Bài tập có đáp án chi tiết về giới hạn của hàm số lớp 11 phần 28 đã được cập nhật. Để làm quen với các dạng bài hay gặp trong đề thi, thử sức với các câu hỏi khó giành điểm 9 – 10 và có chiến lược thời gian làm bài thi phù hợp, các em truy cập link thi Online học kì 2 môn Toán lớp 11 có đáp án
Đứng TOP lớp 11 với Siêu bí kíp học tốt.
- Đề thi học kì 1 môn Toán lớp 11 năm 2019 – 2020 THPT chuyên Hà Nội Amsterdam
- Bài kiểm tra có đáp án chi tiết học kỳ 2 môn Toán lớp 11 trường THPT Trần hữu trang năm học 2016 – 2017
- Bài tập có đáp án chi tiết về các phương trình lượng giác thường gặp lớp 11 phần 14
Previous Trang 1 Trang 2 Next
- Trang 1
- Trang 2
Bài tập có đáp án chi tiết về giới hạn của hàm số lớp 11 phần 28
Previous Trang 1 Trang 2 Next
- Trang 1
- Trang 2
Bài tập giới hạn dãy số là một dạng toán các bạn được học trong chương trình Toán lớp 11. Đây là một dạng bài tập được cho là cơ bản. Ngoài ra, nó còn được xuất hiện trong đề thi THPT QG nên các bạn cần trọng tâm. Vậy những kiến thức cần nhớ về giới hạn dãy số là gì?
Kiến thức cần nhớ về bài tập giới hạn dãy số.
Để làm được bài tập về giới hạn dãy số, các bạn cần nắm vững định nghĩa, các định lí và một số tính chất liên quan. Trong giới hạn dãy số, các bạn sẽ được học về giới hạn hữu hạn và giới hạn vô hạn. Về định nghĩa giới hạn hữu hạn ta có:
“Giới hạn của dãy số un bằng 0 khi n tiến tới dương vô cực với mỗi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: lim un = 0.”
Ngoài ra, giới hạn hữu hạn có hai định lí quan trọng các bạn cần nắm vững cũng với giới hạn vô cực. Để biết rõ hơn, mời các bạn tham khảo tài liệu bên dưới. Tài liệu được tổng hợp đầy đủ và chi tiết lí thuyết với những bài tập áp dụng điển hình.
Có thể bạn quan tâm: 80 bài tập đạo hàm lớp 11 có đáp án
Kinh nghiệm làm bài tập
Với hình thức thi trắc nghiệm hiện nay, ngoài rèn luyện các bài tập tự luận ra, các bạn cần ôn tập bằng đề trắc nghiệm. Vì khi làm nhiều bài tập, các bạn mới có phản xạ nhanh khi làm bài thi.
Để có thêm nhiều bài tập ôn luyện. Mời các bạn tham khảo tài liệu bên dưới.
Tải tài liệu miễn phí ở đây
Sưu tầm: Thu Hoài
Giới hạn hàm số hay thường gọi là giới hạn của hàm số – Là kiến thức quan trọng của toán 11 thuộc bậc THPT. Để học tốt phần này bạn cần hiểu rõ lý thuyết, biết cách vận dụng linh hoạt các dạng vào giải bài tập.
1. Lý thuyết giới hạn hàm số
1.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm
Định nghĩa 1. [Giới hạn hữu hạn]: Giả sử [a; b] là một khoảng chứa điểm x0 và y = f [x] là một hàm số xác định trên một khoảng [a; b], có thể trừ ở một điểm x0. Ta nói hàm số f [x] có giới hạn là số thực L khi x dần đến x0 [hoặc tại điểm x0 ] nếu với mọi dãy số [xn] trong tập hợp [a; b] \ {x0} mà lim xn = x0 ta đều có lim f [xn] = L Khi đó ta viết: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = L$ = L hoặc f [x] → L khi x → x0
Từ định nghĩa, ta có các kết quả:
- $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c$ = c, với c là hằng số.
