Xem toàn bộ tài liệu Lớp 11: tại đây
Xem thêm các sách tham khảo liên quan:
- Sách giáo khoa đại số và giải tích 11
- Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích Lớp 11
- Sách giáo khoa hình học 11
- Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 11
- Giải Toán Lớp 11
- Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích Lớp 11 Nâng Cao
- Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao
- Sách giáo khoa hình học 11 nâng cao
- Giải Toán Lớp 11 Nâng Cao
- Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 11 Nâng Cao
- Sách Bài Tập Đại Số Và Giải Tích Lớp 11
- Sách Bài Tập Đại Số Và Giải Tích Lớp 11 Nâng Cao
- Sách Bài Tập Hình Học Lớp 11 Nâng Cao
Sách Giải Sách Bài Tập Toán 11 Bài 8: Phép đồng dạng giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Bài 1.27 trang 36 Sách bài tập Hình học 11: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x = 2√2. Hãy viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = 0,5 và phép quay tâm O góc 45ο
Lời giải:
Gọi d1 là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 0,5 thì phương trình của d1 là x = √2. Giả sử d’ là ảnh của d qua phép quay tâm O góc 45ο. Lấy M[√2;0] thuộc d1 thì ảnh của nó qua phép quay tâm O góc 45ο là M′[1;1] thuộc d’. Vì OM ⊥ d1 nên OM′ ⊥ d′. Vậy d’ là đường thẳng đi qua M’ và vuông góc với OM’. Do đó nó có phương trình x + y – 2 = 0.
Bài 1.28 trang 36 Sách bài tập Hình học 11: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn [C] có phương trình [x − 1]2 + [y − 2]2 = 4. Hãy viết phương trình đường tròn [C’] là ảnh của [C] qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = -2 và phép đối xứng qua trục Ox.
Lời giải:
Dễ thấy bán kính của [C’] = 4. Tâm I của [C’] là ảnh của tâm I[1;2] của [C] qua phép đồng dạng nói trên. Qua phép vị tự tâm O tỉ số k = -2 , I biến thành I1[−2; −4]. Qua phép đối xứng qua trục Ox, I1 biến thành I′[−2;4].
Từ đó suy ra phương trình của [C’] là [x + 2]2 + [y − 4]2 = 16.
Bài 1.29 trang 36 Sách bài tập Hình học 11: Chứng minh rằng hai đa giác đều có cùng số cạnh luôn đồng dạng với nhau
Lời giải:
Dùng phép tịnh tiến đưa về hai đa giác đều cùng tâm đối xứng, sau đó dùng phép quay đưa về hai đa giác đều cùng tâm đối xứng có các đỉnh tương ứng thẳng hàng với tâm, cuối cùng dùng phép tịnh tiến tự biến đa giác này thành đa giác kia.
Bài 1.30 trang 37 Sách bài tập Hình học 11: Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, AD = a, DC = b còn hai đỉnh A, B cố định. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo.
a] Tìm tập hợp các điểm C khi D thay đổi
b] Tìm tập hợp các điểm I khi C và D thay đổi như trong câu a] .
Lời giải:
a] Dựng hình bình hành ADCE. Ta có DC→ = AE→ không đổi.
Do AE = b không đổi, nên E cố định. Do AD = EC = a nên khi D chạy trên đường tròn [A;a] thì C chạy trên đường tròn [E;a] là ảnh của [A;a] qua phép tịnh tiến theo AE→.
b] Đường thẳng qua I, song song với AD cắt AE tại F.
Ta có
Do đó có thể xem I là ảnh của C qua phép vị tự tâm A, tỉ số
. Vậy khi C chạy trên [E;a] thì I chạy trên đường tròn là ảnh của [E;a] qua phép vị tự nói trên.
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Với Các bài toán về phép đồng dạng và cách giải môn Toán lớp 11 sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết phương pháp làm các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 11.
