- LG 1
- LG 2
- LG 3
- LG 4
- LG 5
- LG 6
- LG 7
Trong không gianOxyzcho mp[P] \[:x + 2y{\rm{ }} - {\rm{ }}z + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] và đường thẳng
\[d:{{x + 1} \over 2} = y + 1 = z - 3.\]
LG 1
Tim toạ độ giao điểmAcủadvà [P].
Lời giải chi tiết:
Phương trình tham số củad:\[\left\{ {\matrix{ {x = {\rm{ }} - 1{\rm{ }} + {\rm{ }}2t} \hfill \cr {y = {\rm{ }} - 1{\rm{ }} + t} \hfill \cr {z{\rm{ }} = {\rm{ }}3{\rm{ }} + t.} \hfill \cr } } \right.\]
Toạ độ giao điểmAcủa đường thẳngdvới mp[P] thoả mãn hệ :
\[\left\{ {\matrix{ {x = - 1{\rm{ }} + {\rm{ }}2t} \hfill \cr {y{\rm{ }} = - 1{\rm{ }} + t} \hfill \cr {\;z = {\rm{ }}3{\rm{ }} + t} \hfill \cr {x{\rm{ }} + 2y - z + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0} \hfill \cr } } \right. \]
\[\Rightarrow t = {1 \over 3} \Rightarrow A = \left[ { - {1 \over 3}; - {2 \over 3};{{10} \over 3}} \right].\]
LG 2
Tính góc \[\alpha \] giữa đường thẳngdvà mp[P].
Lời giải chi tiết:
Gọi \[\alpha \]là góc giữa đường thẳngdvà mp[P].dcó vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_d}} [2;1;1],\][P] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_p}} [1;{\rm{ }}2;{\rm{ }} - {\rm{ }}1]\]nên
\[\sin \alpha = {{\left| {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|}} = {{\left| {2 + 2 - 1} \right|} \over {\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left[ { - 1} \right]}^2}} }}={1 \over 2}\]
\[\Rightarrow \alpha = {30^ \circ }.\]
LG 3
Viết phương trình mp[Q]chứa đường thẳngdvà vuông góc với mp[P].
Lời giải chi tiết:
Vì [Q] là mặt phẳng chứadvà vuông góc với mp[P] nên mp[Q] chứa điểm \[\left[ { - 1{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}3} \right] \in d\] và có vectơ pháp tuyến là
\[\left[ {\overrightarrow {{n_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = {\rm{ }}\left[ { - 3{\rm{ }};{\rm{ }}3{\rm{ }};{\rm{ }}3} \right]\]
Suy ra phương trình mp[Q] là: \[x - y - z + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\]
LG 4
Viết phương trình hình chiếu vuông gócd'củadtrên mp[P].
Lời giải chi tiết:
d' chính là đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng [P] và [Q].Vì vậy, điểm \[[x{\rm{ }};{\rm{ }}y;{\rm{ }}z] \in d'\]khi và chỉ khi \[\left[ {x;y;z} \right]\] thoả mãn hệ
\[\left\{ {\matrix{ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} - {\rm{ }}z{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0} \hfill \cr {x - y - z + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0,} \hfill \cr } } \right.\]
hayd' có phương trình tham số là :
\[\left\{ \matrix{ x = - {{11} \over 3} + t \hfill \cr y = - {2 \over 3} \hfill \cr z = t. \hfill \cr} \right.\]
LG 5
Viết phương trình đường thẳng nằm trong mp[P]chứaAvà vuông góc với đường thẳngd.
Lời giải chi tiết:
Gọi \[\Delta \] là đường thẳng nằm trong mpc[P], đi qua điểm \[A\left[ { - {1 \over 3}; - {2 \over 3};{{10} \over 3}} \right]\] và vuông góc với đường thẳngd.Khi đó, \[\Delta \] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = {1 \over 3}\left[ {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left[ { - 1{\rm{ }};{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right]\] nên \[\Delta \] có phương trình chính tắc là
\[{{x + {1 \over 3}} \over { - 1}} = y + {2 \over 3} = z - {{10} \over 3}.\]
LG 6
Viết phương trình mặt cầu có tâmInằm trên đường thẳngd,tiếp xúc với mp[P] và có bán kính \[R = \sqrt 6 .\]
Lời giải chi tiết:
Vì \[I \in d\]nên \[I = {\rm{ }}\left[ { - 1 + 2t; - 1{\rm{ }} + {\rm{ }}t;3 + {\rm{ }}t} \right].\]
Mặt cầu tâmItiếp xúc với mp[P] và có bán kính \[R{\rm{ }} = \sqrt 6 \].Và khi và chỉ khi \[d\left[ {I,\left[ P \right]} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}\sqrt 6 \]hay
\[{{\left| { - 1{\rm{ }} + 2t{\rm{ }} - 2{\rm{ }} + 2t{\rm{ }} - 3{\rm{ }} - t{\rm{ }} + 5} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {\rm{ }}{2^2} + {{\left[ { - 1} \right]}^2}} }} = \sqrt 6 \]
\[ < = > \left| {3t - 1} \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}6 \Rightarrow \left[ \matrix{ 3t - 1 = 6 \hfill \cr 3t - 1 = - 6 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left[ \matrix{ t = {7 \over 3} \hfill \cr t = - {5 \over 3} \hfill \cr} \right. \]
\[\Rightarrow \left[ \matrix{ I = \left[ {{{11} \over 3};{4 \over 3};{{16} \over 3}} \right] \hfill \cr I = \left[ { - {{13} \over 3};{{ - 8} \over 3};{4 \over 3}} \right]. \hfill \cr} \right.\]
Vậy có hai mặt cầu thoả mản yêu cầu đặt ra là:
\[ \left[ {{S_1}} \right]:{\left[ {x - {{11} \over 3}} \right]^2} + {\left[ {x - {4 \over 3}} \right]^2} + {\left[ {x - {{16} \over 3}} \right]^2} = 6,\]
\[\left[ {{S_2}} \right]:{\left[ {x + {{13} \over 3}} \right]^2} + {\left[ {x + {8 \over 3}} \right]^2} + {\left[ {x - {4 \over 3}} \right]^2} = 6. \]
LG 7
Viết phương trình mp[R] chứa đường thẳngdvà tạo với mp[P] một góc nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Cách 1.Ta tìm hai điểm phân biệt thuộc đường thẳngd.
