- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Giải các bất phương trình logarit sau:
LG a
\[\displaystyle \frac{{\ln x + 2}}{{\ln x - 1}} < 0\]
Phương pháp giải:
Giải bất phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
Lời giải chi tiết:
ĐK:
\[\left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
\ln x \ne 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
x \ne e
\end{array} \right.\]
Đặt \[\displaystyle t = \ln x\left[ {t \ne 1} \right]\] ta được: \[\displaystyle \frac{{t + 2}}{{t - 1}} < 0 \Leftrightarrow - 2 < t < 1\].
Suy ra \[\displaystyle - 2 < \ln x < 1 \Leftrightarrow {e^{ - 2}} < x < e\] \[ \Leftrightarrow \frac{1}{{{e^2}}} < x < e\]
Kết hợp điều kiện ta được \[\displaystyle \frac{1}{{{e^2}}} < x < e\].
LG b
\[\displaystyle \log _{0,2}^2x - {\log _{0,2}}x - 6 \le 0\]
Phương pháp giải:
Giải bất phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
Lời giải chi tiết:
Đặt \[\displaystyle t = {\log _{0,2}}x\] ta được: \[\displaystyle {t^2} - t - 6 \le 0\] \[\displaystyle \Leftrightarrow - 2 \le t \le 3\]
Suy ra \[\displaystyle - 2 \le {\log _{0,2}}x \le 3\] \[\displaystyle \Leftrightarrow 0,{2^3} \le x \le 0,{2^{ - 2}}\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left[ {\frac{1}{5}} \right]^3} \le x \le \frac{1}{{0,{2^2}}}\\
\Leftrightarrow {\left[ {\frac{1}{5}} \right]^3} \le x \le \frac{1}{{{{\left[ {1/5} \right]}^2}}}
\end{array}\]
\[\displaystyle \Leftrightarrow \frac{1}{{125}} \le x \le 25\].
Vậy bất phương trình có nghiệm \[\displaystyle \frac{1}{{125}} \le x \le 25\].
LG c
\[\displaystyle \log [{x^2} - x - 2] < 2\log [3 - x]\]
Phương pháp giải:
Giải bất phương trình bằng phương pháp biến đổi về bất phương trình logarit có cùng cơ số.
Lời giải chi tiết:
ĐK: \[\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x - 2 > 0\\3 - x > 0\end{array} \right.\] \[\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < - 1\end{array} \right.\\x < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 < x < 3\\x < - 1\end{array} \right.\]
Khi đó
\[\displaystyle \log [{x^2} - x - 2] < 2\log [3 - x]\]
\[ \Leftrightarrow \log \left[ {{x^2} - x - 2} \right] < \log {\left[ {3 - x} \right]^2}\]
\[\displaystyle \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 < {\left[ {3 - x} \right]^2}\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 < 9 - 6x + {x^2}\]
\[\displaystyle \Leftrightarrow 5x - 11 < 0 \Leftrightarrow x < \frac{{11}}{5}\]
Kết hợp điều kiện ta được \[\displaystyle \left[ \begin{array}{l}2 < x < \frac{{11}}{5}\\x < - 1\end{array} \right.\]
Vậy tập nghiệm là \[\displaystyle \left[ { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2;\frac{{11}}{5}} \right]\].
LG d
\[\displaystyle \ln |x - 2| + \ln |x + 4| \le 3\ln 2\]
Phương pháp giải:
Giải bất phương trình bằng phương pháp biến đổi về bất phương trình logarit có cùng cơ số.
Lời giải chi tiết:
ĐK: \[\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left| {x - 2} \right| > 0\\\left| {x + 4} \right| > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne - 4\end{array} \right.\].
Khi đó bpt \[\displaystyle \Leftrightarrow \ln \left| {[x - 2][x + 4]} \right| \le \ln 8\]\[\displaystyle \Leftrightarrow \left| {{x^2} + 2x - 8} \right| \le 8\] \[\displaystyle \Leftrightarrow - 8 \le {x^2} + 2x - 8 \le 8\]
\[\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x \ge 0\\{x^2} + 2x - 16 \le 0\end{array} \right.\]\[\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le - 2\\x \ge 0\end{array} \right.\\ - 1 - \sqrt {17} \le x \le - 1 + \sqrt {17} \end{array} \right.\] \[\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 - \sqrt {17} \le x \le - 2\\0 \le x \le - 1 + \sqrt {17} \end{array} \right.\]
Vậy tập nghiệm là \[\displaystyle \left[ { - 1 - \sqrt {17} ; - 2} \right] \cup \left[ {0; - 1 + \sqrt {17} } \right]\].