I. Lý thuyết ngắn gọn
1. Phép biến hình F gọi là phép đồng dạng tỉ số k [k > 0] nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M’; N’ của chúng ta có:
2. Nhận xét:
- Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số k = 1
- Phép vị tự V[I;k] là phép đồng dạng tỉ số |k|
- Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số p ta được phép đồng dạng tỉ số pk
- Phép đồng dạng tỉ số k là hợp thành của một phép dời hình và một phép vị tự tỉ số k hoặc - k. Nó cũng là hợp thành của một phép vị tự tỉ số k hoặc - k và một phép dời hình
3. Phép đồng dạng tỉ số k có các tính chất sau:
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữ các điểm ấy
- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng có độ dài bằng a thành đoạn thẳng có độ dài bằng ka
- Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là k, biến góc thành góc bằng nó
- Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR
4. Hai hình đồng dạng
Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia
II. Các dạng bài về phép đồng dạng
Dạng 1: Xác định ảnh của một hình qua một phép đồng dạng
Phương pháp giải: Dùng định nghĩa và tính chất của phép đồng dạng
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x + y – 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm I [-1; -1] tỉ số
Lời giải
Gọi là ảnh của d qua phép vị tự tâm I [-1; -1] tỉ số
Lấy M[1;1] ∈ d
Vậy phương trình của d1: x + y = 0
Ảnh của d1 qua phép quay tâm O góc -45 độ là đường thẳng Oy. Vậy phương trình d': x = 0
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x – y + 1 = 0. Viết phương trình d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép đồng dạng bằng cách thực hiện qua phép vị tự tâm I [1; 1], tỉ số k = 2 và phép tịnh tiến theo vectơ
Giải
Ta có M[0;1] ∈ d
Qua phép vị tự tâm I, tỉ số k = 2 ta có: V[I;2][d] = d1
Suy ra phương trình d1 có dạng x – y + c = 0
Mặt khác:
Vậy d1: x - y + 2 = 0
Qua phép tịnh tiến theo vectơ
Suy ra phương trình d2 có dạng: x – y + d = 0
Vậy d2 có phương trình x – y + 3 = 0
Qua phép đồng dạng đường thẳng d: x – y + 1 = 0 trở thành đường thẳng d2: x – y + 3 = 0
Dạng 2: Tìm phép đổng dạng biến hình H thành hình H’
Phương pháp giải: Tìm cách biểu thị phép đồng dạng đó như là kết quả của việc thực hiện liên tiếp các phép biến hình quen biết
Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi O là tâm đối xứng của nó. Gọi I, F, J, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tìm ảnh của tam giác AEO qua phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua đường thẳng IJ và phép vị tự tâm B, tỉ số 2
Giải
- Lấy đối xứng qua đường thẳng IJ
IJ là đường trung trực của AB và EF
Suy ra: DIJ[A] = B; DIJ[E] = F
O ∈ IJ => DIJ[O] = O => DIJ[ΔAEE] = ΔBFO
ΔBFO qua phép vị tự tâm B tỉ số 2
Ta có:
Suy ra: C = V[B;2] ; d = V[B;2][O] => ΔBCD = V[B;2][ΔBFO]
Vậy ảnh của tam giác AEO qua phép đồng dạng theo đề bài là tam giác BCD
Ví dụ 4: Cho hai hình chữ nhật có tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài bằng
Giải
Giả sử ta có hai hình chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ và
Phép tịnh tiến
Phép quay Q[A;α] với α = [A'B1; A'B'] biến hình chữ nhật A'B1C1D1 thành hình chữ nhật A'B2C2D2
Vì
Vậy phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp các phép biến hình
Dạng 3: Dùng phép đồng dạng để giải toán
Phương pháp giải: Dùng các tính chất của phép đồng dạng
Ví dụ 5: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau và điểm C. Tìm trên a và b các điểm A và B tương ứng sao cho tam giác ABC vuông cân ở A.
