#1
KienThucToanHoc
-
- Thành viên
-
- 24 Bài viết
Binh nhất
Đã gửi 10-04-2016 - 14:50
Cho hình thoi ABCD có tâm O cạnh a và AC=a, Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH vuông góc với [ABCD] với SH=a.
a] Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng [SCD]
b] Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng [SCB]
P/s: Mình không mạnh hình lắm.
#2
vkhoa
-
- Điều hành viên THPT
-
- 932 Bài viết
Trung úy
- Giới tính:Nam
- Đến từ:$\color{DarkCyan}{\text{Đà Nẵng}}$
- Sở thích:Toán học, đọc sách
Đã gửi 10-04-2016 - 20:15
Cho hình thoi ABCD có tâm O cạnh a và AC=a, Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH vuông góc với [ABCD] với SH=a.
a] Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng [SCD]
b] Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng [SCB]
P/s: Mình không mạnh hình lắm.
a]
Gọi E là trung điểm CH
ta có OE //DC //mp[SCD]
$\Rightarrow d[O,mp[SCD]] =d[E,mp[SCD]]$ [1]
có $SH\perp DC$ và $CH\perp DC$
$\Rightarrow mp[SHC] \perp DC$
$\Rightarrow mp[SHC] \perp mp[SCD]$ [2]
hạ EF vuông góc SC tại F [3]
từ [2, 3]$\Rightarrow d[E, mp[SCD]] =EF$ [4]
có $\triangle CFE \sim\triangle CHS$ [g, g]
$\Rightarrow \frac{EF}{SH}
=\frac{CE}{CS}$ [5]
từ [1, 4, 5]$\Rightarrow d[O,mp[SCD]] =\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$
b]
ta có $d[H, mp[SBC]] =\frac12[d[A, mp[SBC]] +d[B, mp[SBC]]]$
$\Leftrightarrow d[A, mp[SBC]] =2 .d[H,mp[SBC]]$ [6]
gọi G là trung điểm BC, lấy điểm I là trung điểm BG
có $HI \perp BC$ và có $SH \perp BC$
$\Rightarrow mp[SHI] \perp BC$
$\Rightarrow mp[SHI] \perp mp[SBC]$ [7]
hạ HJ vuông góc SI tại J [8]
từ [7, 8]$\Rightarrow d[H, mp[SBC]] =HJ$ [9]
có $\frac1{HJ^2}
=\frac1{HI^2} +\frac1{HS^2}$ [10]
từ [6, 9, 10] =>$d[A, mp[SBC]] =\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$
Hình gửi kèm
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng: Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng. Phương pháp. Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, trước hết ta phải tìm hình chiếu vuông góc của điểm đó trên mặt phẳng. Việc dựng hình chiếu của điểm trên mặt phẳng, ta hay dùng một trong các cách sau: Cách 1: Tìm một mặt phẳng [Q] chứa M và vuông góc với [P]. Xác định m = [P] [Q]. Dựng Mx = [P] [Q], suy ra H là điểm cần tìm. Cách 2: Giả sử đã biết đường thẳng d [a], là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng [P]. Cách 3: Dựa vào tính chất trục của tam giác: Cho AABC nằm trên [P], hình chiếu vuông góc của điểm M trên [P] là tâm đường tròn ngoại tiếp AABC, tức là nếu MA = MB = MC khi đó hình chiếu của điểm M trên [P] là tâm O của đường tròn ngoại tiếp AABC. Chú ý. Khi tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta cần biết vận dụng chú ý sau một cách khéo léo để từ việc phải tính khoảng cách từ một điểm này đến mặt phẳng [khó xác định] đến việc tính khoảng cách từ điểm khác đến mặt phẳng [dễ xác định hơn]. Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với đáy, SA = a. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng [SAC] bằng 30°. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng [SBM] với M là trung điểm CD bằng C. Dễ dàng chứng minh được DB [SAC]. Hình chiếu vuông góc của DS lên [SAC] là SO, góc giữa SD và [SAC] là DSO = 30°. Đặt DO = x, ta có SO = x/3 [O là giao của AC và BD]. Gọi N là trung điểm của AB = DN // BM. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a/2 và BC = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa cạnh bên SC với đáy là 60°. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng [SBD] bằng. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BD và K là hình chiếu vuông góc của A trên SH. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a/3. Gọi I là hình chiếu của A lên SC. Từ I lần lượt vẽ các đường thẳng song song với SB, SD cắt BC, CD tại P, Q. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của PQ với AB, AD. Khoảng cách từ E đến mặt phẳng [SBD] bằng a. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Dễ dàng chứng minh được AH vuông góc BD Khi đó AH = d[A,[SBD]]. Trong tam giác vuông SAC. Ví dụ 4: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BA = a, BC = 2a, SA = 2a, Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Khoảng cách từ điểm K đến mặt phẳng [SAB] bằng. Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang ABC = BAD = 90°, BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a/2. Gọi H là hình chiếu của A lên SB. Khoảng cách từ H đến mặt phẳng [SCD] bằng. Gọi I là trung điểm AD. Ta có CI = IA = ID = 2, suy ra AACD vuông tại C = CDIAC. Mà SA I[ABCD] = SA. Gọi d, d’, lần lượt là khoảng cách từ B, H đến [SCD]. Ta có thể tích khối tứ diện S.BCD. Vậy khoảng cách từ H đến [SCD] là d = d’. Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, AB = AC = a, I là trung điểm của SC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng [ABC] là trung điểm H của BC, mặt phẳng [SAB] tạo với đáy một góc bằng 60°. Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng [SAB] theo a bằng Gọi K là trung điểm của AB=HKI AB [1] Vì SHI[ABC] nên SHLAB Từ [1] và [2] = AB LSK Do đó góc giữa [SAB] với đáy bằng góc giữa SK và HK và bằng SKH=60° Vì IH // SB nên IH // [SAB]. Do đó dI [SAB]] = d[H [SAB]]. Từ H kẻ tại M. Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A và AB = 2a, AC = 2a/3. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng [ABC] là trung điểm H của cạnh AB. Góc giữa hai mặt phẳng [SBC] và [ABC] bằng 30°. Khoảng cách từ trung điểm M của cạnh BC đến mặt phẳng [SAC] bằng. Trong mặt phẳng [ABC] kẻ HK tại K Trong tam giác SHK. Do M là trung điểm của cạnh BC nên MH // AC, do đó MH // [SAC].
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, AB = AC = a, I là trung điểm của SC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng [ABC] là trung điểm H của BC, mặt phẳng [SAB] tạo với đáy 1 góc bằng 60°. Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng [SAB] theo a bằng. Gọi K là trung điểm của AB = HK. Do đó góc giữa [SAB] với đáy bằng góc giữa SK và HK bằng SKH = 60°. Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm cạnh AB. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CI, góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng 60°. Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng [SBC] bằng. Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Góc BAC = 60°, hình chiếu của S trên mặt phẳng [ABCD] trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Mặt phẳng [SAC] hợp với mặt phẳng [ABCD] góc 60°. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng [SCD] bằng.
Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng – Phần 2
[ Phương pháp chuyển điểm khi tính khoảng cách ]
Trước khi học bài khoảng cách chuyển điếp [ gián tiếp ] các bạn phải học kỹ bài [Click link] : Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng [P].
Chuyển khoảng cách từ A sang điểm B đến mặt phẳng [P]
Trường hợp 1:
AB song song với mặt phẳng [P] d[A/[P]] = d[B/[P]] |
Trường hợp 2: AB không song song với mặt phẳng [P]
B1: Tìm giao điểm I của AB và mặt phẳng [P]. AB ∩ [P] = I
B2: Tính tỉ số IA/IB = k ⇒ d[A/[P]] / d[B/[P]] = k ⇒ d[A/[P]] = k.d[B/[P]]
Ví dụ minh họa
Bài 1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB=AD=a, CD=2a, SA ⊥ [ABCD], SA=a. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng [SBC]
Hướng dẫn giải chi tiết
Bài 2: Cho hình chóp SABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy, góc giữa SB và đáy [ABC] bằng 300 gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
- Tính khoảng cách từ A đến [SBC]
- Tính khoảng cách từ G đến [SBC]
Hướng dẫn giải chi tiết
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cách cạnh bằng nhau và bằng 2a. Gọi M là trung điểm của SB. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng [SCD]
Bài 4: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông với đáy. Góc BAD bằng 1200. Gọi M là trung điểm cạnh SC. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng [SBD]
Hướng dẫn giải chi tiết
Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Tam giác ABC vuông cân tại A, BC = a. Góc giữa hai mặt phẳng [A’BC] và [ABC] bằng 600 . Gọi M là trung điểm BB’. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng [A’BC]
Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. SA = a√2.
- Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng [SCD]
- Gọi M là trung điểm của SB. Tính khoảng cách từ M đến [SCD]
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a, [SBC] ⊥ [ABC], SB = 2a√3, góc ∠ SBC = 300. Tính khoảng cách từ B đến [SAC]
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC = 300, là tam giác đều cạnh a, [SBC] ⊥[ ABC]. Tính khoảng cách từ C đến [SAB]
Bài 4: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt phẳng [SAB] là tam giác vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy SA = a, Gọi E là trung điểm của SD. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng [ACE]
Xem thêm bài tập theo link dưới đây