Log2 là gì

Chúng ta tiếp tục nghiên cứu logarit. Trong bài viết này chúng ta sẽ nói về tính toán logarit, quá trình này được gọi là lôgarit. Đầu tiên, chúng ta sẽ giải quyết việc tính logarit theo định nghĩa. Tiếp theo, hãy xem xét cách các giá trị của logarit được tìm thấy bằng cách sử dụng các thuộc tính của chúng. Sau đó, chúng ta sẽ đi sâu vào tính toán logarit thông qua ban đầu thiết lập các điểm logarit khác. Cuối cùng, chúng ta hãy học cách sử dụng bảng logarit. Toàn bộ lý thuyết được cung cấp các ví dụ với lời giải chi tiết.

Điều hướng trang.

Tính toán logarit theo định nghĩa

Trong những trường hợp đơn giản nhất, có thể thực hiện nhanh chóng và dễ dàng tìm lôgarit theo định nghĩa. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn quá trình này diễn ra như thế nào.

Bản chất của nó là biểu diễn số b dưới dạng a c, trong khi đó, theo định nghĩa của lôgarit, số c là giá trị của lôgarit. Nghĩa là, theo định nghĩa, tìm lôgarit tương ứng với chuỗi cân bằng sau: log a b = log a a c = c.

Vì vậy, việc tính toán lôgarit, theo định nghĩa, đi đến việc tìm một số c sao cho a c \ u003d b, và bản thân số c là giá trị mong muốn của lôgarit.

Với thông tin của các đoạn trước, khi số dưới dấu của logarit được cho bằng một số bậc của cơ số của logarit, thì bạn có thể ngay lập tức cho biết logarit bằng bao nhiêu - nó bằng số mũ. Hãy đưa ra các ví dụ.

Ví dụ.

Tìm log 2 2 −3, đồng thời tính logarit tự nhiên của e 5.3.

Quyết định.

Định nghĩa của logarit cho phép chúng ta nói ngay rằng log 2 2 −3 = −3. Thật vậy, số dưới dấu của lôgarit bằng cơ số 2 với lũy thừa −3.

Tương tự, ta tìm được logarit thứ hai: lne 5,3 = 5,3.

Trả lời:

log 2 2 −3 = −3 và lne 5.3 = 5.3.

Nếu số b dưới dấu của lôgarit không được cho là lũy thừa của cơ số của lôgarit, thì bạn cần phải xem xét cẩn thận xem có thể đưa ra biểu diễn của số b dưới dạng a c hay không. Thường thì biểu diễn này khá rõ ràng, đặc biệt là khi số dưới dấu của lôgarit bằng cơ số với lũy thừa của 1, 2, hoặc 3, ...

Ví dụ.

Tính logarit log 5 25 và.

Quyết định.

Dễ dàng thấy rằng 25 = 5 2, điều này cho phép bạn tính logarit đầu tiên: log 5 25 = log 5 5 2 = 2.

Chúng ta tiến hành tính logarit thứ hai. Một số có thể được biểu diễn dưới dạng lũy ​​thừa của 7:

Hãy viết lại logarit thứ ba dưới dạng sau. Bây giờ bạn có thể thấy rằng

Tóm lại, giải pháp có thể được viết như sau:

Trả lời:

log 5 25 = 2,

Khi có một giá trị đủ lớn dưới dấu của lôgarit số tự nhiên, sau đó nó không đau để phân hủy nó thành thừa số nguyên tố. Nó thường giúp biểu diễn một số như là một số lũy thừa của cơ số của lôgarit, và do đó, để tính lôgarit này theo định nghĩa.

Ví dụ.

Tìm giá trị của lôgarit.

Quyết định.

Một số thuộc tính của logarit cho phép bạn chỉ định ngay giá trị của logarit. Các thuộc tính này bao gồm tính chất của logarit của một và tính chất của logarit của một số bằng cơ số: log 1 1 = log a a 0 = 0 và log a a = log a a 1 = 1. Nghĩa là, khi số 1 hoặc số a dưới dấu của lôgarit, bằng cơ số của lôgarit, thì trong những trường hợp này, lôgarit lần lượt là 0 và 1.

Ví dụ.

Logarit và lg10 là gì?

Quyết định.

Vì, nó tuân theo định nghĩa của lôgarit

Trong ví dụ thứ hai, số 10 dưới dấu của lôgarit giống với cơ số của nó, vì vậy lôgarit thập phân của mười bằng một, nghĩa là, lg10 = lg10 1 = 1.

Trả lời:

Và lg10 = 1.

Lưu ý rằng tính toán logarit theo định nghĩa [mà chúng ta đã thảo luận trong đoạn trước] ngụ ý việc sử dụng hàm đẳng thức a a p = p, là một trong những tính chất của logarit.

Trong thực tế, khi số dưới dấu của lôgarit và cơ số của lôgarit được biểu diễn dễ dàng dưới dạng lũy ​​thừa của một số nào đó, thì rất thuận tiện khi sử dụng công thức

Ví dụ.

Tính logarit của.

Quyết định.

Trả lời:

Các tính chất của logarit không được đề cập ở trên cũng được sử dụng trong tính toán, nhưng chúng ta sẽ nói về điều này trong các đoạn sau.

