Trong bài viết hôm nay, giasudiem10 sẽ giới thiệu đến các bạn học sinh lý thuyết phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn. Cũng như cách giải hai loại phương trình này cực hay. Đây là phần kiến thức Đại số phổ thông vô cùng quan trọng, nó có liên quan đến nhiều dạng toán thường gặp trong các đề thi quan trọng. Các em tìm hiểu để củng cố thêm phần kiến thức nhé !
I. Lý thuyết và bài tập phương trình bậc nhất một ẩn
1. Các kiến thức cần nhớ
Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn
Phương trình dạng ax+b=0,ax+b=0,với a và b là hai số đã cho và a≠0,a≠0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
– Quy tắc chuyển vế của phương trình bậc nhất một ẩn: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
– Quy tắc nhân với một số: Trong một phương trình, ta có thể:
- Nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.0.
- Chia cả hai vế cho cùng một số khác 0.0.
Phương trình dạng ax+b=0ax+b=0 với a≠0a≠0 luôn có một nghiệm duy nhất x=−ba.x=−ba.
Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn
Bước 1: Chuyển vế ax=−bax=−b
Bước 2: Chia hai vế cho aa ta được: x=−bax=−ba
Bước 3: Kết luận nghiệm: S={−ba}S={−ba}
Tổng quát phương trình ax+b=0ax+b=0 [với a≠0a≠0] được giải như sau:
ax+b=0⇔ax=−b⇔x=−baax+b=0⇔ax=−b⇔x=−ba
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất là x=−bax=−ba
Chú ý:
Cho phương trình ax+b=0ax+b=0 [1].[1].
+ Nếu {a=0b=0{a=0b=0 thì phương trình [1][1] có vô số nghiệm
+ Nếu {a=0b≠0{a=0b≠0 thì phương trình [1][1] vô nghiệm
+Nếu a≠0a≠0 phương trình [1][1] có nghiệm duy nhất x=−bax=−ba.
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Nhận dạng phương trình bậc nhất một ẩn
Phương pháp giải: Ta vận dụng định nghĩa: Phương trình dạng ax+b=0,ax+b=0,với a và b là hai số đã cho và a≠0,a≠0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
Dạng 2: Giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn
Phương pháp: Ta dùng các quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số để giải phương trình.
Biện luận như sau:
Cho phương trình ax+b=0ax+b=0 [1][1] .
+ Nếu {a=0b=0{a=0b=0 thì phương trình [1][1] có vô số nghiệm
+ Nếu {a=0b≠0{a=0b≠0 thì phương trình [1][1] vô nghiệm
+ Nếu a≠0a≠0 thì phương trình [1][1] có nghiệm duy nhất x=−bax=−ba.
Dạng 3: Giải các phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn
Phương pháp: Cách giải phương trình đưa được về dạng ax+b=0ax+b=0:
* Nếu phương trình có mẫu số thì ta thực hiện các bước:
+ Quy đồng mẫu hai vế
+ Nhân hai vế với mẫu chung để khử mẫu
+ Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia
+ Thu gọn và giải phương trình nhận được.
* Nếu phương trình không chứa mẫu thì ta sử dụng các quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân, phá ngoặc và sử dụng hằng đẳng thức để biến đổi.
* Nếu phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì ta phá dấu giá trị tuyệt đối hoặc sử dụng
|A|=m[m≥0]⇔[A=mA=−m|A|=m[m≥0]⇔[A=mA=−m .
3. Bài tập tự luyện
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a] 7x – 35 = 0
b] 4x – x – 18 = 0
c] x – 6 = 8 – x
Gợi ý giải:
a] Ta có: 7x – 35 = 0 ⇔ 7x = 35 ⇔ x = 35/7 = 5.
Vậy phương trình có nghiệm là x = 5.
b] Ta có: 4x – x – 18 = 0 ⇔ 3x – 18 = 0 ⇔ 3x = 18 ⇔ x = 18/3 = 6.
Vậy phương trình có nghiệm là x = 6.
c] Ta có: x – 6 = 8 – x ⇔ 2x = 14 ⇔ x = 14/2 = 7.
Vậy phương trình có nghiệm là x = 7.
Bài 2:
a] Tìm giá trị của m sao cho phương trình sau nhận x = – 5 làm nghiệm: 2x – 3m = x + 9.
b] Tìm giá trị của m, biết rằng phương trình: 5x + 2m = 23 nhận x = 2 làm nghiệm
Gợi ý giải:
a] Phương trình 2x – 3m = x + 9 có nghiệm là x = – 5
Khi đó ta có: 2.[ – 5 ] – 3m = – 5 + 9 ⇔ – 10 – 3m = 4
⇔ – 3m = 14 ⇔ m = – 14/3.
Vậy m = – 14/3 là giá trị cần tìm.
b] Phương trình 5x + 2m = 23 có nghiệm là x = 2
Khi đó ta có: 5.2 + 2m = 23 ⇔ 2m = 23 – 10
⇔ 2m = 13 ⇔ m = 13/2.
Vậy m = 13/2 là giá trị cần tìm.
II. Phương trình bậc hai một ẩn: lý thuyết, cách giải các dạng toán và bài tập đi kèm
1. Phương trình bậc 2 một ẩn là gì?
Cho phương trình sau: ax2+bx+c=0 [a≠0], được gọi là phương trình bậc 2 một ẩn với ẩn là x.
Công thức nghiệm: Ta gọi Δ=b2-4ac.Khi đó:
- Δ>0: phương trình tồn tại 2 nghiệm:.
- Δ=0, phương trình có nghiệm kép x=-b/2a
- Δ0: phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
- Δ’=0: phương trình có nghiệm kép x=-b’/a
- Δ’0, nghiệm là:
- Nếu -c/a=0, nghiệm x=0
- Nếu -c/a0 ⇔ m≠-5/2, phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
Xác định điều kiện tham số để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài
Phương pháp: để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài, trước tiên phương trình bậc 2 phải có nghiệm. Vì vậy, ta thực hiện theo các bước sau:
- Tính Δ, tìm điều kiện để Δ không âm.
- Dựa vào định lý Viet, ta có được các hệ thức giữa tích và tổng, từ đó biện luận theo yêu cầu đề.
Ví dụ 5: Cho phương trình x2+mx+m+3=0 [*]. Tìm m để phương trình [*] có 2 nghiệm thỏa mãn:
Hướng dẫn:
Để phương trình [*] có nghiệm thì:
Khi đó, gọi x1 và x2 là 2 nghiệm, theo định lý Viet:
Mặt khác:
Theo đề:
Thử lại:
- Khi m=5, Δ=-7 0 [nhận]
vậy m = -3 thỏa yêu cầu đề bài.