Baài toán 7 1.98 3.97 49.51 năm 2024

Khai thác bài toán tính tổng của dÃy số viết theo quy luËt Dạng 1: dãy số tự nhiên cách đều a, 1 + 2+3 + .... + n = n[n+1]/2 II. DÃy số dạng: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100…+ n[n+1] Để tính A ta biến đổi A để xuất hiện các hạng tử đối nhau. Muốn vậy ta cần tách một thừa số trong mỗi hạng tử thành một hiệu : a = b - c Gi¶i: 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + 99.100.3…+…+ n[n+1]3 \= 1.2.3 + 2.3.[4 - 1] + 3.4.[5 - 2] + … + n[n+1][[n +2 –[n-1]] \= 1.2.3 +2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + … + n[n+1][n +2]- n[n+1][n-1] \= n[n+1][n +2] ⇒ A = n[n+1][n +2]- :3 I.

Bµi 1: TÝnh A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 Bài toán 2 . Tính : A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99 Gi¶i 6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 97.99.6 \= 1.3[5 + 1] + 3.5.[7 - 1] + 5.7[9 - 3] + … + 97.99[101 - 95] \= 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99 \= 1.3.5 + 3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + .…+ 97.99.101 - 95.97.99 \= 3 + 97.99.101 1 + 97.33.101 A= 2 \= 161 651

Trong bài toán 1 ta nh©n A víi 3 [a = 3] . Trong bài toán 2 ta nhân A với 6 [a = 6]. Ta có thể nhận thấy để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau ta nhân A với 3 lần khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi hạng tử. 3k n[n + k] = n[n + k][r + 2k] - [n - k] n [n + k] Thay đổi số các thừa số trong tích ta có bài toán 3 Bài toán 3 :

TÝnh A = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 98.99.100

Gi¶i : 4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + … + 98.99.100.4 \= 1.2.3.4 + 2.3.4[5 - 1] + 3.4.5[6 - 2] + … + 98.99.100[101 - 97] 1

\= 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5 + … + 98.99.100.101 - 97.98.99.100 \= 98.99.100.101 ⇒ A = 98.99.25.101 \= 24 497 550 Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử ở bài 3 ta có bài toán: Bài toán 4 : Tính : A = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 95.97.99 Gi¶i : 8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + … + 95.97.99.8 \= 1.3.5[7 + 1] + 3.5.7[9 - 1] + 5.7.9[11 - 3] + … + 95.97.99[101 - 93] \= 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + … + 95.97.99.101 - 93.95.97.99 \= 15 + 95.97.99.101 ⇒

A=

15 + 95.97.99.101 8

\= 11 517 600 Trong bài 3 ta nhân A với 4 [bốn lần khoảng cách]. Trong bài 4 ta nhân A với n

8 [bốn lần khoảng cách]. Nh vậy để giải bài toán dạng

n[n + k][n + 2k]

ta

n =1

nhân với 4k [4 lần khoảng cách] sau đó tách 4kn[n + k][n + 2k] = n[n + k][n + 2k][n + 3k] - [n - k][n + k]n[n + 2k] Thay đổi sự kế tiếp lặp lại ở các thừa số trong bài toán 1 ta có bài toán: Bài toán 5 : Tính A = 1.2 + 3.4 + 5.6 + … + 99.100 Gi¶i A = 2 + [ 2+ 1].4 + [ 4 + 1]6 + … + [98 + 1].100 \= 2 + 2.4 + 4 + 4.6 + 6 + … + 98.100 + 100 \= [2.4 + 4.6 + … + 98.100 ] + [2 + 4 + 6 + 8 + … + 100] \= 98.100.102 : 6 + 102.50:2 \= 166600 + 2550

\= 169150 C¸ch kh¸c A = 1.[3 - 1] + 3[5 - 1] + 5[7 - 1] + … + 99[101 - 1] \= 1.3 - 1 + 3.5 - 3 + 5.7 - 5 + … + 99.101 - 99 \= [1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 99.101] - [1 + 3 + 5 + 7 + + 99] \= 171650 2500 \= 169150 Trong bài toán này ta không nhân A với một số hạng mà tách ngay một thừa số trong tích làm xuất hiện các dÃy số mà ta đà biết cách tính hoặc dễ dàng tính đợc. Làm tơng tự với các bài toán: 2

