Bài tập giới hạn chương 4 toán 11

Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Lý thuyết và bài tập chương IV Giải tích 11 - Giới hạn - Lư Sĩ Pháp.

Tài liệu bao gồm các nội dung sau:

§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

1. KIẾN THỨC CẤN NẮM

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

2. Giới hạn vô cực

3. Các giới hạn đặc biệt

4. Định lí về giới hạn hữu hạn

5. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

6. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

7. Định lí kẹp về giới hạn của dãy số

8. Lưu ý

9. Phương pháp tìm giới hạn của dãy số

10. Phương pháp tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

- Nhận dạng xem dãy số đã cho có phải là một cấp số nhân lùi vô hạn không. Sau đó áp dụng công thức tính tổng đã biết. - Cách tìm cấp số nhân lùi vô hạn khi biết một số điều kiện: Dùng công thức tính tổng để tìm công bội và số hạng đầu - Cách viết một số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số hữu tỉ: Khai triển số đã cho dưới dạng tổng của một số nhân lùi vô hạn và tính tổng này.

2. BÀI TẬP

§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

1. Giới hạn hữu hạn

2. Giới hạn vô cực

3. Định lí vể giới hạn hữu hạn

4. Các giới hạn đặc biệt

5. Quy tắc về giới hạn vô cực

6. Khử các dạng vô định

§3. HÀM SỐ LIÊN TỤC

ÔN TẬP CHƯƠNG IV

MỘT SỐ ĐỀ ÔN KIỂM TRA

Tài liệu

Like fanpage của thuvientoan.net để cập nhật những tài liệu mới nhất: https://bit.ly/3g8i4Dt.

THEO THUVIENTOAN.NET

Tài liệu gồm 154 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Trọng, tóm tắt lý thuyết, hướng dẫn giải các dạng toán và tuyển chọn các bài tập chuyên đề giới hạn và liên tục, giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học sinh trình Đại số và Giải tích 11 chương 4.

BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ.

1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
2. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP. Dạng 1. Tính giới hạn L = lim P(n)/Q(n) với P(n), Q(n) là các đa thức. Dạng 2. Tính giới hạn dạng L = lim P(n)/Q(n) với P(n), Q(n) là các hàm mũ an. Dạng 3. Tính giới hạn của dãy số chứa căn thức.
3. BÀI TẬP RÈN LUYỆN.

BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ.

1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
2. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP. Dạng 1. Tính giới hạn vô định dạng 0/0, trong đó tử thức và mẫu thức là các đa thức. Dạng 2. Tính giới hạn vô định dạng 0/0, trong đó tử thức và mẫu thức có chứa căn thức. Dạng 3. Giới hạn của hàm số khi x tiến đến vô cực. Dạng 4. Giới hạn một bên x tiến đến x0+ hoặc x tiến đến x0-. Dạng 5. Giới hạn của hàm số lượng giác.
3. BÀI TẬP RÈN LUYỆN.

BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC.

1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
2. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP. Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm. Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định. Dạng 3. Chứng minh phương trình có nghiệm.
3. BÀI TẬP RÈN LUYỆN.

BÀI 4. ÔN TẬP CHƯƠNG IV.

• Giới Hạn - Hàm Số Liên Tục

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]

+) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: limn→+∞un=0 hay un → 0 khi n → +∞.

+) Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là a (hay vn dần tới a) khi n → +∞ nếu limn→+∞vn−a=0

Kí hiệu: limn→+∞vn=a hay vn → a khi n → +∞.

Một vài giới hạn đặc biệt

1. limn→+∞1n=0,limn→+∞1nk=0 với k nguyên dương;

2. limn→+∞qn nếu |q| < 1;

3. Nếu un = c (c là hằng số) thì limn→+∞un=limn→+∞c=c.

Chú ý: Từ nay về sau thay cho limn→+∞un=a ta viết tắt là lim un = a.

ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

+) Định lí 1

1. Nếu lim un = a và lim vn = b thì

lim (un + vn) = a + b

lim (un – vn) = a – b

lim (un.vn) = a.b

limunvn=ab (nếu b≠0)

Nếu un≥0 với mọi n và limun­ = a thì:

limun=a và a≥0.

TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

S=u1+u2+u3+...+un+...

\=u11−qq<1

GIỚI HẠN VÔ CỰC

1. Định nghĩa

- Ta nói dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ khi n → +∞.

- Dãy số (un) có giới hạn là –∞ khi n → +∞, nếu lim (–un) = +∞.

Kí hiệu: lim un = –∞ hay un → –∞ khi n → +∞.

Nhận xét: un = +∞ ⇔ lim(–un) = –∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

1. lim nk = +∞ với k nguyên dương;

2. lim qn = +∞ nếu q > 1.

3. Định lí 2

1. Nếu lim un = a và lim vn = ±∞ thì limunvn=0

2. Nếu lim un = a > 0, lim vn = 0 và vn > 0, ∀ n > 0 thì limunvn=+∞

3. Nếu lim un = +∞ và lim vn = a > 0 thì limun.vn=+∞.

GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

1. Định nghĩa

Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {x0}.

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn K \{x0} và xn → x0, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu: limx→∞fx=L hay f(x) → L khi x → x0.

Nhận xét: limx→∞x=x0,limx→∞c=c với c là hằng số

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

1. Giả sử limx→x0fx=L và limx→x0gx=M. Khi đó:

limx→x0fx+gx=L+M;limx→x0fx−gx=L−M;limx→x0fx.gx=L.M;limx→x0fxgx=LMM≠0;

2. Nếu fx≥0 và limx→x0fx=L thì L≥0 và limx→x0fx=L.

(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn với x≠x0).

3. Giới hạn một bên

Định nghĩa 2

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (x0; b).

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu: limx→x0+fx=L.

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; x0).

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, a < xn < x0 và xn → x0, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu: limx→x0−fx=L.

Định lí 2

limx→x0fx=L⇔limx→x0+f(x)=limx→x0−fx=L

GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

Định nghĩa 3

1. Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu: limx→+∞fx=L

2. Cho hàm số y = f(x) xác định trên (–∞; a).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → –∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và xn → –∞, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu: limx→−∞fx=L

Chú ý:

1. Với c, k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:

limx→+∞c=c;limx→−∞c=c;limx→+∞cxk=0;limx→−∞cxk=0.

2. Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x0 vẫn còn đúng khi xn → +∞ hoặc x → –∞

GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ

1. Giới hạn vô cực

Định nghĩa 4

Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là –∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → –∞

Kí hiệu: limx→∞fx=−∞

Nhận xét:

limx→+∞fx=+∞⇔limx→+∞−fx=−∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt

1. limx→+∞xk=+∞ với k nguyên dương.

2. Nếu k chẵn thì limx→−∞xk=+∞;

Nếu k lẻ thì limx→−∞xk=−∞.

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

1. Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)

2. Quy tắc tìm giới hạn của thương fxgx

(Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với x≠x0)

Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp:

x→x0+,x→x0−;x→+∞;x→−∞.

1. Bài tập vận dụng

Bài 1. Chứng minh rằng phương trình x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng (-2; 5)

Lời giải

Đặt f(x) = x5 – 3x4 + 5x – 2

f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R.

Ta có:

f(0) = –2 < 0

f(1) = 1 > 0

f(2) = -8 < 0

f(3) = 13 > 0

f(0).f(1) < 0; f(1).f(2) < 0; f(2).f(3) < 0

Phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0; 1); 1 nghiệm thuộc khoảng (1; 2); 1 nghiệm thuộc khoảng (2; 3)