Tìm logarit dưới dạng các logarit đã biết khác

Thông tin trong đoạn này tiếp tục chủ đề về việc sử dụng các tính chất của logarit trong tính toán của chúng. Nhưng ở đây sự khác biệt chính là các thuộc tính của logarit được sử dụng để biểu thị logarit ban đầu dưới dạng một logarit khác, giá trị của nó đã biết. Hãy lấy một ví dụ để làm rõ. Giả sử chúng ta biết rằng log 2 3≈1.584963, thì chúng ta có thể tìm, chẳng hạn, log 2 6 bằng cách thực hiện một phép biến đổi nhỏ sử dụng các thuộc tính của logarit: log 2 6 = log 2 [2 3] = log 2 2 + log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Trong ví dụ trên, chúng ta sử dụng thuộc tính lôgarit của tích là đủ. Tuy nhiên, bạn thường phải sử dụng một kho các thuộc tính của logarit rộng hơn để tính logarit ban đầu theo các giá trị đã cho.

Ví dụ.

Tính logarit của 27 đến cơ số 60 nếu biết rằng log 60 2 = a và log 60 5 = b.

Quyết định.

Vì vậy, chúng ta cần tìm log 60 27. Dễ dàng thấy rằng 27 = 3 3, và logarit gốc, do tính chất của logarit bậc, có thể được viết lại thành 3 · log 60 3.

Bây giờ chúng ta hãy xem log 60 3 có thể được biểu diễn như thế nào dưới dạng logarit đã biết. Tính chất lôgarit của một số bằng cơ số cho phép bạn viết lôgarit đẳng thức 60 60 = 1. Mặt khác, log 60 60 = log60 [2 2 3 5] = log 60 2 2 + log 60 3 + log 60 5 = 2 log 60 2 + log 60 3 + log 60 5. Vì vậy, 2 log 60 2 + log 60 3 + log 60 5 = 1. Vì thế, log 60 3 = 1−2 log 60 2 − log 60 5 = 1−2 a − b.

Cuối cùng, chúng ta tính logarit ban đầu: log 60 27 = 3 log 60 3 = 3 [1−2 a − b] = 3−6 a − 3 b.

Trả lời:

log 60 27 = 3 [1−2 a − b] = 3−6 a − 3 b.

Riêng biệt, cần đề cập đến ý nghĩa của công thức chuyển đổi sang cơ số mới của lôgarit có dạng

Bảng logarit, việc sử dụng chúng

Để tính toán gần đúng các giá trị của logarit, người ta có thể sử dụng bảng logarit. Bảng logarit cơ số 2 được sử dụng phổ biến nhất, bảng logarit tự nhiên và bàn logarit thập phân. Khi làm việc ở hệ thống thập phân tính toán thuận tiện khi sử dụng bảng logarit trong cơ số 10. Với sự trợ giúp của nó, chúng ta sẽ học cách tìm các giá trị của logarit.

Bảng được trình bày cho phép, với độ chính xác là một phần mười nghìn, tìm các giá trị của logarit thập phân của các số từ 1.000 đến 9.999 [với ba chữ số thập phân]. Nguyên tắc tìm giá trị của lôgarit bằng cách sử dụng bảng lôgarit thập phân sẽ được phân tích trong ví dụ cụ thể- rõ ràng hơn rất nhiều. Hãy tìm lg1,256.

Trong cột bên trái của bảng logarit thập phân, chúng ta tìm thấy hai chữ số đầu tiên của số 1.256, tức là chúng ta tìm thấy 1.2 [số này được khoanh màu xanh cho rõ ràng]. Chữ số thứ ba trong số 1.256 [số 5] được viết ở dòng đầu tiên hoặc dòng cuối cùng bên trái của vạch kép [số này được khoanh đỏ]. Chữ số thứ tư của số ban đầu 1.256 [số 6] được tìm thấy ở dòng đầu tiên hoặc dòng cuối cùng bên phải của dòng kép [số này được khoanh màu xanh lá cây]. Bây giờ chúng ta tìm các số trong các ô của bảng logarit tại giao điểm của hàng được đánh dấu và cột được đánh dấu [những số này được đánh dấu trái cam]. Tổng các số được đánh dấu cho giá trị mong muốn của lôgarit thập phân lên đến chữ số thập phân thứ tư, nghĩa là log1.236≈0.0969 + 0.0021 = 0.0990.

Có thể sử dụng bảng trên để tìm giá trị của logarit thập phân của các số có nhiều hơn ba chữ số sau dấu thập phân và cũng vượt quá giới hạn từ 1 đến 9,999 không? Có, bạn có thể. Hãy cho thấy điều này được thực hiện như thế nào với một ví dụ.

Hãy tính lg102.76332. Đầu tiên bạn cần viết số trong mẫu: 102,76332 = 1,0276332 10 2. Sau đó, phần định trị sẽ được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba, chúng ta có 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, trong khi lôgarit thập phân ban đầu xấp xỉ bằng logarit số kết quả, tức là, chúng ta lấy lg102.76332≈lg1.028 · 10 2. Bây giờ áp dụng các thuộc tính của lôgarit: lg1.028 10 2 = lg1.028 + lg10 2 = lg1.028 + 2. Cuối cùng, chúng ta tìm giá trị của logarit lg1.028 theo bảng logarit thập phân lg1.028≈0.0086 + 0.0034 = 0.012. Kết quả là, toàn bộ quá trình tính toán lôgarit trông như thế này: lg102,76332 = lg1,0276332 10 2 ≈lg1,028 10 2 = lg1.028 + lg10 2 = lg1.028 + 2≈0.012 + 2 = 2.012.