Bài toán 6 : Tính A = 12 + 22 + 32 + 42 + … + 1002 Gi¶i : A = 1 + 2[1 + 1] + 3[2 + 1] + 4[3 + 1] + … + 100[99 + 1] \= 1 + 1.2 + 2 + 2.3 + 3 + 3.4 + 4 + … + 99.100 + 100 \= [1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100] + [ 1 + 2 + 3 + … + 100] \= 333300 + 5050 \= 338350 Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số trong bài 6 ta có bài toán: Bài toán 7: Tính A = 12 + 32 + 52 + … + 992 Gi¶i : A= 1 + 3[2 + 1] + 5[2 + 3] + 7[2 + 5] + … + 99[2 + 97] \= 1 + 2.3 + 1.3 + 2.5 + 3.5 + 2.7 + 5.7 + … + 2.99 + 97.99 \= 1 + 2[3 + 5 + 7 + … + 99] + [1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99] \= 1 + 4998 + 161651 \= 166650

Trong bài toán 5 và 7 có thĨ sư dơng : [n - a] × [[n + a] = n2 - a2 ⇒ n2 = [n - a][n + a] + a2 a là khoảng cách giữa các cơ số Bài toán 8 Tính A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + … + 99.99.100 Gi¶i : A = 1.3.[ 5 – 3] + 3.5.[ 7 – 3] + 5.7.[ 9 -3] + … + 99.101.[ 103 – 3] \= [ 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 99.101.103 ] – [ 1.3.3 + 3.5.3 + … + 99.101.3 ] \= [ 15 + 99.101.103.105]: 8 – 3[ 1.3 + 3.5 + 5.7 +… + 99.101] \= 13517400 – 3.171650 \= 13002450 Thay ®ỉi sè mị của bài toán 7 ta có bài toán: Bài toán 9 : TÝnh A = 13 + 23 + 33 + … + 1003 Gi¶i Sư dơng : [n - 1]n[n + 1] = n3 - n ⇒ n3 = n + [n - 1]n[n + 1] ⇒ A = 1 + 2 + 1.2.3 + 3 + 2.3.4 + … + 100 + 99.100.101 \= [1 + 2 + 3 + … + 100] + [1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101] \= 5050 + 101989800 = 101994850 3

Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số ở bài toán 8 ta có bài toán . Bài toán 10: Tính A = 13 + 33 + 53 + … + 993 Gi¶i : Sư dơng [n - 2]n[n + 2] = n3 - 4n ⇒ n3 = [n - 2]n[n + 2] + 4n ⇒ A = 1 + 1.3.5 + 4.3 + 3.5.7 + 4.5 + … + 97.99.101 + 4.99

\= 1 + [1.3.5 + 3.5.7 + … + 97.99.101] + 4[3 + 5 + 7 + … + 99] \= 1 + 12487503 + 9996 = 12497500 Với khoảng cách là a ta tách : [n - a]n[n + a] = n3 - a2n. ë bài toán 8, 9 ta có thể làm nh bài toán 6, 7. Thay đổi số mũ của một thừa số trong bài toán 1 ta có: Bài toán 11: Tính A = 1.22 + 2.32 + 3.42 + … + 99.1002 Gi¶i : A = 1.2.[3 - 1] + 2.3[4 - 1] + 3.4[5 - 1] + … + 99.100.[101 - 1] \= 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + … + 99.100.101 - 99.100 \= [1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101] - [1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100] \= 25497450 – 333300 \= 25164150 Víi c¸ch khai th¸c nh trên ta có thể khai thác, phát triển các bài toán trên thành rất nhiều bài toán hay mà trong quá trình giải đòi hỏi học sinh phải có sự linh hoạt, sáng tạo. Trong các bài toán trên ta có thể thay ®ỉi sè h¹ng ci cïng cđa d·y b»ng sè h¹ng tỉng qu¸t theo quy lt cđa d·y. 1. TÝnh