Lời giải:
Ta thấy góc lượng giác
Do đó có thể xem B là ảnh của A qua phép đồng dạng F có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm C, góc -450 và phép vị tự tâm C, tỉ số √2
Vì A ∈ a nên B ∈ a'' = F[a] , B lại thuộc a
Do đó B là giao của a” với b
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC, dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều BCA’, CAB’, ABC’. Gọi lần lượt là tâm của ba tam giác đều BCA’, CAB’, ABC’. Chứng minh tam giác O1O2O3 là tam giác đều
Lời giải:
Để chứng minh tam giác O1O2O3 là tam giác đều ta xét các phép đồng dạng sau:
Kí hiệu F[I,φ, k] = V[I,k] Q[I;φ]là phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay Q[I;φ] và phép vị tự V[I,k]. Ta xét các phép đồng dạng:
Gọi I, J, K, H là các điểm trên CA',CA,BA',BO3,BO1 sao cho CI = CO1, CJ = CO2, BK = BO1, BH = AB, BE = BA' khi đó
F1[O1] = V[C,√3] Q[C;30] [O1] = V[C,√3][I] = A'
Tương tự:
Vậy F2F1[O2] = F2[A] = O3 và F2F1[O1] = F2[A'] = O1
Mặt khác F = F1F2 là phép đồng dạng có tỉ số k = k1k2 = √3
Do đó: Q[O1,600][O2] = O3 nên tam giác O1O2O3 là tam giác đều
III. Bài tập áp dụng
Bài 1: Chứng minh rằng hai đa giác đều có cùng số cạnh luôn đồng dạng với nhau
Bài 2: Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, AD = a, DC = b còn hai đỉnh A, B cố định. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo
a. Tìm tập hợp các điểm c khi D thay đổi
b. Tìm tập hợp các điểm I khi c và D thay đổi như trong câu a
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD tâm I. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, CD, CI, FC. Phép đồng dạng hợp thành bởi phép vị tự tâm C tỉ số k = 2 và phép đối xứng tâm I biến tứ giác IGHF thành:
A. AIFD
B. BCFI
C. CIEB
D. DIEA
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép đồng dạng F hợp thành bởi phép vị tự tâm O [0; 0] tỉ số k = 3 và phép đối xứng trục Ox, biến đường thẳng d: x – y – 1 = 0 thành đường thẳng d’ có phương trình:
A. x - y + 3 = 0
B. x + y - 3 = 0
C. x + y + 3 = 0
D. x - y + 2 = 0
Bài 5: Cho điểm I [2; 1] điểm M [-1; 0] phép đồng dạng hợp thành bởi phép vị tự tâm I tỉ số k = -2 và phép đối xứng trục Ox biến M thành M’’ có tọa độ bao nhiêu ?
Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A [-2; -3] và B [4; 1]. Phép đồng dạng tỉ số
Bài 7: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Thực hiện liên tiếp hai phép đồng dạng thì được một phép đồng dạng
B. Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số k = 1
C. Phép vị tự có tính chất bảo toàn khoảng cách
D. Phép vị tự không là phép dời hình
Bài 8: Cho hình vuông ABCD tâm O. M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Phép dời hình nào sau đây biến tam giác AMO thành tam giác CPO?
A. Phép tịnh tiến vectơ
B. Phép đối xứng trục MP
C. Phép quay tâm A góc quay 180 độ
D. Phép quay tâm O góc quay -180 độ
Bài 9: Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép biến hình sau đây là một phép đồng dạng tỉ số k = 3
A. Phép tịnh tiến và phép đồng nhất
B. Phép tịnh tiến và phép quay
C. Phép dời hình và phép vị tự tỉ số
D. Phép tịnh tiến và phép vị tự tỉ số k = -3
Bài 10: Phép đồng dạng F biến điểm M [x; y] thành M’ [x’; y’] thỏa mãn:
Ảnh của điểm A [-2; 1] qua phép đồng dạng F là:
A. [6; 10]
B. [10; 6]
C. [6; -10]
D. [-6; 10]
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
phep-doi-hinh-va-phep-dong-dang-trong-mat-phang.jsp