- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
- LG e
- LG f
- LG g
Giải các phương trình sau:
LG a
\[\tan x = 1 - \cos 2x\]
Lời giải chi tiết:
Điều kiện \[\cos x \ne 0\]
\[\begin{array}{l}
\tan x = 1 - \cos 2x\\
\Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 1 - \left[ {1 - 2{{\sin }^2}x} \right]\\
\Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 2{\sin ^2}x\\
\Rightarrow \sin x = 2{\sin ^2}x\cos x\\
\Leftrightarrow \sin x = \sin x\sin 2x\\
\Leftrightarrow \sin x\left[ {\sin 2x - 1} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\\
\sin 2x = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
x = \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array} \right.\,\,\,\left[ {TM} \right]
\end{array}\]
Vậy \[x = k\pi ,x = {\pi \over 4} + k\pi \].
LG b
\[\tan \left[ {x - {{15}^o}} \right]\cot \left[ {x + {{15}^o}} \right] = {1 \over 3}\]
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: Biến đổi phương trình
\[\tan \left[ {x - {{15}^o}} \right]\cot \left[ {x + {{15}^o}} \right] = {1 \over 3} \]
\[\Leftrightarrow {{\sin \left[ {x - {{15}^o}} \right]\cos \left[ {x + {{15}^o}} \right]} \over {\cos \left[ {x - {{15}^o}} \right]\sin \left[ {x + {{15}^o}} \right]}} = {1 \over 3}\]
\[ \Leftrightarrow {{\sin 2x - \sin {{30}^o}} \over {\sin 2x + \sin {{30}^o}}} = {1 \over 3}\]
Lời giải chi tiết:
Điều kiện \[\cos \left[ {x - {{15}^o}} \right] \ne 0\] và \[\sin \left[ {x + {{15}^o}} \right] \ne 0\]
\[\tan \left[ {x - {{15}^o}} \right]\cot \left[ {x + {{15}^o}} \right] = {1 \over 3} \]
\[\Leftrightarrow {{\sin \left[ {x - {{15}^o}} \right]\cos \left[ {x + {{15}^o}} \right]} \over {\cos \left[ {x - {{15}^o}} \right]\sin \left[ {x + {{15}^o}} \right]}} = {1 \over 3}\]
\[ \Leftrightarrow {{\sin 2x - \sin {{30}^o}} \over {\sin 2x + \sin {{30}^o}}} = {1 \over 3}\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{\sin 2x - \frac{1}{2}}}{{\sin 2x + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{3}\\
\Leftrightarrow 3\sin 2x - \frac{3}{2} = \sin 2x + \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow 2\sin 2x - 2 = 0\\
\Leftrightarrow \sin 2x = 1\\
\Leftrightarrow 2x = {90^0} + k{360^0}\\
\Leftrightarrow x = {45^0} + k{180^0}\,\,\left[ {TM} \right]
\end{array}\]
Vậy\[x = {45^o} + k{180^o}\].
LG c
\[\sin 2x + 2\cos 2x = 1 + \sin x - 4\cos x\]
Lời giải chi tiết:
\[\sin 2x + 2\cos 2x = 1 + \sin x - 4\cos x\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow \sin 2x + 2\left[ {{{2\cos }^2}x - 1} \right] = 1 + \sin x - 4\cos x \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\sin 2x - \sin x} \right] + \left[ {4{{\cos }^2}x - 1} \right] + 4\cos x - 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin x\left[ {2\cos x - 1} \right] + \left[ {2\cos x + 1} \right]\left[ {2\cos x - 1} \right] \cr&+ 2\left[ {2\cos x - 1} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {2\cos x - 1} \right]\left[ {\sin x + 2\cos x + 3} \right] = 0 \cr} \]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2\cos x - 1 = 0\\
\sin x + 2\cos x = - 3\left[ {VN\,do\,{1^2} + {2^2} < {{\left[ { - 3} \right]}^2}} \right]
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi
\end{array}\]
Vậy\[x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi \].
LG d
\[3{\sin ^4}x + 5{\cos ^4}x - 3 = 0\]
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: Quy về phương trình trùng phương đối với \[\cos x\].
Lời giải chi tiết:
\[3{\sin ^4}x + 5{\cos ^4}x - 3 = 0\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3{\left[ {1 - {{\cos }^2}x} \right]^2} + 5{\cos ^4}x - 3 = 0\\
\Leftrightarrow 3\left[ {1 - 2{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x} \right] + 5{\cos ^4}x - 3 = 0\\
\Leftrightarrow 8{\cos ^4}x - 6{\cos ^2}x = 0\\
\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x\left[ {4{{\cos }^2}x - 3} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
{\cos ^2}x = \frac{3}{4}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{3}{4}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\cos 2x = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\]
Vậy \[x = {\pi \over 2} + k\pi ,x = \pm {\pi \over 6} + k\pi \]
LG e
\[\left[ {2\sin x - \cos x} \right]\left[ {1 + \cos x} \right] = {\sin ^2}x\]
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: Biến đổi phương trình thành \[\left[ {2\sin x - 1} \right]\left[ {\cos x + 1} \right] = 0\]
Lời giải chi tiết:
\[\left[ {2\sin x - \cos x} \right]\left[ {1 + \cos x} \right] = {\sin ^2}x\]
\[\begin{array}{l}
2\sin x - \cos x + 2\sin x\cos x - {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = 0\\
\Leftrightarrow 2\sin x - \cos x + 2\sin x\cos x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {2\sin x - 1} \right] + \cos x\left[ {2\sin x - 1} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {1 + \cos x} \right]\left[ {2\sin x - 1} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = - 1\\
\sin x = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \pi + k2\pi \\
x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\]
Vậy \[x = \pi + k2\pi ,\] \[x = {\pi \over 6} + k2\pi ,x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi \]
LG f
\[1 + \sin x\cos 2x = \sin x + \cos 2x\]
Lời giải chi tiết:
\[1 + \sin x\cos 2x = \sin x + \cos 2x\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 1 + \sin x\cos 2x - \sin x - \cos 2x = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {1 - \sin x} \right] - \cos 2x\left[ {1 - \sin x} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {1 - \sin x} \right]\left[ {1 - \cos 2x} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 1\\
\cos 2x = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
x = k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\]
Vậy \[x = k\pi ,x = {\pi \over 2} + 2k\pi \]
LG g
\[{\sin ^2}x\tan x + {\cos ^2}x\cot x - {\sin }2x \]\[= 1 + \tan x + \cot x\]
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: Biến đổi phương trình thành
\[\tan x\left[ {1 - {{\sin }^2}x} \right] + \cot x\left[ {1 - {{\cos }^2}x} \right] + \sin 2x = - 1\]
Lời giải chi tiết:
\[{\sin ^2}x\tan x + {\cos ^2}x\cot x - {\sin }2x \]\[= 1 + \tan x + \cot x\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 1 + \sin 2x + \tan x\left[ {1 - {{\sin }^2}x} \right]\\
+ \cot x\left[ {1 - {{\cos }^2}x} \right] = 0\\
\Leftrightarrow 1 + \sin 2x + \tan x.{\cos ^2}x\\
+ \cot x.{\sin ^2}x = 0\\
\Leftrightarrow 1 + \sin 2x + \sin x\cos x + \cos x\sin x = 0\\
\Leftrightarrow 1 + \sin 2x + \sin 2x = 0\\
\Leftrightarrow 2\sin 2x = - 1\\
\Leftrightarrow \sin 2x = - \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
2x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\
x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\]
Vậy \[x = - {\pi \over {12}} + k\pi ,x = {{7\pi } \over {12}} + k\pi \]