Tóm lại, cần lưu ý rằng sử dụng bảng logarit thập phân, bạn có thể tính giá trị gần đúng của bất kỳ logarit nào. Để làm điều này, chỉ cần sử dụng công thức chuyển đổi để chuyển sang logarit thập phân, tìm giá trị của chúng trong bảng và thực hiện các phép tính còn lại.

Ví dụ, hãy tính log 2 3. Theo công thức chuyển đổi sang cơ số mới của logarit, chúng ta có. Từ bảng logarit thập phân ta tìm được lg3≈0.4771 và lg2≈0.3010. Vì vậy,

Thư mục.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. và các chương trình khác. Đại số và Sơ cấp về Phân tích: Sách Giáo khoa dành cho Lớp 10-11 của các Cơ sở Giáo dục Phổ thông.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Toán học [cẩm nang dành cho những người nộp đơn vào các trường kỹ thuật].

Như bạn đã biết, khi nhân biểu thức với lũy thừa, số mũ của chúng luôn cộng lại [a b * a c = a b + c]. Định luật toán học này được Archimedes đưa ra, và sau đó, vào thế kỷ thứ 8, nhà toán học Virasen đã tạo ra một bảng các chỉ số nguyên. Chính họ đã phục vụ cho việc khám phá thêm về logarit. Ví dụ về việc sử dụng hàm này có thể được tìm thấy ở hầu hết mọi nơi, nơi yêu cầu đơn giản hóa phép nhân rườm rà thành phép cộng đơn giản. Nếu bạn dành 10 phút để đọc bài viết này, chúng tôi sẽ giải thích cho bạn logarit là gì và cách làm việc với chúng. Ngôn ngữ đơn giản và dễ tiếp cận.

Định nghĩa trong toán học

Lôgarit là một biểu thức có dạng sau: log a b = c, nghĩa là, lôgarit của bất kỳ số không âm nào [tức là bất kỳ số dương nào] "b" bởi cơ số "a" của nó được coi là lũy thừa của "c" , mà cơ sở "a" phải được nâng lên, để cuối cùng nhận được giá trị "b". Hãy phân tích logarit bằng cách sử dụng các ví dụ, giả sử có một biểu thức log 2 8. Làm thế nào để tìm câu trả lời? Rất đơn giản, bạn cần tìm một bằng sao cho từ 2 đến bằng yêu cầu bạn đạt 8. ​​Sau khi thực hiện một số phép tính trong đầu, chúng ta nhận được số 3! Và đúng như vậy, bởi vì 2 nhân với lũy thừa của 3 cho ra số 8 trong câu trả lời.

Các loại logarit

Đối với nhiều học sinh, sinh viên, chủ đề này có vẻ phức tạp và khó hiểu, nhưng thực tế, logarit không quá đáng sợ, cái chính là hiểu ý nghĩa tổng quát của chúng và nhớ các tính chất của chúng và một số quy tắc. Có ba một số loại biểu thức logarit:

1. Lôgarit tự nhiên ln a, trong đó cơ số là số Euler [e = 2,7].
2. Số thập phân a, trong đó cơ số là 10.
3. Lôgarit của bất kỳ số b với cơ số a> 1.

Mỗi người trong số họ được quyết định theo một cách tiêu chuẩn, bao gồm đơn giản hóa, rút ​​gọn và sau đó rút gọn thành một logarit bằng cách sử dụng các định lý logarit. Để có được các giá trị chính xác của logarit, người ta nên nhớ các thuộc tính của chúng và thứ tự của các hành động trong các quyết định của chúng.

Quy tắc và một số hạn chế

Trong toán học, có một số quy tắc-giới hạn được chấp nhận như một tiên đề, nghĩa là, chúng không phải là đối tượng của cuộc thảo luận và đúng. Ví dụ, bạn không thể chia số cho số 0 và cũng không thể trích xuất gốc mức độ đồng đều từ số âm. Logarit cũng có các quy tắc riêng của chúng, sau đó bạn có thể dễ dàng học cách làm việc ngay cả với các biểu thức logarit dài và dung lượng:

• cơ sở "a" phải luôn luôn là Hơn không, đồng thời không được bằng 1, nếu không biểu thức sẽ mất ý nghĩa, vì "1" và "0" ở bất kỳ mức độ nào cũng luôn bằng giá trị của chúng;
• nếu a> 0, sau đó a b> 0, thì "c" phải lớn hơn 0.

Làm thế nào để giải quyết logarit?

Ví dụ: được giao nhiệm vụ tìm câu trả lời cho phương trình 10 x \ u003d 100. Rất dễ dàng, bạn cần chọn một lũy thừa như vậy bằng cách nâng số mười lên mà chúng ta nhận được 100. Tất nhiên, đây là 10 2 \ u003d 100.

Bây giờ hãy biểu diễn biểu thức này dưới dạng logarit. Ta nhận được log 10 100 = 2. Khi giải logarit, tất cả các thao tác thực tế đều hội tụ để tìm mức độ mà cơ số của logarit phải nhập để thu được một số nhất định.

