một đường thẳng hoặc nằm trên 2 đường thẳng song song thì 2 vectơ đó sẽ cùng phương. Ở đây thầy chỉ nói tới cùng phương chứ không nói cùng hướng nhé. Các bạn có thể xem thêm bài giảng bên dưới để hiểu rõ hơn về một số khái niệm liên quan tới vectơ, thầy viết khá chi tiết và dễ hiểu.
Bài giảng:
Đó là hiểu theo khái niệm, nhưng không phải lúc nào các bạn cũng có hình vẽ hay hình vẽ thể hiện sẵn cho các bạn biết những vectơ nào cùng phương. Vậy thì chúng ta sẽ có một cách tổng quát để chứng minh 2 vectơ cùng phương. Đây chính là cách mà thầy sẽ sử dụng và hướng dẫn chúng ta.
Cho hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$. Hai vectơ này được gọi là cùng phương nếu tồn tại 1 số k sao cho $\vec{AB}=k\vec{CD}, k\neq 0$.
Để sử dụng phương pháp này chứng minh hai vectơ cùng phương hay chứng minh 3 điểm thẳng hàng thì các bạn cần tìm ra được cái số k thỏa mãn biểu thức vectơ trên. Các bạn có 2 hướng biến đổi:
- Biến đổi trực tiếp: Từ vectơ $\vec{AB}$ dùng lập luận, phân tích… để đưa về đẳng thức trên.
- Biến đổi gián tiếp: Tức là phân tích vectơ $\vec{AB}$ và vectơ $\vec{CD}$ theo 2 vectơ không cùng phương nào đó.
Nếu gặp bài toán đơn giản thì chắc chắn sẽ sử dụng cách biến đổi trực tiếp rồi, nhưng phương pháp chung thì các bạn nên sử dụng cách biến đổi gián tiếp. Có thể coi nó là cách tổng quát cho mọi bài toán chứng minh.
Chứng minh hai vectơ cùng phương
Bài tập 1: Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho :$\vec{OA}+2\vec{OB}-3\vec{OC}=\vec{0}$. Chứng tỏ rằng A, B, C thẳng hàng.
Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng thì ta sẽ đi chứng minh $\vec{AB}=k\vec{AC}$ hoặc $\vec{CA}=k\vec{CB}$ hoặc một biểu thức thức liên hệ nào đó giữa 3 điểm A, B, C. Chúng ta tùy biến ở chỗ này, không gò bó phải bắt buộc chứng minh theo một biểu thức cụ thể nào đó.
Đây là bài tập không khó, thầy sẽ hướng dẫn các bạn đi phân tích từ giả thiết của bài toán.
Cách 1:
$\vec{OA}+2\vec{OB}-3\vec{OC}=\vec{0}$
$\Leftrightarrow \vec{OA}+2\vec{OB}-\vec{OC}-2\vec{OC}=\vec{0}$
$\Leftrightarrow [\vec{OA}-\vec{OC}]+[2\vec{OB}-2\vec{OC}]=\vec{0}$
$\Leftrightarrow \vec{CA}+2\vec{CB}=\vec{0}$
$\Leftrightarrow \vec{CA}=-2\vec{CB}$
Từ đây ta có $\vec{CA}$ cùng phương với $\vec{CB}$, mà hai vectơ này có chung điểm C. Do đó 3 điểm A, B, C thằng hàng.
Cách 2:
$\vec{OA}+2\vec{OB}-3\vec{OC}=\vec{0}$
$\Leftrightarrow \vec{OA}-\vec{OB}+3\vec{OB}-3\vec{OC}=\vec{0}$
$\Leftrightarrow \vec{BA}+3\vec{CB}=\vec{0}$ [Áp dụng hiệu 2 vectơ]
$\Leftrightarrow \vec{BA}=-3\vec{CB}$
$\Leftrightarrow \vec{BA}=3\vec{BC}$
Từ đây ta có $\vec{BA}$ cùng phương với $\vec{BC}$, mà hai vectơ này có chung điểm B. Do đó 3 điểm A, B, C thằng hàng.
Bài tập 2: Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm I sao cho:$\vec{BH}=\frac{1}{5}\vec{BC}$, $\vec{BI}=\frac{1}{6}\vec{BD}$. Chứng minh 3 điểm A, I, H thẳng hàng.
Xét thấy yêu cầu bài tập 2 cũng tương tự như bài tập 1. Nhưng nếu biến đổi trực tiếp như bài tập 1 hẳn là sẽ khó khăn. Bài toán này chúng ta cũng sẽ đi chứng minh 2 vectơ cùng phương, có thể là $\vec{AI}$ cùng phương với $\vec{AH}$ hoặc gì đó. Tức là cần biến đổi $\vec{AI}=k\vec{AH}$.
Bài toán này mục đích của thầy đưa ra là hướng dẫn chúng ta chứng minh hai vectơ cùng phương theo cách gián tiếp. Ở đây các bạn cần phải biến đổi $\vec{AI}$ và $\vec{AH}$ theo 2 vectơ không cùng phương, giả sử là $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ hoặc $\vec{AB}$ và $\vec{BC}$ hoặc gì đó.
