Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp Gauss
|
Posted by nhdien on 28/05/2010 Show
Tìm ma trân nghịch đảo bằng tay tính toán chỉ được số chiều rất nhỏ, còn bằng Maple thì quá đơn giản và dễ. Bài của em Nguyễn Thị Thu Hà nói được 1 phần giải đáp View this document on Scribd Cách 1: Áp dụng định lý 2. Bước 1: Tìm $\det \left(A\right)$. - Nếu $\det \left(A\right)=0$ thì kết luận không tồn tại ma trận nghịch đảo của A. - Nếu $\det \left(A\right)\ne 0$ thì tính tất cả các phần tử $c_{ij} $ của ma trận $C$. Bước 2: Lập ma trận $C$, suy ra ma trận $C^{t} $. Bước 3: Thực hiện phép nhân số $\dfrac{1}{\det (A)} $ với ma trận $C^{t} $ ta có ma trận $A^{-1} $. Ví dụ 5. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận $A=\left[\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {0} & {-3} \end{array}\right]$. Hướng dẫn. Ta có, $\det (A)=-3\ne 0$ nên tồn tại $A^{-1} $. $$c_{11} =\left(-1\right)^{1+1} \det \left(M_{11} \right)=-3;\quad c_{12} =\left(-1\right)^{1+2} \det \left(M_{12} \right)=0$$$$c_{21} =\left(-1\right)^{2+1} \det \left(M_{21} \right)=-2;\quad c_{22} =\left(-1\right)^{2+2} \det \left(M_{22} \right)=1$$ Do đó $C=\left[\begin{array}{cc} {-3} & {0} \\ {-2} & {1} \end{array}\right] \Rightarrow C^{t} =\left[\begin{array}{cc} {-3} & {-2} \\ {0} & {1} \end{array}\right]$. Vậy, $A^{-1} =\dfrac{C^{t} }{\det (A)} =-\dfrac{1}{3} \cdot \left[\begin{array}{cc} {-3} & {-2} \\ {0} & {1} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} {1} & {\frac{2}{3} } \\ {0} & {-\frac{1}{3} } \end{array}\right]$. Cách 2. Áp dụng phương pháp Gauss-Jordan (biến đổi sơ cấp) Bước 1: Viết ma trận đơn vị $I$ bên cạnh ma trận $A$ ($I$ và $A$ là 2 ma trận cùng cấp) Bước 2: Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa dần $A$ về ma trận đơn vị, tác động đồng thời các phép biến đổi sơ cấp đó vào ma trận $I$ ở bên cạnh. Khi ở cột $A$ xuất hiện ma trận đơn vị thì cột còn lại là $A^{-1} $. Ví dụ 6. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận $A=\left[\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {0} & {-3} \end{array}\right]$. Hướng dẫn. Ta có, $\det (A)=-3\ne 0$ nên tồn tại $A^{-1} $. Trước hết, ta đưa phần tử $a_{22} $ trong ma trận $A$ về số 1. Tiếp theo, đưa phần tử $a_{12} $ trong ma trận mới về số 0. Ta có thể trình bày như sau:
Vậy $A^{-1} =\left[\begin{array}{cc} {1} & {\frac{2}{3} } \\ {0} & {-\frac{1}{3} } \end{array}\right]$.
Ma trận nghịch đảo là gì? Cách tìm ma trận nghịch đạo bằng cách giải hệ phương trình nhanh nhất Mục lục nội dung1. Ma trận nghịch đảo là gì2. Cách tính ma trận nghịch đảo3. Phương pháp Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách giải hệ phương trình1. Ma trận nghịch đảo là gìMa trận nghịch đảo là thuật ngữ trong đại số tuyến tính. Cùng tìm hiểu định nghĩa ma trận nghịch đảo là gì và cách tính như thế nào qua bài viết sau nhé. Ma trận không có dấu phân số nên bạn cần sử dụng ma trận nghịch đảo để đơn giản hóa phép toán phức tạp này. Có hai cách tính ma trận nghịch đảo là tính tay và dùng máy tính giúp cho kết quả chính xác hơn. Cùng khám phá định nghĩama trận nghịch đảo là gìvà cách tính chi tiết trong bài viết sau nhé. 2. Cách tính ma trận nghịch đảoTrước khi tìm hiểu cách tính ma trận nghịch đảo, ta cần nắm đượcma trận nghịch đảo là gì. Điều này giúp bạn hiểu rõ bản chất và áp dụng chính xác vào các bài toán giải tích phức tạp. Cụ thể định nghĩa ma trận nghịch đảo như sau:
Ma trận nghịch đảo 2x2 Cách tính ma trận nghịch đảo 2x2 theo phương pháp sử dụng ma trận phụ hợp (phép khử Gauss-Jordan) thực hiện như sau: Phương pháp này có 4 bước tính. Ma trận nghịch đảo 3x3 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách tạo ma trận bổ sung: Bước 1:Kiểm tra định thức của ma trận, ký hiệu là det(M). Bước 2:Chuyển vị ma trận gốc tức là đổi vị trí của phần tử thứ (i,j) và chỗ của phần tử (j,i) với nhau. Bước 3:Tìm định thức của từng ma trận con 2x2 liên kết với ma trận chuyển vị 3x3 mới. Bước 4:Tạo ma trận các phần phụ đại số, ký hiệu là Adj(M). Bước 5:Thực hiện phép chia của toàn bộ các phần tử của ma trận bổ sung với định thức của ma trận là det(M). Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách giảm hàng tuyến tính Bước 1:Thực hiện thêm ma trận đơn vị vào trong ma trận gốc Bước 2:Tiến hành phép giảm hàng tuyến tính và thực hiện đến khi ma trận đơn vị được hình thành Bước 3:Viết lại ma trận nghịch đảo cho chuẩn xác Ma trận nghịch đảo 4x4 Đối với ma trận 4x4 thì cách tính được áp dụng phổ biến hơn cả là phương pháp dùng các phép biến đổi sơ cấp. Cụ thể như sau: 3. Phương pháp Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách giải hệ phương trìnhGiả sử ma trậnAkhả nghịch (khôngsuy biến) khi đố tồn tại ma trận nghịch đảoA−1, ngoài các phép biến đổi sơ cấp hay tìm ma trận nghịch đảo theo công thức của ma trận phụ hợp ta có thể sử dụng phương pháp giải hệ phương trình: Xét hệ phương trình tuyến tính Ta biết rằng nghiệm của hệ phương trình này xác định bởi Vì vậy nếu tìm được nghiệm của hệ phương trình dạng Câu 1.Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận Xét hệ Câu 2.Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận Xét hệ Câu 3:Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận Xét hệ phương trình tuyến tính Giải hệ này bằng biến đổi ma trận hệ số mở rộng: |