A = 1.99 + 2.98 + 3.97 + … + 49.51+ 50.50

2. TÝnh

B = 1.3 +5.7+9.11+ …+ 97.101

3 TÝnh

C = 1.3.5 – 3.5.7 + 5.7.9 – 7.9.11 + … - 97.99.101

4. TÝnh

D = 1.99 + 3.97 + 5.95 + … + 49.51

5. TÝnh

E = 1.33 + 3.53 + 5.73 + … + 49.513

6. TÝnh

F = 1.992 + 2.982 + 3.972 + … + 49.512

1. Dãy phân số viết theo quy luật [1]. D·y 1: Sö dụng công thức tổng quát

4

n 1 1 \= − a.[a + n] a a + n

- - - Chøng minh - - n [ a + n] − a a+n a 1 1

\= \= − \= − a.[a + n] a.[a + n] a.[a + n] a.[a + n] a a + n

 ∗ Bµi 1.1: TÝnh a]

A=

B=

c]

b]

1 1 1 1

• + ... + 6.10 10.14 14.18 402.406

C=

D=

3 3 3 3

• + ... + 5.8 8.11 11.14 2006.2009

10 10 10 10

• + ... + 7.12 12.17 17.22 502.507

d]

4 4 4 4 +

• + ... + 8.13 13.18 18.23 253.258

∗ Bµi 1.2: TÝnh: a]

A=

B=

c]

1 1 1 1

• + ... + 2.9 9.7 7.19 252.509

b]

1 1 1 1

• + ... + 10.9 18.13 26.17 802.405

C=

2 3 2 3 2 3 −

• − + ... + − 4.7 5.9 7.10 9.13 301.304 401.405

Bài 1.3: Tìm số tự nhiên x, thoả mÃn: x 1 1 1 1 5 − − − ... −

\= 120 8

1. 2008 10 15 21

b]

7 4 4 4 4 29

• + ... + \= x 5.9 9.13 13.17 41.45 45

1 1 1 1 15

• + ... + \= [2 x + 1][2 x + 3] 93

1. 3.5 5.7 7.9

∗ Bµi 1.4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta ®Ịu cã:

5

1 1 1 1 n

• + ... + \= [3n − 1][3n + 2] 6n + 4
• 2.5 5.8 8.11 5 5 5 5 5n
• + ... + \= [4n − 1][4n + 3] 4n + 3
• 3.7 7.11 11.15

∗ Bµi 1.5: Chøng minh r»ng víi mäi n ∈ N ; n ≥ 2 ta cã: 3 3 3 3 1

• + ... + < 9.14 14.19 19.24 [5n − 1][5n + 4] 15

∗ Bµi 1.6: Cho ∗ Bµi 1.7:

A=

4 4 4 16 16

• + ... + < A< 15.19 19.23 399.403 chøng minh: 81 80

2 2 2 ; ; ;... Cho d·y sè : 4.11 11.18 18.25

1. T×m sè hạng tổng quát của dÃy
2. Gọi S là tổng của 100 số hạng đầu tiên của dÃy. Tính S. Bài 1.8: ∗ Bµi 1.9:

Cho Cho

∗ Bµi 1.10: Cho ∗ Bµi 1.11: Cho ∗ Bµi 1.12: Cho ∗ Bµi 1.13: Cho ∗ Bµi 1.14:

Cho

∗ Bµi 1.15: Cho ∗ Bµi 1.16: Cho

A=

1

1 1 1 2 8 + 2 + 2 + ... + 2 < A< 2 9 2 3 4 9 . Chøng minh 5

A=

2 2 2 2 1003 + 2 + 2 + ... + A< 2 2 2008 3 5 7 2007 . Chøng minh:

B=

1 1 1 1 334 + 2 + 2 + ... + B< 2 2 2007 4 6 8 2006 . Chøng minh:

S=

1 1 1 1 + 2 + ... + S< 2 2 12 5

9 409 . Chøng minh:

A=

9 9 9 9 3 + 2 + 2 + ... + A< 2 2 4 5 11 17 305 . Chøng minh:

B=

8 24 48 200.202

• + ... + 9 25 49 2012 . Chøng minh: B > 99,75

A=

11 18 27 1766 20 20 + + + ... + 40 < A < 40 9 16 25 1764 . Chøng minh: 43 21

B=

2 2 32 4 2 52 99 2

• + ... + 1 .3 2 .4 3 .5 4 .6 98.100 . Tìm phần nguyên của B.