Cách 1: Biến đổi $\vec{AI}$ và $\vec{AH}$ theo 2 vectơ không cùng phương $\vec{AB}$ và $\vec{BC}$
[Bằng mọi cách phân tích, biến đổi phải đưa được về 2 vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{BC}$ các bạn nhé ]
$\vec{AI}=\vec{AB}+\vec{BI}$
$=\vec{AB}+\frac{1}{6}\vec{BD}$ [theo giả thiết]
$=\vec{AB}+\frac{1}{6}[\vec{BC}+\vec{CD}]$
$=\vec{AB}+\frac{1}{6}\vec{BC}+\frac{1}{6}\vec{CD}$
$=\vec{AB}+\frac{1}{6}\vec{BC}+\frac{1}{6}[-\vec{AB}]$
$=\vec{AB}+\frac{1}{6}\vec{BC}-\frac{1}{6}\vec{AB}$
$=\frac{5}{6}\vec{AB}+\frac{1}{6}\vec{BC}$
$\Rightarrow 6\vec{AI}=5\vec{AB}+\vec{BC}$ [1]
Tiếp tục:
$\vec{AH}=\vec{AB}+\vec{BH}$
$=\vec{AB}+\frac{1}{5}\vec{BC}$ [theo giả thiết]
$\Rightarrow 5\vec{AH}=5\vec{AB}+\vec{BC}$ [2]
Từ [1] và [2] ta có: $6\vec{AI}=5\vec{AH} \Rightarrow \vec{AI}=\frac{5}{6}\vec{AH}$
Biểu thức trên chứng tỏ 2 vectơ $\vec{AI}$ và $\vec{AH}$ là hai vectơ cùng phương. Hai vectơ này có chung điểm A. Vậy 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
Trong cách 1 thầy đã biến đổi hai vectơ $\vec{AI}$ và $\vec{AH}$ cùng bằng $5\vec{AB}+\vec{BC}$. Việc biến đổi theo 2 vectơ không cùng phương nào đó là do sự lựa chọn của các bạn. Để hiểu hơn nữa phương pháp này thầy sẽ hướng dẫn các bạn biến đổi 2 vectơ $\vec{AI}$ và $\vec{AH}$ theo hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.
Cách 2: Biến đổi 2 vectơ $\vec{AI}$ và $\vec{AH}$ theo hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.
$\vec{AI}=\vec{AB}+\vec{BI}$
$=\vec{AB}+\frac{1}{6}\vec{BD}$
$=\vec{AB}+\frac{1}{6}[\vec{BA}+\vec{AC}+\vec{CD}]$
$=\vec{AB}+\frac{1}{6}[-\vec{AB}+\vec{AC}-\vec{AB}]$
$=\vec{AB}-\frac{2}{6}\vec{AB}+\frac{1}{6}\vec{AC}$
$=\frac{4}{6}\vec{AB}+\frac{1}{6}\vec{AC}$
$\Rightarrow 6\vec{AI}=4\vec{AB}+\vec{AC}$ [1]
Tiếp tục:
$\vec{AH}=\vec{AC}+\vec{CH}$
$=\vec{AC}+\frac{4}{5}\vec{CB}$
$=\vec{AC}+\frac{4}{5}[\vec{AB}-\vec{AC}]$
$=\vec{AC}+\frac{4}{5}\vec{AB}-\frac{4}{5}\vec{AC}$
$=\frac{4}{5}\vec{AB}+\frac{1}{5}\vec{AC}$
$\Rightarrow 5\vec{AH}=4\vec{AB}+\vec{AC}$ [2]
Từ [1] và [2] ta có: $6\vec{AI}=5\vec{AH}\Rightarrow \vec{AI}=\frac{5}{6}\vec{AH}$
Biểu thức trên chứng tỏ 2 vectơ $\vec{AI}$ và $\vec{AH}$ là hai vectơ cùng phương. Hai vectơ này có chung điểm A. Vậy 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
Đó là 2 cách biến đổi thôi nhé, còn rất nhiều cách nữa các bạn à. Điều quan trọng là các bạn lựa chọn 2 vectơ không cùng phương nào để hướng tới mà thôi. Các bạn có thể biến đổi theo hai vectơ không cùng phương $\vec{BA}$ và $\vec{BC}$ hay $\vec{BD}$ và $\vec{BA}$… còn nhiều nữa các bạn à. Coi như đây là bài tập cho các bạn rèn luyện nhé.
Các bạn thấy đó nếu cứ theo phương pháp biến đổi này thì mọi bài toán chứng minh 2 vectơ cùng phương hay bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào vectơ đều có thể làm một cách đơn giản mà không gặp khó khăn gì. Các bạn hãy rèn luyện theo hướng tư duy trên mà thầy đã hướng dẫn các bạn, các bạn sẽ thấy nó rất hay.
Có thể sẽ có cách nào đó hay hơn mà thầy chưa biết, nếu bạn còn cách nào hay hơn hãy chia sẻ dưới phần thảo luận nhé.
Bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Bài tập 1: Cho tam giác ABC và hai điểm M, N thỏa điều kiện $\vec{MA}+3\vec{MC}=\vec{0}$ và $\vec{NA}+2\vec{NB}+3\vec{NC}=\vec{0}$. Chứng minh rằng 3 điểm B, M, N thẳng hàng.
ĐA: $\vec{BM}=\frac{3}{2}\vec{BN}$
Bài tập 2: Cho tam giác ABC có P là trung điểm của AB và hai điểm M, N thỏa các hệ thức: $\vec{MB}-2\vec{MC}=\vec{0}$ và $\vec{NA}+2\vec{NC}=\vec{0}$. Chứng minh rằng 3 điểm M, N, P thẳng hàng.
ĐA: $\vec{MN}=\frac{2}{3}\vec{MP}$
Bài tập 2: Cho tam giác ABC, trên BC lấy điểm D sao cho: $\vec{BD}=\frac{3}{5}\vec{BC}$. Gọi E là điểm thỏa mãn điều kiện $10\vec{EA}+2\vec{EB}+3\vec{EC}=\vec{0}$. Chứng minh 3 điểm A, E, C thẳng hàng.
ĐA: $\vec{ED}=-2\vec{EA}$
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