Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2 - Toán lớp 12
Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2
Với Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2 Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2 từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.
A. Phương pháp giải
Cách 1:
- Viết PT mặt phẳng [P] đi qua A và vuông góc với đường thẳng d1
- Tìm giao điểm B = [P] [d2]
- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B
Cách 2:
- Viết PT mặt phẳng [P] đi qua A và vuông góc với đường thẳng d1
- Viết PT mặt phẳng [Q] đi qua A và chứa đường thẳng d2
- Đường thẳng d cần tìm là d = [P] [Q]
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A[ 1; - 1; 3] và hai đường thẳng
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
+ Gọi [ P] là mặt phẳng qua A vuông góc với đương thẳng d1.
Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương là [ 1; 4; -2] nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] là:
=> Phương trình mặt phẳng [P] là: 1[ x-1] + 4[ y+1] 2[ z- 3] =0 .Hay x+ 4y 2z + 9= 0
+Gọi giao điểm của đường thẳng d2 và mặt phẳng [ P] là điểm B
Do B thuộc d2 nên tọa độ B[ 2+ t; - 1- t; 1+ t] . Thay tọa độ điểm B vào phương trình mặt phẳng [P] ta được : 2+ t + 4[ - 1- t] 2[ 1+ t] + 9= 0 2+ t- 4 4t- 2- 2t + 9= 0 - 5t+ 5= 0 t= 1 => B[ 3; -2; 2]
+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng AB: Đi qua A[1; -1;3] nhận vecto
=> Phương trình chính tắc của đường thẳng AB:
Chọn C.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
+ Gọi giao điểm của của d và d2 là B.
Do B thuộc d2 nên tọa độ B[ t; 1+ 2t; t] =>
+ Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương
+ Do đường thẳng d vuông góc với d1 nên => = 0 2[ t-1] + 2[ 2t- 1] + 1[t+ 2] = 0 2t 2 + 4t 2+ t+ 2= 0 7t- 2= 0 nên t= 2/7
+ Đường thẳng d đi qua điểm A [ 1; 2; - 2] và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình của d là:
Chọn A.
Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng:
A.
B.
C.
D. Tất cả sai
Hướng dẫn giải
- Gọi mặt phẳng [P] đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là
Phương trình mặt phẳng [P] là: 2.[x 1] 1 . [y 2] + 1. [z 3] = 0 hay 2x y + z 3 = 0
-Gọi giao điểm của mặt phẳng [P] và đường thẳng d2 là B
B thuộc d2 nên tọa độ B[ 1- t; 1+ 2t; - 1+ t]
Thay tọa độ [ B] vào phương trình mặt phẳng [P] ta được: 2[ 1- t] [ 1+ 2t] + [ - 1+ t] 3= 0 2- 2t- 1- 2t- 1+ t- 3= 0 -3t 3= 0 nên t= -1
Suy ra: B [2; -1; -2]
- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B
Vectơ chỉ phương của d là:
Vậy phương trình đường thẳng d là:
Chọn C.
Ví dụ 4: Cho hai đường thẳng:
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
- Goi mặt phẳng [P] đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là
- Một điểm thuộc d2 là : M [0; 0; 2] ;
Mặt phẳng [Q] đi qua A và chứa đường thẳng d2 có vectơ pháp tuyến là:
=>
- Đường thẳng cần tìm d = [P][Q]
Vectơ chỉ phương của d là
=>
Vậy phương trình đường thẳng d là:
Chọn B.
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm N[1; 1; -2] vuông góc với đường thẳng
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Gọi
Ta có , Khi đó:
Do
Suy ra một vecto chỉ phương của đường thẳng là:
Phương trình của d đương thẳng d:
Chọn C .
Ví dụ 6.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A[1; 2; 3] và B[ 3; 0; 1]. Gọi M là trung điểm của AB. Đường thẳng d đi qua M vuông góc với trục tung và cắt đường thẳng
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ M[2; 1; 2]
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là: H[ 2; 1+ t; 2t]=>
Ta có vecto chỉ phương của trục tung là:
Do
+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng MH: đi qua M[ 2; 1; 2] và vecto chỉ phương
=> Phương trình đường thẳng d:
Chọn A.
Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng
A. [ 1; 2; 1]
B. [ 1; -2; -2]
C. [1; -1; -2]
D.[ 1; 1;-2]
Hướng dẫn giải
+ Gọi mặt phẳng [P] đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là
- Một điểm thuộc d2 là : N [1; 1; 2];
Mặt phẳng [Q] đi qua M và chứa đường thẳng d2 có vectơ pháp tuyến là:
- Đường thẳng cần tìm d = [P][Q]
Vectơ chỉ phương của d là
Chọn D
Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
A. 3
B. 5
C. 7
D. - 1
Hướng dẫn giải
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và d1 là: H[ 2+ 3t; 1- t; 2t]=>
Ta có vecto chỉ phương của trục hoành là: , Khi đó:
Do
+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng AH: đi qua A[-1; -1;2] và vecto chỉ phương
=> Phương trình đường thẳng d:
Suy ra: a= -1; b=2 và c= 4 nên a+ b+ c= 5
Chọn B.
Ví dụ 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng
A:
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Gọi giao điểm của đường thẳng d với hai đường thẳng d1; d2 lần lượt là A và B.
+ Điểm A d1 nên tọa độ A[ 2a; 1- a; - 2+ a]
Điểm B d2 nên tọa độ B[ - 1+ 2b; 1+ b; 3]
=>
+ Mặt phẳng [P] có vectơ pháp tuyến
+ Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng [ P] nên hai vecto AB và np cùng phương có một số k thỏa mãn
+ Đường thẳng d đi qua điểm A[ 2; 0; -1] và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình của d là:
Chọn A.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A[-2; -1; 1] và hai đường thẳng
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
+ Gọi [ P] là mặt phẳng qua A vuông góc với đương thẳng d1.
Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương là [1; 2; -2] nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] là:
=> Phương trình mặt phẳng [P] là: 1[ x+ 2] + 2[ y+1] 2[ z- 1] =0 Hay x+ 2y 2z + 6= 0
+Gọi giao điểm của đường thẳng d2 và mặt phẳng [ P] là điểm B
Do B thuộc d2 nên tọa độ B[ - 2t; - 1- t; t] . Thay tọa độ điểm B vào phương trình mặt phẳng [P] ta được : - 2t + 2[ - 1- t] - 2t+ 6 = 0 - 2t 2 2t- 2t+ 6= 0 - 6t +4= 0 t= 2/3 => B[ [- 4]/3; [- 5]/3; 2/3]
+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng AB: Đi qua A[ -2; -1; 1] nhận vecto
=> Phương trình chính tắc của đường thẳng AB:
Chọn B.
Câu 2:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
+ Gọi giao điểm của của d và d2 là B.
Do B thuộc d2 nên tọa độ B[ 3- 2t; t; 4+ t ] =>
+ Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương
+ Do đường thẳng d vuông góc với d1 nên
=> = 0
1[ 5- 2t] 3[ t- 1] + 1[ 7+ t]= 0 5- 2t 3t + 3+ 7+ t= 0 - 4t + 15= 0 nên t= 15/4
+ Đường thẳng d đi qua điểm A [-2; 1; -3] và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình của d là:
Chọn A.
Câu 3:
Cho hai đường thẳng:
A. [ - 5; - 6; 9]
B.[ 5; - 6; 7]
C. [ -10; 12; 17]
D. [ 1; 1; 2]
Lời giải:
- Gọi mặt phẳng [P] đi qua điểm A [0; 0; 1] và vuông góc với đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là
Phương trình mặt phẳng [P] là: -2.[x 0] 3 . [y 0] + 1. [z 1] = 0 hay - 2x 3y+ z- 1 = 0 2x+ 3y z+ 1= 0
-Gọi giao điểm của mặt phẳng [P] và đường thẳng d2 là B
B thuộc d2 nên tọa độ B[ 1- t; 3; - 2+ 2t]
Thay tọa độ [ B] vào phương trình mặt phẳng [P] ta được: 2[ 1- t] + 3. 3- [ - 2+ 2t] + 1= 0 2- 2t + 9 + 2- 2t + 1= 0 - 4t + 14= 0 t= 7/2 =>
- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B
Vectơ chỉ phương của d là:
Vậy phương trình đường thẳng d là:
Cho t= 2 ta được điểm I[ -10; 12; 17] thuộc đường thẳng d .
Chọn C.
Câu 4:
Cho đường thẳng:
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
+ Gọi giao điểm của d và d1 là B[ -2+ 2t; t; 1- t]
+ Khi đó đường thẳng d chính là đường thẳng AB nên đường thẳng d nhận vecto
+ Do đường thẳng d vuông góc với đường thẳng MN
=>
=> - 1[ - 3- 2t] + 3. t+ 3[ 1- t] = 0 3+ 2t +3t + 3- 3t= 0 2t+ 6= 0 t= - 2 => B[ - 6; - 2; 3]
+ Đường thẳng d đi qua A [1; 0;0] nhận vecto
=> Phương trình đường thẳng d:
Chọn D.
Câu 5:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm A[ -1; 2; 3] vuông góc với đường thẳng
A. 4x+ y- 10= 0
B. 2x+ y- 6z+ 1= 0
C. x+ 2y- z+ 1= 0
D. x+ 2y- 2z= 0
Lời giải:
Gọi
Ta có , Khi đó:
Do
Suy ra một vecto chỉ phương của đường thẳng là:
Phương trình của d đương thẳng d:
+ Xét mặt phẳng [P]: 4x + y- 10= 0 có vecto pháp tuyến
=>
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng [P].
Chọn A .
Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A[-1; 2; 0]; B[ 2; 1;1] và C[ 2; 3; 2]. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Đường thẳng d đi qua G vuông góc với trục tung và cắt đường thẳng
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
+ Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên tọa độ G[ 1; 2;1] .
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và là: H[ 1- t; - 2+ 2t; 2]=>
Ta có vecto chỉ phương của trục tung là:
Do
+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng GH: đi qua G[ 1; 2; 1] và vecto chỉ phương
=> Phương trình đường thẳng d:
Chọn D.
Câu 7:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng
A. [-3; 1; -3]
B. [ -3; -1; 3]
C. [-3; 1; 3]
D.[ 3; 1; 3]
Lời giải:
+ Gọi mặt phẳng [P] đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến
là
- Một điểm thuộc d2 là : O[0; 0;0];
Mặt phẳng [Q] đi qua I và chứa đường thẳng d2 có vectơ pháp tuyến là:
- Đường thẳng cần tìm d = [P][Q]
Vectơ chỉ phương của d là
Chọn D
Câu 8:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
A. 8
B. - 12
C. - 8
D. 12
Lời giải:
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và d1 là: H[ 3t; -2+ t; 2- t]=>
Ta có vecto chỉ phương của trục hoành là:
Do
+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng AH: đi qua A[ 3; 2; 2] và vecto chỉ phương
=> Phương trình đường thẳng d:
Suy ra: a= 2; b= - 3 và c= 2 nên abc= - 12
Chọn B.