Hình lăng trụ đứng là gì ? Hình lăng trụ đứng có những đặc điểm tính chất gì khi phân biệt với những hình học khác. Cùng chúng tôi theo dõi nội dung dưới đây để nắm bắt rõ hơn nhé !
Tham khảo bài viết khác:
- Công thức tính Diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật kèm bài tập có lời giải
- Công thức tính Diện tích toàn phần hình lập phương – Toán lớp 5, lớp 12
Hình lăng trụ đứng là gì ?
– Hình lăng trụ đứng là hình có:
+] Hai đáy là hai đa giác phẳng bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song với nhau.
+] Các cạnh bên thì vuông góc với các mặt phẳng chứa các đa giác đáy. Các mặt bên của lăng trụ đứng là các hình chữ nhật.
==> Các cạnh bên của lăng trụ đứng thì song song với nhau và bằng nhau, độ dài cạnh bên là chiều cao của lăng trụ đứng. Người ta gọi tên các hình lăng trụ theo tên của đa giác đáy: lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác,… Hình lăng trụ đứng mà đáy là đa giác đều được gọi là lăng trụ đều.
Tính chất của hình lăng trụ đứng
+] Là loại hình có các cạnh bên vuông góc với đáy
+] Tất cả các mặt bên đều là hình chữ nhật
+] Hình lăng trụ đứng có mặt phẳng chứa đáy là các mặt phẳng song song.
+] Chiều cao của hình lăng trụ đứng là cạnh bên
==> Đây là hai tính chất quan trọng để phân biệt và nhận biết hình lăng trụ đứng với các hình lăng trụ khác. Những hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành còn được biết tới với tên gọi là hình hộp đứng.
Một số hình lăng trụ đứng đặc biệt
1. Hình hộp đứng
– Định nghĩa: Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
– Tính chất: Hình hộp đứng có 2 đáy là hình bình hành, 4 mặt xung quanh là 4 hình chữ nhật.
2. Hình hộp chữ nhật
– Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
– Tính chất: Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là 6 hình chữ nhật.
+] Hình chữ nhật có 12 cạnh, 8 đỉnh và 6 mặt.
+] Các đường chéo có hai đầu mút là 2 đỉnh đối nhau của hình hộp chữ nhật đồng quy tại một điểm
+] Diện tích của hai mặt đối diện trong hình hộp chữ nhật bằng nhau
+] Chu vi của hai mặt đối diện trong hình hộp chữ nhật bằng nhau
3. Hình lập phương
– Định nghĩa: Hình lập phương là hình hộp chữ nhật 2 đáy và 4 mặt bên đều là hình vuông.
– Tính chất: Hình lập phương có 6 mặt đều là hình vuông.
+] Khối lập phương là hình đa diện đều loại {4; 3}. Các mặt là hình vuông, mỗi đỉnh là đỉnh chung của 3 mặt.
+] Khối lập phương có 6 mặt, 8 đỉnh, 12 cạnh.
Cám ơn bạn đã theo dõi bài viết ” Hình lăng trụ đứng là gì ? ” của chúng tôi, hy vọng bài viết sẽ đem đến những giá trị nội dung hữu ích cho quý khách hàng !
Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có
cạnh BC = a$\sqrt 2$ và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.Lời giải
Ta có ΔABC vuông cân tại A nên AB = AC = a
ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng $\begin{array}{l} \to AA' \bot AB\\\Delta AA'B \to {\left[ {AA'} \right]^2} = A'{B^2} - A{B^2} = 8{a^2} \to AA' = 2a\sqrt 2 \end{array}$
Vậy V = B.h = SABC .AA' = ${a^3}\sqrt 2 $
Ví dụ 2:Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ nàygiải
ABCD.A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên [BD]$^2$ = [BD']$^2$ - [DD']$^2$ = 9a$^2$ → BD = 3a
ABCD là hình vuông $ \Rightarrow AB = \frac{{3a}}{{\sqrt 2 }}$
Suy ra B = SABCD = $\frac{{9{a^2}}}{4}$
Vậy V = B.h = S$_{ABCD}$.AA' = 9a$^3$
Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.Phân tích
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h
trong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm diên tích B = SABC bằng công thức nào ?
+ Từ diện tích ΔA’BC suy ra cạnh nào ? tại sao ?
+ Tìm h = AA' dùng tam giác nào và định lí gì ?giải
Gọi I là trung điểm BC .Ta có ΔABC đều nên
$\begin{array}{l}AI = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt {3\,} \,\& \,AI \bot BC \Rightarrow A'I \bot BC\,[dl3 \bot ]\\{S_{A'BC}} = \frac{1}{2}BC.A'I \Rightarrow A'I = frac{{2{S_{A'BC}}}}{{BC}} = 4\\AA' \bot [ABC] \Rightarrow AA' \bot AI\\ \Rightarrow AA' = \sqrt {A'{I^2} - A{I^2}} = 2
\end{array}$
Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC .AA'= $8\sqrt 3$
Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 60$^0$ Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp .Phân tích
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào?
+ Tìm diện tích B của hình thoi ABCD bằng cách nào?
+ Tìm h = DD' trong tam giác vuông nào ? và định lí gì?giải
Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a
và S$_{ABCD}$ = 2S$_{ABD}$ = $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$
Theo đề bài BD' = AC = $2\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 $
$\Delta DD'B \Rightarrow DD' = \sqrt {BD{'^2} - B{D^2}} = a\sqrt 2 $
Vậy V = S$_{ABCD}$.DD' = $\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}$
Ví dụ 5: Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp. Tính thể tích cái hộp này.Phân tích
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+ Tìm h = AA' ? Tại sao ?
+ Tìm AB ? Suy ra B = S$_{ABCD}$ = AB2 ?Giải
Theo đề bài, ta có AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD là hình vuông có AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm
và chiều cao hộp h = 12 cm
Vậy thể tích hộp là V = S$_{ABCD}$.h = 4800cm$^3$
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ.
ĐS: $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$ ; S = 3a$^2$
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng $BD' = a\sqrt 6 $. Tính thể tích của lăng trụ.
Đs: V = 2a$^3$
Bài 3.Lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm biết rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của lăng trụ.
Đs:V = 240cm$^3$ và S = 248cm$^2$
Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ;30cm và biết tổng diện tích các mặt bên là 480 cm$^2$ . Tính thể tích lăng trụ .
Đs: V = 1080 cm$^3$
Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,biết rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a . Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V = 24a$^3$
Bài 6:Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích các mặt của lăng trụ bằng 96 cm$^2$.Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V = 64 cm$^3$
Bài 7.Cho lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 19,20,37 và chiều cao của khối lăng trụ bằng trung bình cộng các cạnh đáy. Tính thể tích của lăng trụ.
Đs: V = 2888
Bài 8. Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 m$^2$ .Tính thể tích khối lập phương Đs: V = 8 m$^3$
Bài 9:Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết rằng độ dài một đường chéo của hình hộp là 1 m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
Đs: V = 0,4 m$^3$
Bài 10. Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo của các mặt lần lượt là $\sqrt 5 ;\sqrt {10} ;\sqrt {13} $. Tính thể tích khối hộp này.
Đs: V = 6