Để xác định chính xác giá trị của bằng cấp chưa biết, bạn phải học cách làm việc với bảng độ. Nó trông như thế này:

Như bạn có thể thấy, một số số mũ có thể được đoán trực quan nếu bạn có tư duy kỹ thuật và kiến ​​thức về bảng cửu chương. Tuy nhiên, đối với giá trị lớn bạn cần một bảng độ. Nó có thể được sử dụng ngay cả bởi những người không hiểu bất cứ điều gì phức tạp chủ đề toán học. Cột bên trái chứa các số [cơ số a], hàng trên cùng là giá trị của lũy thừa c, mà số a được nâng lên. Tại giao điểm trong các ô, giá trị của các số được xác định, đó là đáp số [a c = b]. Ví dụ, chúng ta hãy lấy ô đầu tiên có số 10 và bình phương nó, chúng ta nhận được giá trị 100, được chỉ ra tại giao điểm của hai ô của chúng ta. Mọi thứ thật đơn giản và dễ dàng mà ngay cả những người thực tế nhất cũng sẽ hiểu!

Phương trình và bất phương trình

Nó chỉ ra rằng trong những điều kiện nhất định, số mũ là logarit. Do đó, bất kỳ biểu thức số toán học nào cũng có thể được viết dưới dạng phương trình logarit. Ví dụ, 3 4 = 81 có thể được viết dưới dạng logarit của 81 đến cơ số 3, là bốn [log 3 81 = 4]. Vì quyền hạn tiêu cực các quy tắc giống nhau: 2 -5 \ u003d 1/32 chúng ta viết dưới dạng logarit, chúng ta nhận được log 2 [1/32] \ u003d -5. Một trong những phần hấp dẫn nhất của toán học là chủ đề "logarit". Chúng ta sẽ xem xét các ví dụ và nghiệm của phương trình thấp hơn một chút, ngay sau khi nghiên cứu các tính chất của chúng. Bây giờ chúng ta hãy xem xét các bất đẳng thức trông như thế nào và làm thế nào để phân biệt chúng với các phương trình.

Biểu thức có dạng sau được cho: log 2 [x-1]> 3 - nó là bất đẳng thức logarit, vì giá trị chưa biết "x" nằm dưới dấu của lôgarit. Và trong biểu thức cũng có hai đại lượng được so sánh: logarit của số mong muốn trong cơ số hai lớn hơn số ba.

Sự khác biệt quan trọng nhất giữa phương trình logarit và bất phương trình là phương trình với logarit [ví dụ: logarit của 2 x = √9] ngụ ý một hoặc nhiều Giá trị kiểu số, trong khi giải các bất phương trình được định nghĩa là khu vực giá trị cho phép, và các điểm gián đoạn của chức năng này. Kết quả là, câu trả lời không phải là một tập hợp các số riêng lẻ, như trong câu trả lời của phương trình, mà là một chuỗi hoặc tập hợp số liên tục.

Các định lý cơ bản về logarit

Khi giải các nhiệm vụ cơ bản về tìm giá trị của lôgarit, các tính chất của nó có thể không được biết đến. Tuy nhiên, khi nói đến bất phương trình hay bất phương trình logarit, trước hết cần hiểu rõ và vận dụng vào thực tế. Các tính chất cơ bản logarit. Chúng ta sẽ làm quen với các ví dụ về phương trình ở phần sau, trước tiên chúng ta hãy phân tích từng tính chất một cách chi tiết hơn.

1. Nhận dạng cơ bản trông như thế này: a logaB = B. Nó chỉ áp dụng nếu a lớn hơn 0, không bằng một và B lớn hơn 0.
2. Lôgarit của tích có thể được biểu diễn theo công thức sau: log d [s 1 * s 2] = log d s 1 + log d s 2. Trong trường hợp này, điều kiện tiên quyết là: d, s 1 và s 2> 0; a ≠ 1. Bạn có thể đưa ra một bằng chứng cho công thức này của logarit, với các ví dụ và lời giải. Đặt log a s 1 = f 1 và log a s 2 = f 2, khi đó a f1 = s 1, a f2 = s 2. Ta nhận được rằng s 1 * s 2 = a f1 * a f2 = a f1 + f2 [tính chất độ ], và xa hơn theo định nghĩa: log a [s 1 * s 2] = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, điều này cần được chứng minh.
3. Lôgarit của thương có dạng như sau: log a [s 1 / s 2] = log a s 1 - log a s 2.
4. Định lý dưới dạng một công thức có được lần xem tiếp theo: log a q b n = n / q log a b.

Công thức này được gọi là "tính chất của bậc của lôgarit". Nó giống các tính chất của độ bình thường, và không có gì đáng ngạc nhiên, bởi vì tất cả toán học đều dựa trên các định đề thông thường. Hãy xem bằng chứng.

Đặt log a b \ u003d t, thì ra a t \ u003d b. Nếu nâng cả hai phần lên lũy thừa m thì: a tn = b n;

nhưng vì a tn = [a q] nt / q = b n, do đó log a q b n = [n * t] / t, sau đó log a q b n = n / q log a b. Định lý đã được chứng minh.

Ví dụ về các vấn đề và bất bình đẳng

Các dạng bài toán logarit phổ biến nhất là các ví dụ về phương trình và bất phương trình. Chúng được tìm thấy trong hầu hết các sách giải toán, và cũng được đưa vào phần bắt buộc của các kỳ thi môn toán. Để được nhận vào trường đại học hoặc đậu kiểm tra đầu vào trong toán học, bạn cần phải biết làm thế nào để giải quyết các vấn đề như vậy một cách chính xác.

