Dưới đây là một số dạng toán thường gặp về tương giao giữa hai đồ thị hàm số:
Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.
Phương pháp:
- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số.
- Bước 2: Giải phương trình tìm \[x\], rồi từ đó suy ra \[y\] và tọa độ giao điểm.
Dạng 2: Tìm số giao điểm của hai đồ thị hàm số.
Đối với dạng bài này, ta cũng có thể sử dụng phương pháp ở trên, nhưng đối với bài toán không tìm được hết các nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm thì ta có thể sử dụng phương pháp dưới đây:
Phương pháp:
- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm \[f\left[ x \right] = g\left[ x \right]\].
- Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số \[h\left[ x \right] = f\left[ x \right] - g\left[ x \right]\] trên TXĐ.
+ Tính \[h'\left[ x \right]\], giải phương trình \[h'\left[ x \right] = 0\] tìm các nghiệm và các điểm \[h'\left[ x \right]\] không xác định.
+ Xét dấu \[h'\left[ x \right]\] và lập bảng biến thiên.
- Bước 3: Kết luận số giao điểm của hai đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\] và \[y = g\left[ x \right]\].
+ Số giao điểm của hai đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\] và \[y = g\left[ x \right]\] là số giao điểm của đồ thị hàm số \[h\left[ x \right]\] với trục hoành [đường thẳng \[y = 0\]]
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phương trình \[f\left[ x \right] = g\left[ m \right]\] có nghiệm trên đoạn cho trước.
Phương pháp:
- Bước 1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số \[y = f\left[ x \right]\] trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\].
+ Tính \[f'\left[ x \right]\], giải phương trình \[f'\left[ x \right] = 0\] tìm các nghiệm thuộc đoạn \[\left[ {a;b} \right]\] và các điểm \[f'\left[ x \right]\] không xác định.
+ Xét dấu \[f'\left[ x \right]\] và lập bảng biến thiên.
- Bước 2: Nêu điều kiện để phương trình \[f\left[ x \right] = g\left[ m \right]\] có một, hai, nghiệm là đường thẳng \[y = g\left[ m \right]\] cắt đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\] tại một điểm, hai điểm, trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\], từ đó suy ra điều kiện của \[g\left[ m \right]\].
- Bước 3: Giải phương trình, bất phương trình ẩn \[m\] ở trên và tìm điều kiện của \[m\].
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc ba \[y = f\left[ x \right] = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\] cắt trục hoành.
[Áp dụng cho những bài toán không tách riêng được \[m\] và \[x\]]
- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm \[f\left[ x \right] = 0\]
- Bước 2: Tính \[y' = 3a{x^2} + 2bx + c,\Delta ' = {b^2} - 3ac\]
- Bước 3: Nêu điều kiện để phương trình \[f\left[ x \right] = 0\] có nghiệm:
+] Phương trình có \[1\] nghiệm duy nhất nếu đồ thị hàm số không có điểm cực trị nào hoặc có hai điểm cực trị cùng nằm về một phía đối với trục hoành
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta ' \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left[ {{x_1}} \right].f\left[ {{x_2}} \right] > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\] với \[{x_1},{x_2}\] là hai nghiệm của phương trình \[y' = 0\].
+] Phương trình có 2 nghiệm nếu \[f\left[ {{x_1}} \right] = 0\] hoặc \[f\left[ {{x_2}} \right] = 0\] với \[{x_1},{x_2}\] là hai nghiệm của phương trình \[y' = 0\].
+] Phương trình có 3 nghiệm phân biệt nếu đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left[ {{x_1}} \right].f\left[ {{x_2}} \right] < 0\end{array} \right.\]
- Bước 4: Kết luận giá trị cần tìm của \[m\].
Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc 4 \[y = f\left[ x \right] = a{x^4} + b{x^2} + c\] cắt trục hoành.
[Áp dụng cho những bài toán không tách riêng được \[m\] và \[x\]]
- Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm \[f\left[ x \right] = 0\]
- Bước 2: Đặt \[t = {x^2} \ge 0\], phương trình trở thành \[a{t^2} + bt + c = 0\left[ * \right]\].
- Bước 3: Nêu điều kiện để phương trình bậc 4 có nghiệm:
+ Phương trình bậc 4 có 4 nghiệm phân biệt nếu [*] có hai nghiệm phân biệt dương \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\]
+ Phương trình bậc 4 có 3 nghiệm phân biệt nếu [*] có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng \[0\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P = 0\end{array} \right.\]
+ Phương trình bậc 4 có 2 nghiệm phân biệt nếu [*] có hai nghiệm trái dấu, hoặc 1 nghiệm kép dương \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}P < 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta = 0\\S > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\]
+ Phương trình bậc 4 có 1 nghiệm duy nhất nếu [*] có 1 nghiệm kép bằng \[0\] hoặc có 1 nghiệm bằng \[0\] và 1 nghiệm âm \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta = 0\\S = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}P = 0\\S < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\]
+ Phương trình bậc 4 vô nghiệm nếu [*] vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm âm \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta < 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\].
- Bước 4: Kết luận điều kiện của \[m\]