C=

3 8 15 2499

+ + + ... + 4 9 16 2500 . Chøng minh C > 48

6

∗ Bµi 1.17: Cho M 1 ta cã: A=

1 1 1 1 1 + 3 + 3 + ... + 3 < 3 4 2 3 4 n

∗ Bµi 1.24:

TÝnh

M =

1 1 1

• + ... + 1 .2 .3 .4 2 .3 .4 .5 27.28.29.30

1 1 1 +

+ ... + 51 52 100 P= 1 1 1 1

• + ... + 1 .2 3 .4 5 .6 99.100 ∗ Bµi 1.25: TÝnh

Bµi 1.26:

TÝnh:

Q=

1.3 2.4 3.5 [n − 1][n + 1] 1002.1004

• + ... + + ... + 3.5 5.7 7.9 [2n − 1][2n + 1]

2005.2007 7

Bµi 1. 27:

R=

TÝnh:

Bµi 1.28: Cho

S=

2 2 32 42 2006 2

• + ... + 1.3 2.4 3.5 2005.2007

2 22 23 2 n +1 2 2006

• +
• ...
• ...
• 2 n 2005 2005 + 1 2005 2 + 1 2005 2 + 1 2005 2 + 1 2005 2 + 1

1 So s¸nh S víi 1002

 Hướng dẫn: m m mk + m − mk + m 2m m m 2m − \= \= ⇒ \= −

k −1 k +1 [ k − 1][k + 1] k2 −1 k + 1 k −1 k2 −1 Áp dụng vào bài toán với m ∈ {2; 2 , …., 2 } và k ∈ { 2005, 2005 , … 2005 2

2006

} ta có:

2 2 22 \= − 2005 + 1 2005 − 1 20052 − 1 22 2005 2 + 1

\=

22 2005 2 − 1

−

23 2

2005 2 − 1

………………..

[2]. D·y 2: D·y luü thõa Bµi 2.1: TÝnh : Bµi 2.2: TÝnh: Bµi 2.3: TÝnh: Bµi 2.4: TÝnh: Bµi 2.5: Cho

A=

1  n  a  víi n tù nhiªn.

1 1 1 1 + 2 + 3 + ... + 100 2 2 2 2

B=

1 1 1 1 1

1 − 2 + 3 − 4 + ... + 99 − 100 2 2 2 2 2 2

C=

1 1 1 1 + 3 + 5 + ... + 99 2 2 2 2

D=

1 1 1 1 1 − 4 + 7 − 10 + ... − 58 2 2 2 2 2

A=

2 8 26 3n − 1 1 + + + ... + n A>n− 3 9 27 2 3 . Chøng minh

8

Bµi 2.6: Cho Bµi 2.7: Cho Bµi 2.8: Cho Bµi 2.9: Cho

B=

4 10 28 398 + 1 + + + ... + 98 3 9 27 3 . Chøng minh B < 100.

C=

5 5 5 5 5 + 2 + 3 + ... + 99 C< 4 4 3 4 4 . Chøng minh:

D=

3 5 7 19 + 2 2 + 2 2 + ... + 2 2 2 1 .2 2 .3 3 .4 9 .10 . Chøng minh: D < 1.

E=

1 2 3

100 3 + 2 + 3 + ... + 100 E< 3 3 4 3 3 . Chøng minh:

Bµi 2.10: Cho Bµi 2.11: Cho Bµi 2.12: Cho Bµi 2.13: Cho Bµi 2.14: Cho Bµi 2.15: Cho

2

F=

4 7 10 3n + 1 11 + 2 + 3 + ... + n F< * 3 3 4 3 3

víi n ∈ N . Chøng minh:

G=

5 8 11 302 5 1 + 2 + 3 + ... + 100 2

3 3 2 3 3 . Chøng minh: 9

H=

7 13 19 601 7 + 2 + 3 + ... + 100 3

3 3 3 3 . Chøng minh: 9

I=

11 17 23 605

+ 2 + 3 + ... + 100 3 3 3 3 . Chøng minh: I < 7

K=

4 13 22 904 17 + 2 + 3 + ... + 101 K< 3 3 4 3 3 . Chøng minh:

L=

7 11 15 403 + 2 + 3 + ... + 100 3 3 3 3 . Chøng minh: L < 4,5.