Thật không may, một kế hoạch hoặc kế hoạch duy nhất để giải quyết và xác định giá trị không xác định không có logarit, tuy nhiên, một số quy tắc nhất định có thể được áp dụng cho mỗi bất đẳng thức toán học hoặc phương trình logarit. Trước hết, bạn nên tìm hiểu xem biểu thức có thể được đơn giản hóa hoặc rút gọn thành nhìn chung. Đơn giản hóa dài biểu thức logarit Bạn có thể, nếu bạn sử dụng các thuộc tính của chúng một cách chính xác. Hãy làm quen với chúng ngay sau đây.

Khi quyết định phương trình logarit, cần phải xác định loại logarit trước chúng ta: một ví dụ về biểu thức có thể chứa một logarit tự nhiên hoặc một số thập phân.

Dưới đây là các ví dụ ln100, ln1026. Giải pháp của họ rút ra được thực tế là bạn cần xác định mức độ mà cơ số 10 sẽ tương ứng bằng 100 và 1026. Đối với các giải pháp của lôgarit tự nhiên, người ta phải áp dụng đồng nhất lôgarit hoặc các tính chất của chúng. Chúng ta hãy xem giải pháp với các ví dụ. vấn đề logarit loại khác.

Cách sử dụng công thức lôgarit: Với các ví dụ và giải pháp

Vì vậy, chúng ta hãy xem xét các ví dụ về việc sử dụng các định lý chính về logarit.

1. Thuộc tính lôgarit của sản phẩm có thể được sử dụng trong các nhiệm vụ cần mở rộng tầm quan trọng lớn số b nhiều hơn thừa số nguyên tố. Ví dụ, log 2 4 + log 2 128 = log 2 [4 * 128] = log 2 512. Câu trả lời là 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - như bạn có thể thấy, bằng cách áp dụng tính chất thứ tư của bậc của logarit, chúng ta đã giải được sơ bộ một biểu thức phức tạp và không giải được. Nó chỉ cần thiết để phân tích cơ số và sau đó lấy các giá trị lũy thừa ra khỏi dấu của lôgarit.

Nhiệm vụ từ kỳ thi

Logarit thường được tìm thấy trong kỳ thi tuyển sinh, đặc biệt là rất nhiều bài toán về lôgarit trong Kỳ thi Thống nhất Quốc gia [kỳ thi cấp nhà nước dành cho tất cả học sinh tốt nghiệp cấp trường]. Thông thường, những nhiệm vụ này không chỉ xuất hiện trong phần A [phần dễ nhất phần kiểm tra], mà còn trong phần C [các nhiệm vụ khó và đồ sộ nhất]. Đề thi bao hàm kiến ​​thức chính xác và hoàn thiện về chủ đề "Lôgarit tự nhiên".

Các ví dụ và giải pháp vấn đề được lấy từ chính thức SỬ DỤNG tùy chọn. Hãy xem làm thế nào các nhiệm vụ như vậy được giải quyết.

Cho log 2 [2x-1] = 4. Lời giải:
Hãy viết lại biểu thức, đơn giản hóa nó một chút log 2 [2x-1] = 2 2, theo định nghĩa của logarit, chúng ta nhận được rằng 2x-1 = 2 4, do đó 2x = 17; x = 8,5.

• Tốt nhất là tất cả các logarit được giảm về cùng một cơ số để giải pháp không rườm rà và khó hiểu.
• Tất cả các biểu thức dưới dấu của lôgarit được chỉ ra là dương, do đó, khi lấy số mũ của biểu thức, dưới dấu của lôgarit và là cơ số của nó, biểu thức còn lại dưới dấu lôgarit phải là số dương.

Quyền riêng tư của bạn rất quan trọng với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách bảo mật mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng đọc chính sách bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để xác định một người cụ thể hoặc liên hệ với anh ta.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của bạn bất kỳ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Sau đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân mà chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Chúng tôi thu thập thông tin cá nhân nào:

• Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ của bạn E-mail vân vân.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

• Do chúng tôi sưu tầm thông tin cá nhân cho phép chúng tôi liên hệ với bạn và thông báo cho bạn về các ưu đãi, khuyến mãi độc đáo và các sự kiện khác và các sự kiện sắp tới.
• Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi cho bạn những thông báo và tin nhắn quan trọng.
• Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như thực hiện kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau để cải thiện các dịch vụ mà chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các khuyến nghị liên quan đến dịch vụ của chúng tôi.
• Nếu bạn tham gia rút thăm giải thưởng, cuộc thi hoặc khuyến khích tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Các trường hợp ngoại lệ:

• Nếu cần - theo quy định của pháp luật, lệnh tư pháp, trong quá trình tố tụng pháp lý và / hoặc dựa trên yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ cơ quan chính phủ trên lãnh thổ của Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc thích hợp vì lý do bảo mật, thực thi pháp luật hoặc lợi ích công cộng khác.
• Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập được cho người kế nhiệm bên thứ ba có liên quan.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, bị đánh cắp và sử dụng sai mục đích, cũng như khỏi bị truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Duy trì quyền riêng tư của bạn ở cấp công ty

Để đảm bảo rằng thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các thông lệ về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm túc các thông lệ về quyền riêng tư.

log a r b r = log a b hoặc log a b= log a r b r

Giá trị của lôgarit không thay đổi nếu cơ số của lôgarit và số dưới dấu của lôgarit được nâng lên cùng một lũy thừa.

Chỉ các số dương mới có thể dưới dấu của lôgarit và cơ số của lôgarit không bằng một.

Các ví dụ.

1] So sánh log 3 9 và log 9 81.

log 3 9 = 2 vì 3 2 = 9;

log 9 81 = 2 vì 9 2 = 81.

