Table of Contents
Trong những kiến thức liên quan đến đồ thị hàm số, điểm uốn là một trong những dạng bài tập cơ bản nhất. Điểm uốn là gì? Cách tìm như thế nào? Bài viết ngay sau đây sẽ giải đáp những thắc mắc ấy.
1. Điểm uốn của đồ thị hàm số là gì?
Điểm uốn của đồ thị là điểm mà tại đó đạo hàm cấp hai bằng 0 và đổi dấu.
Điểm U[x0;f[x0]] được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số f[x] nếu tồn tại một khoảng [a;b] chứa điểm x0 sao cho trên một trong hai khoảng [a;x0] và [x0;b] tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía trên đồ thị và trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị.
Điểm U là điểm uốn của đồ thị hàm số y = f[x]Ví dụ xét hàm y = x4 + x +1
y′′ = 12x2; y′′= 0 ⇔ x = 0 nhưng điểm [0;1] không phải là điểm uốn vì y′′ > 0, ∀x≠0
Định lý: Nếu hàm số y = f[x] có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa điểm x0, f”[x0] = 0 và f”[x] đổi dấu khi x qua điểm x0 thì điểm U[x0;f[x0]] là một điểm uốn của đồ thị hàm số y = f[x].
2. Phương pháp tìm điểm uốn của đồ thị hàm số
Vấn đề 1: Tìm điểm uốn của đồ thị [C] của hàm số y =f[x].
- Bước 1: Tìm điểm uốn của đồ thị [C] của hàm số y = f[x].
- Bước 2: Tìm tập xác định.
- Bước 3: Tìm y′ và y”.
- Bước 4: Xét dấu y” và kết luận theo định lí trên.
Vấn đề 2: Chứng minh đồ thị có 3 điểm uốn thẳng hàng.
Tìm y” và chứng tỏ phương trình y”= 0 có 3 nghiệm [đơn] phân biệt.
Suy ra đồ thị có 3 điểm uốn A, B và C.
Chứng minh vecto AB và AC cùng phương, suy ra A, B, C thẳng hàng.
Chú ý nếu phương trình y” = 0 không xác định được nghiệm cụ thể thì ta chứng minh A, B, C thẳng hàng như sau:
Tọa độ A, B, C thỏa: y” = 0 và y = f[x].
Từ đó suy ra x, y thỏa phương trình y = ax + b.
Từ đó, A, B, C cùng thuộc đường thẳng có phương trình y = ax + b.
Vấn đề 3: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị có điểm uốn thỏa mãn điều kiện cho trước.
- Tìm y′, y”.
- Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số.
- Đặt điều kiện để điểm uốn thỏa mãn điều kiện cho trước, từ đó suy ra giá trị của tham số.
3. Bài toán áp dụng về điểm uốn
Ví dụ 1: Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số: y = x3 – 3x2 + 3
Tập xác định:
D = R.
y′ = 3x2 – 6x.
y” = 6x – 6.
y” = 0
⇔ x =1
⇒ y = 1.
Bảng xét dấu:
x | -∞ | 1 | +∞ |
y’’ | - | 0 | + |
Đồ thị | Điểm uốn [1;1] |
Vậy đồ thị có một điểm uốn là U[1;1].
Ví dụ 2: Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số: y = 3x5 – 5x4 + 3x + 1
Tập xác định: D = R.
y′ = 15x4 – 20x3 + 3.
y” = 60x3 – 60x2= 60x2[x–1].
y” = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = 1 hoặc x = 1 ⇒ y = 2.
Bảng xét dấu
x | -∞ | 0 | 1 | +∞ | |
y’’ | - | 0 | - | 0 | + |
Đồ thị | Điểm uốn [1;2] |
Kiến thức về điểm uốn của đồ thị hàm số vô cùng quan trọng và cần thiết. Đây cũng thường là dạng bài tập chiếm số điểm khá cao trong các bài kiểm tra, bài thi môn Toán. Hy vọng bài viết này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích.Vậy đồ thị có một điểm uốn là U[1;2].
18/06/2021 1,190
Đáp án là B
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại a, AB=AC=a, AA'=2a. Thể tích khối tứ diện A'BB'C là
Xem đáp án » 18/06/2021 1,383
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có A[0;0;0], B[1;0;0], D[0;1;0] và A'[0;0;1]. Khoảng cách giữa AC và B’D là
Xem đáp án » 18/06/2021 1,014
Điểm thuộc đường thẳng d:x−y−1=0 cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y=x3−3x2+2 là
Xem đáp án » 18/06/2021 999
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a=42cm, cạnh bên SC vuông góc với đáy và SC=2cm. Gọi M,N là trung điểm của AB và BC. Góc giữa hai đường thẳng SN và CM là
Xem đáp án » 18/06/2021 688
Gọi A,B,C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y=x4−2x2+4. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng
Xem đáp án » 18/06/2021 675
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x4−3x2+1 tại các điểm có tung độ bằng 5 là
Xem đáp án » 18/06/2021 644
Khoảng cách từ gốc tọa độ đến giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y=2x+1x+1 bằng
Xem đáp án » 18/06/2021 594
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y=x3−2x+1 bằng
Xem đáp án » 18/06/2021 519
Tìm hệ số của x5 trong khai triển nhị thức Newton xx+1x3n, biết tổng các hệ số của khai triển bằng 128
Xem đáp án » 18/06/2021 507
Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hàm số y=x3+33ax có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ
Xem đáp án » 18/06/2021 413
Cần đẽo thanh gỗ hình hộp có đáy là hình vuông thành hình trụ có cùng chiều cao. Tỉ lệ thể tích gỗ cần phải đẽo đi ít nhất [tính gần đúng] là
Xem đáp án » 18/06/2021 391
Cho hình hộp xiên ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng nhau và bằng a, BAD^=BAA'^=600. Khoảng cánh giữa hai đường thẳng AC’ và BD bằng
Xem đáp án » 18/06/2021 390
Tổng của n số hạng đầu tiên của một dãy số an,n≥1 là Sn=2n2+3n. Khi đó
Xem đáp án » 18/06/2021 351
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y=−2x+m tiếp xúc với đồ thị hàm số y=x+1x−1 là
Xem đáp án » 18/06/2021 321
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB=AC=a, AA'=2a. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện AB’B’C’ là
Xem đáp án » 18/06/2021 320