[3]. DÃy 3: DÃy dạng tích các phân số viết theo quy luật: Bài 3.1:

8 15 24

2499 A = . . ..... 9 16 25 2500 . TÝnh:

Bµi 3.2:

1 1 1 1 1 1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,... Cho d·y sè: 3 8 15 24 35

1. Tìm số hạng tổng quát của dÃy.
2. Tính tích của 98 số hạng đầu tiên của dÃy. 1  1  1   1  1  B = 1 − 1 − 1 − 1 − .....1 −  3 6 10 15 780     

    . Bµi 3.3: TÝnh: 1 3 5 199 1 C = . . ..... C2 < 2 4 6 200 . Chøng minh: 201 Bµi 3.4: Cho

9

1 3 5 99 1 1 D = . . .....

2 4 6 100 . Chøng minh: 15 10 Bµi 3.5: Cho  1  1  1   1 

E =  + 1 + 1 + 1.... + 1  2  3  4   99  Bµi 3.6: TÝnh:  1  1  1   1  F =  − 1 − 1 − 1.... − 1  2  3  4   100  . Bµi 3.7: TÝnh:

Bµi 3.8: TÝnh:

G=

3 8 15 899 . 2 . 2 ..... 2 2 2 3 4 30 .

1 2 3 4 30 31 H = . . . .... . 4 6 8 10 62 64 . Bµi 3.9: TÝnh:

Bµi 3.10: TÝnh:

I = 101.10001.100000001.....100  ...

 000  1 2 n −1c / s

 1  1  1   1  −1 K =  2 − 1 2 − 1 2 − 1.... − 1 2 2  3  4   100  . So s¸nh K víi 2 Bµi 3.11: Cho 1   1  1  1   1 L = 1 − 1 − 1 − ....1 −   2  3  4   20 với 21 Bài 3.12: So sánh 1 1 1  1  11 M = 1 − 1 − 1 − .....1 −

  4  9  16   100 với 19 Bài 3.13: So sánh

Bài 3.14: Tính:

N=

2 2 32 4 2 50 2 . . ..... 1.3 2.4 3.5 49.51

 1  2  3   10  P = 1 − 1 − 1 − .....1 −  7 .  7  7  7   Bµi 3.15: TÝnh 2   2  2  2   Q = 1 − 1 − 1 − .....1 −  3 5 7 2007 

       Bµi 3.16: TÝnh:  1 1  1 1  1 1   1 1  T =  −  −  − ..... −   2 3  2 5  2 7   2 99  Bµi 3.17: Tính:

Bài 3.18: So sánh:

U=

1.3.5.7.....39 1 V = 20 21.22.23.....40 và 2 1

1 1 1   1   V = 1 + 1 +

1 + .....1 +   1.3  2.4  3.5   99.101  . Chøng minh V < 2. Bµi 3.19: Cho 2 4 6 200 S = . . ..... 1 3 5 199 . Chøng minh: 201 < S 2 < 400 Bµi 3.20: Cho

10

1 4 7 10 208 1 A = . . . .... A< 3 6 9 12 210 . Chøng minh: 25 Bµi 3.21: Cho

Bµi 3.22: TÝnh:

B=

12 2 2 3 2 100 2 .

. ..... 1.2 2.3 3.4 100.101

 1999  1999  1999   1999  1 + 1 + 1 + .....1 +  1  2  3   1000   C=  1000  1000  1000   1000  1 + 1 + 1 + .....1 +  1  2  3   1999   Bµi 3.23: TÝnh:

4   1  4  4 

D = 1 − 1 − 1 − .....1 − 2  1  9  25   [2n − 1] Bµi 3.24: TÝnh:

   , víi n ∈ N, n ≥ 1

1  1 1     E = 1 − 1 − .....1 −   1 + 2  1 + 2 + 3   1 + 2 + 3 + ... + n  Bµi 3.25: Cho

vµ

F=

n+2 E n víi n ∈ N*. TÝnh F

1  1   1   1  1  1 G = 1 + 1 + 1 + 1 + ....1 + 1024  H = 2047  2  4  16  256   2  vµ 2 Bµi 3.26: Cho

TÝnh: G + H. n

n

1.3 + 2 3.5 + 2 15.17 + 2 255.257 + 2 [2 2 − 1][2 2 + 1] + 2 I= . . . ..... n 4 16 256 65536 22

Bµi 3.27: Cho víi n ∈

1. Chøng minh:

I