Vậy log 3 9 = log 9 81.

Lưu ý rằng cơ số của logarit thứ hai bằng bình phương của cơ số của logarit thứ nhất: 9 = 3 2, và số dưới dấu của logarit thứ hai bằng bình phương của số dưới dấu của thứ nhất. lôgarit: 81 = 9 2. Nó chỉ ra rằng cả số và cơ số của logarit thứ nhất 3 9 đều được nâng lên lũy thừa thứ hai và giá trị của logarit không thay đổi so với điều này:

Hơn nữa, kể từ khi giải nén gốc N mức độ từ trong số một là cấu tạo của một số mộtđến một mức độ [ 1 / n], thì log 3 9 có thể nhận được từ log 9 81 bằng cách lấy căn bậc hai của số và cơ số của logarit:

2] Kiểm tra đẳng thức: log 4 25 = log 0,5 0,2.

Hãy xem xét lôgarit đầu tiên. Trích xuất Căn bậc hai từ cơ sở 4 và từ trong số đó 25 ; ta được: log 4 25 = log 2 5.

Hãy xem xét lôgarit thứ hai. Cơ số của logarit: 0,5 = 1/2. Số dưới dấu của lôgarit này: 0,2 = 1/5. Hãy nâng mỗi số sau lên lũy thừa đầu tiên bị trừ:

0,5 -1 =[1 / 2] -1 =2;

0,2 -1 =[1 / 5] -1 =5.

Vậy log 0,5 0,2 = log 2 5. Kết luận: đẳng thức này đúng.

Giải phương trình:

log 4 x 4 + log 16 81 = log 2 [5x + 2]. Chúng tôi đưa logarit từ bên trái sang cơ sở 2 .

log 2 x 2 + log 2 3 = log 2 [5x + 2]. Chúng tôi lấy căn bậc hai của số và từ cơ số của logarit đầu tiên. Chúng tôi lấy căn thứ tư của số và cơ số của logarit thứ hai.

log 2 [3x 2] = log 2 [5x + 2]. Chuyển tổng của logarit thành logarit của tích.

3x2 = 5x + 2. Nhận được sau khi phân áp.

3x2-5x-2 = 0. Chúng tôi quyết định phương trình bậc hai trên công thức chung cho phương trình bậc hai đầy đủ:

a = 3, b = -5, c = -2.

D = b 2 -4ac = [- 5] 2 -4 ∙ 3 ∙ [-2] = 25 + 24 = 49 = 7 2> 0; 2 gốc thật.

Kiểm tra.

log 4 2 4 + log 16 81 = log 2 [5 ∙ 2 + 2];

log 2 2 2 + log 2 3 = log 2 12;

log 2 [4 ∙ 3] = log 2 12;

log 2 12 = log 2 12;

Lôgarit của một số b bởi lý do một bằng với sản phẩm phân số 1/ N thành lôgarit của một số b bởi lý do một.

Để tìm:1] 21log 8 3 + 40log 25 2; 2] 30log 32 3 ∙ log 125 2 nếu nó được biết rằng log 2 3 = b,log 5 2 = c.

Quyết định.

Giải phương trình:

1] log 2 x + log 4 x + log 16 x = 5,25.

Quyết định.

Chúng ta đưa các logarit này về cơ số 2. Áp dụng công thức: log a n b=[1/ N]∙ log a b

log 2 x + [½] log 2 x + [¼] log 2 x = 5,25;

log2x + 0,5log2x + 0,25log2x = 5,25. Dưới đây là các điều khoản tương tự:

[1 + 0,5 + 0,25] log 2 x = 5,25;

1,75 log 2 x = 5,25 |: 1,75

log 2x = 3. Theo định nghĩa của một lôgarit:

2] 0,5log 4 [x-2] + log 16 [x-3] = 0,25.

Quyết định. Lấy logarit cơ số 16 chuyển sang cơ số 4.

0,5log 4 [x-2] + 0,5log 4 [x-3] = 0,25 |: 0,5

log4 [x-2] + log4 [x-3] = 0,5. Chuyển tổng của logarit thành logarit của tích.

log 4 [[x-2] [x-3]] = 0,5;

log 4 [x 2 -2x-3x + 6] = 0,5;

log 4 [x 2 -5x + 6] = 0,5. Theo định nghĩa của một lôgarit:

x 2 -5x + 4 = 0. Theo định lý Vieta:

x 1 = 1; x2 = 4. Giá trị đầu tiên của x sẽ không hoạt động, vì đối với x \ u003d 1, logarit của đẳng thức này không tồn tại, bởi vì chỉ các số dương mới có thể nằm dưới dấu của lôgarit.

Hãy kiểm tra phương trình đã cho tại x = 4.

Kiểm tra.

0,5log 4 [4-2] + log 16 [4-3] = 0,25

0,5log 4 2 + log 16 1 = 0,25

0,5∙0,5+0=0,25

log a b = log c b / log c a

Lôgarit của một số b bởi lý do một bằng logarit của số b trên một cơ sở mới với chia cho logarit của cơ số cũ một trên một cơ sở mới với.

Ví dụ:

1] log 2 3 = log3 / log2;

2] log 8 7 = ln7 / ln8.

Tính toán:

1] log 5 7 nếu nó được biết rằng lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.

c b / khúc gỗ c một.

log 5 7 = log7 / log5≈0.8451: 0.6990≈1.2090.

Trả lời: log 5 7≈1,209 0≈1,209 .