Chot= 0, ta được \[M[ - 1;{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}3] \in d,{\rm{ }}t = {\rm{ }}1,\]ta được \[N\left[ {{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }}4} \right] \in d.\]
Giả sử mặt phẳng [R]cần tìm có phương trìnhAx+By+Cz+D= 0 với \[{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0.\]
Vì M, N \[ \in \] mp[R]
\[\left\{ \matrix{ - A - B + 3C + D = 0 \hfill \cr A + 4C + D = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ C = - [2A + B] \hfill \cr D = {\rm{ }}7A{\rm{ }} + {\rm{ }}4B. \hfill \cr} \right.\]
Do đó \[\overrightarrow {{n_R}} = {\rm{ }}\left[ {A{\rm{ }};{\rm{ }}B; - 2A - {\rm{ }}B} \right].\]
Ta có \[\overrightarrow {{n_P}} = {\rm{ }}\left[ {1{\rm{ }};2; - 1} \right].\]
Gọi \[\varphi \] góc giữa hai mặt phẳng [R] và [P] \[[0^\circ \le \varphi \le 90^\circ ]\] thì:
\[\cos \varphi = {{\left| {A + 2B + 2A + B} \right|} \over {\sqrt 6 \sqrt {{A^2} + {B^2} + {{\left[ {2A + B} \right]}^2}} }} = {3 \over {\sqrt 6 }}{{\left| {A + B} \right|} \over {\sqrt {5{A^2} + 2{B^2} + 4AB} }}.\]
Trường hợpA + B= 0, ta có \[\varphi \]=90°là góc lớn nhất trong các góc có thể có giữa hai mặt phẳng [P] và [R], loại.
Trường hợp \[A + B \ne 0\], ta có
\[\cos \varphi = {3 \over {\sqrt 6 }}\sqrt {{{{{\left[ {A + B} \right]}^2}} \over {2{{\left[ {A + B} \right]}^2} + 3{A^2}}}} \]
\[= {3 \over {\sqrt 6 }}\sqrt {{1 \over {2 + 3{{\left[ {{A \over {A + B}}} \right]}^2}}}} \le {3 \over {\sqrt 6 }}.\sqrt {{1 \over 2}} = {{\sqrt 3 } \over 2},\]
suy ra \[\varphi \ge 30^\circ .\]
Dấu = xảy ra khiA= 0. Khi đóB\[ \ne \] 0 [vì nếuB= 0 thì C = 0, vô lí].
Ta chọnB= 1 thì \[C = - [2A + B] = - 1,D{\rm{ }} = {\rm{ }}7A{\rm{ }} + {\rm{ }}4B{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }}.\]
Vậy mp[R] chứa đường thẳngdvà tạo với mp[P] một góc nhỏ nhất [bằng 30°] có phương trình là :
\[y{\rm{ }} - {\rm{ }}z{\rm{ }} + 4{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\]
Cách 2. [h. 117]
Xét mặt phẳng [Q] thay đổi đi qua đường thẳngd, cắt mp[P] theo giao tuyến \[\Delta '.\] Vì \[A{\rm{ }} = {\rm{ }}d{\rm{ }} \cap {\rm{ }}\left[ P \right]\] nên \[A{\rm{ }} \in \Delta '\].
Lấy một điểmKcố định trênd[K\[ \ne \]A]. GọiHlà hình chiếu củaKtrên mp[P],Ilà hình chiếu củaHtrên \[\Delta \]' thìHIvàKIcùng vuông góc với \[\Delta \]'
nên là góc giữa mp[P] và mp[Q].
Ta có tan màKHkhông đổi khi [Q] thay đổi và \[HI \le HA\] nên
nhỏ nhất tan nhỏ nhất HIlớn nhất ItrùngAhay \[\Delta ' \bot d\] tạiA, tức là \[\Delta \]' trùng \[\Delta \] [\[\Delta \] nói ở câu 5].
Vậy mp[R] chứa đường thẳngdvà tạo với mp[P] một góc nhỏ nhất khi và chỉ khi mp[R] chứadvà \[\Delta \] [\[\Delta \] nằm trên [P], đi quaAvà vuông góc vớid.
Ta có \[\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left[ {0; - {\rm{ }}3;3} \right]\] nên [R] có vectơ pháp tuyến là \[\left[ {0{\rm{ }};{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }} - 1} \right].\]
Vì mp[R] đi qua \[A\left[ { - {1 \over 3}; - {2 \over 3};{{10} \over 3}} \right]\] nên có phưomg trình là
\[y + {2 \over 3} - \left[ {z - {{10} \over 3}} \right] = 0\] hay \[y{\rm{ }} - {\rm{ }}z{\rm{ }} - {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\]
.com