2] nhật ký 5 7 nếu nó được biết rằng ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

Quyết định. Áp dụng công thức: log a b = log c b / khúc gỗ c một.

log 5 7 = ln7 / ln5≈1.9459: 1.6094≈1.2091.

Trả lời: log 5 7≈1,209 1≈1,209 .

Tìm x:

1] log 3 x = log 3 4 + log 5 6 / log 5 3 + log 7 8 / log 7 3.

Chúng tôi sử dụng công thức: log c b / khúc gỗ c a = log a b . Chúng tôi nhận được:

log 3 x = log 3 4 + log 3 6 + log 3 8;

log 3 x = log 3 [4 ∙ 6 ∙ 8];

log 3 x = log 3 192;

x = 192.

2] log 7 x = lg143-log 6 11 / log 6 10-log 5 13 / log 5 10.

Chúng tôi sử dụng công thức: log c b / khúc gỗ c a = log a b. Chúng tôi nhận được:

log 7 x = lg143-lg11-lg13;

log 7 x = lg143- [lg11 + lg13];

log 7 x = log143-log [11 ∙ 13];

log 7 x = lg143-lg143;

x = 1.

Trang 1/1 1

\ [a ^ [b] = c \] \ [\ Leftrightarrow \] \ [\ log_ [a] [c] = b \]

Hãy giải thích nó dễ dàng hơn. Ví dụ: \ [\ log_ [2] [8] \] bằng mức độ, mà \ [2 \] phải được nâng lên để lấy \ [8 \]. Từ đó, rõ ràng là \ [\ log_ [2] [8] = 3 \].

Đối số và cơ số của lôgarit

Bất kỳ lôgarit nào đều có "giải phẫu" sau:

Đối số của lôgarit thường được viết ở mức của nó, và cơ số được viết dưới dạng dấu phụ gần với dấu của lôgarit hơn. Và mục nhập này được đọc như thế này: "logarit của hai mươi lăm đến cơ số năm."

Làm thế nào để tính toán lôgarit?

Để tính logarit, bạn cần trả lời câu hỏi: phải nâng cơ số lên ở mức độ nào để có đối số?

Ví dụ, tính logarit: a] \ [\ log_ [4] [16] \] b] \ [\ log_ [3] \] \ [\ frac [1] [3] \] c] \ [\ log _ [\ sqrt [5]] [1] \] d] \ [\ log _ [\ sqrt [7]] [\ sqrt [7]] \] e] \ [\ log_ [3] [\ sqrt [3]] \]

a] Phải nâng \ [4 \] lên để có \ [16 \] bằng lũy ​​thừa nào? Rõ ràng là thứ hai. Cho nên:

\ [\ log_ [4] [16] = 2 \]

\ [\ log_ [3] \] \ [\ frac [1] [3] \] \ [= - 1 \]

c] Quyền lực \ [\ sqrt [5] \] phải được nâng lên đến mức nào để có \ [1 \]? Và mức độ nào làm cho bất kỳ số nào trở thành đơn vị? Tất nhiên là 0!

\ [\ log _ [\ sqrt [5]] [1] = 0 \]

d] Quyền lực \ [\ sqrt [7] \] phải được nâng lên đến mức nào để có \ [\ sqrt [7] \]? Ở bậc đầu tiên - bất kỳ số nào trong bậc đầu tiên đều bằng chính nó.

\ [\ log _ [\ sqrt [7]] [\ sqrt [7]] = 1 \]

e] Phải nâng \ [3 \] đến quyền lực nào để có \ [\ sqrt [3] \]? Từ chúng ta biết rằng đó là một lũy thừa phân số, và do đó căn bậc hai là lũy thừa của \ [\ frac [1] [2] \].

\ [\ log_ [3] [\ sqrt [3]] = \] \ [\ frac [1] [2] \]

Ví dụ: Tính logarit \ [\ log_ [4 \ sqrt [2]] [8] \]

Quyết định:

Trả lời: \ [\ log_ [4 \ sqrt [2]] [8] = 1,2 \]

Tại sao lôgarit được phát minh?

Để hiểu điều này, hãy giải phương trình: \ [3 ^ [x] = 9 \]. Chỉ cần so khớp \ [x \] để làm cho bình đẳng hoạt động. Tất nhiên, \ [x = 2 \].

Bây giờ giải phương trình: \ [3 ^ [x] = 8 \]. bằng x? Đó là điểm.

Người khéo léo nhất sẽ nói: "X nhỏ hơn hai một chút." Làm thế nào chính xác là con số này được viết? Để trả lời câu hỏi này, họ đã tìm ra lôgarit. Nhờ anh ấy, câu trả lời ở đây có thể được viết là \ [x = \ log_ [3] [8] \].

Tôi muốn nhấn mạnh rằng \ [\ log_ [3] [8] \], cũng như bất kỳ lôgarit nào cũng chỉ là một số. Vâng, nó trông không bình thường, nhưng nó ngắn. Bởi vì nếu chúng tôi muốn viết nó dưới dạng phần thập phân, thì nó sẽ giống như thế này: \ [1.892789260714 ..... \]

Ví dụ: Giải phương trình \ [4 ^ [5x-4] = 10 \]

Quyết định:

Trả lời: \ [\ frac [\ log_ [4] [10] +4] [5] \]

Logarit thập phân và tự nhiên

Như đã nêu trong định nghĩa của lôgarit, cơ số của nó có thể là bất kỳ số dương, ngoại trừ đơn vị \ [[a> 0, a \ neq1] \]. Và trong số tất cả các cơ số có thể có, có hai cơ số xảy ra thường xuyên đến mức một ký hiệu ngắn đặc biệt đã được phát minh cho logarit với chúng:

Lôgarit tự nhiên: một lôgarit có cơ số là số Euler \ [e \] [bằng khoảng \ [2,7182818… \]] và lôgarit được viết là \ [\ ln [a] \].

I E, \ [\ ln [a] \] giống với \ [\ log_ [e] [a] \]

Lôgarit thập phân: Một lôgarit có cơ số là 10 được viết \ [\ lg [a] \].

I E, \ [\ lg [a] \] giống với \ [\ log_ [10] [a] \], trong đó \ [a \] là một số.

Nhận dạng lôgarit cơ bản

Logarit có nhiều tính chất. Một trong số chúng được gọi là "Nhận dạng logarit cơ bản" và trông giống như sau:

\ [a ^ [\ log_ [a] [c]] = c \]

Thuộc tính này theo sau trực tiếp từ định nghĩa. Hãy xem công thức này ra đời như thế nào.

Xin hãy nhớ ghi chú ngắnđịnh nghĩa logarit:

nếu \ [a ^ [b] = c \], thì \ [\ log_ [a] [c] = b \]

Nghĩa là, \ [b \] giống với \ [\ log_ [a] [c] \]. Sau đó, chúng ta có thể viết \ [\ log_ [a] [c] \] thay vì \ [b \] trong công thức \ [a ^ [b] = c \]. Hóa ra \ [a ^ [\ log_ [a] [c]] = c \] - nhận dạng lôgarit chính.

Bạn có thể tìm thấy phần còn lại của các thuộc tính của logarit. Với sự giúp đỡ của họ, bạn có thể đơn giản hóa và tính toán các giá trị của biểu thức bằng logarit, rất khó tính trực tiếp.

Ví dụ: Tìm giá trị của biểu thức \ [36 ^ [\ log_ [6] [5]] \]

Quyết định:

Trả lời: \[25\]

Làm thế nào để viết một số dưới dạng logarit?

Như đã đề cập ở trên, bất kỳ lôgarit nào cũng chỉ là một số. Điều ngược lại cũng đúng: bất kỳ số nào cũng có thể được viết dưới dạng logarit. Ví dụ, chúng ta biết rằng \ [\ log_ [2] [4] \] bằng hai. Sau đó, bạn có thể viết \ [\ log_ [2] [4] \] thay vì hai.

Nhưng \ [\ log_ [3] [9] \] cũng bằng \ [2 \], vì vậy bạn cũng có thể viết \ [2 = \ log_ [3] [9] \]. Tương tự với \ [\ log_ [5] [25] \] và với \ [\ log_ [9] [81] \], v.v. Đó là, nó hóa ra

\ [2 = \ log_ [2] [4] = \ log_ [3] [9] = \ log_ [4] [16] = \ log_ [5] [25] = \ log_ [6] [36] = \ log_ [7] [49] ... \]

Vì vậy, nếu cần, chúng ta có thể viết hai hàm dưới dạng logarit với bất kỳ cơ số nào ở bất kỳ đâu [ngay cả trong một phương trình, thậm chí trong một biểu thức, thậm chí trong một bất đẳng thức] - chúng ta chỉ cần viết cơ số bình phương như một đối số.

Tương tự với bộ ba - nó có thể được viết là \ [\ log_ [2] [8] \], hoặc \ [\ log_ [3] [27] \], hoặc \ [\ log_ [4] [ 64] \] ... Ở đây chúng tôi viết cơ sở trong khối lập phương như một đối số:

\ [3 = \ log_ [2] [8] = \ log_ [3] [27] = \ log_ [4] [64] = \ log_ [5] [125] = \ log_ [6] [216] = \ log_ [7] [343] ... \]

Và với bốn:

\ [4 = \ log_ [2] [16] = \ log_ [3] [81] = \ log_ [4] [256] = \ log_ [5] [625] = \ log_ [6] [1296] = \ log_ [7] [2401] ... \]

Và trừ một:

\ [- 1 = \] \ [\ log_ [2] \] \ [\ frac [1] [2] \] \ [= \] \ [\ log_ [3] \] \ [\ frac [1] [ 3] \] \ [= \] \ [\ log_ [4] \] \ [\ frac [1] [4] \] \ [= \] \ [\ log_ [5] \] \ [\ frac [1] ] [5] \] \ [= \] \ [\ log_ [6] \] \ [\ frac [1] [6] \] \ [= \] \ [\ log_ [7] \] \ [\ frac [1] [7] \] \ [... \]

Và với một phần ba:

\ [\ frac [1] [3] \] \ [= \ log_ [2] [\ sqrt [2]] = \ log_ [3] [\ sqrt [3]] = \ log_ [4] [\ sqrt [ 4]] = \ log_ [5] [\ sqrt [5]] = \ log_ [6] [\ sqrt [6]] = \ log_ [7] [\ sqrt [7]] ... \]

Bất kỳ số nào \ [a \] đều có thể được biểu diễn dưới dạng logarit với cơ số \ [b \]: \ [a = \ log_ [b] [b ^ [a]] \]

Ví dụ: Tìm giá trị của một biểu thức \ [\ frac [\ log_ [2] [14]] [1+ \ log_ [2] [7]] \]

Quyết định:

Trả lời: \[1\]