- Nếu hàm số f [x] xác định tại điểm x0 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = f\left[ {{x_0}} \right]$
Định nghĩa 2. [Giới hạn vô cực]: Giả sử [a; b] là một khoảng chứa điểm x0 và y = f [x] là một hàm số xác định trên một khoảng [a; b], có thể trừ ở một điểm x0. Ta nói hàm số f [x] có giới hạn là vô cực khi x dần đến x0 [hoặc tại điểm x0 ] nếu với mọi dãy số [xn] trong tập hợp [a; b] \ {x0} mà lim xn = x0
ta đều có limf[xn]= ±∞
Khi đó ta viết: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right]$ = ± ∞ hoặc f [x] → ±∞ khi x → x0
1.2 Giới hạn của hàm số tại vô cực
Định nghĩa 3. Giả sử hàm số y = f [x] xác định trên khoảng [a; +∞]. Ta nói hàm số f [x] có giới hạn là số thực L khi x dần đến +∞ nếu với mọi dãy số [xn] trong tập hợp [a; +∞] mà lim xn = +∞
ta đều có lim f [xn] = L
1.3 Một số định lý về giới hạn hữu hạn
Sau đây là 3 định lý quan trọng về giới hạn hữu hạn hàm số
1.4 Giới hạn một bên
Đề tìm giới hạn bên phải hay giới hạn bên trái của hàm số f[x], ta dựa vào lý thuyết quan trọng sau
1.5 Một số quy tắc tìm giới hạn vô cực
Sau đây là 2 Quy tắc quan trọng đề tìm giới hạn vô cực bạn cần nhớ
1.6 Các dạng vô định
2. Phân dạng giới hạn hàm số
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn của hàm số tìm giới hạn
Sử dụng các định nghĩa 1, định nghĩa 2, định nghĩa 3.
Bài tập 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số, tìm các giới hạn sau: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{{x – 1}}$
Lời giải
Dạng 2. Chứng minh rằng $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right]$ không tồn tại
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bài tập 2: Tìm giới hạn hàm số lượng giác sau $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\cos x} \right]$
Lời giải
Đặt f[x] = cos x. Chọn hai dãy số {xn} và {yn} với:
Dạng 3. Các định lí về giới hạn và giới hạn cơ bản để tìm giới hạn
Cách 1: Đưa hàm số cần tìm giới hạn về dạng tổng, hiệu, tích, thương của những hàm số mà ta đã biết giới hạn.
Ta có kết quả sau:
Cách 2: Sử dụng nguyên lý kẹp giữa, cụ thể Giả sử cần tính giới hạn hàm số $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right]$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left[ x \right]$
ta thực hiện các bước sau:
Bài tập 3: Tính các giới hạn hàm số sau: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {{x^2} + x} \right]$
Lời giải
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {{x^2} + x} \right]$ = 32 + 3 = 12
Nhận xét
- Với hàm số f[x] xác định tại điểm x0 thì giới hạn của nó khi x → x0 có giá trị f[x]
- Với hàm số $\frac{{f\left[ x \right]}}{{g\left[ x \right]}}$ có f[x0] ≠ 0 và g[x0] = 0 thì giới hạn của nó khi x → x0 có giá trị bằng ∞.
- Trong trường hợp với hàm số $\frac{{f\left[ x \right]}}{{g\left[ x \right]}}$ có f[x0] = 0 [tức có dạng $\frac{0}{0}$]
- Chúng ta cần sử dụng các phép biến đổi đại số để khử dạng $\frac{0}{0}$, và thông thường là làm xuất hiện nhân tử chung [x − x0]
Dạng 4. Tính giới hạn một bên của hàm số
Sử dụng các định lí với lưu ý sau:
- x → $x_0^ + $; được hiểu là x → x0 và x > x0 [ khi đó |x − x0| = x − x0 ].
- x → $x_0^ – $; được hiểu là x → x0 và x < x0 [ khi đó |x − x0| = x0 − x]
Bài tập 4: Tìm các giới hạn một bên của các giới hạn sau:
a] $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left| {3x – 6} \right|}}{{x – 2}}$
b] $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{\left| {3x – 6} \right|}}{{x – 2}}$
Lời giải
a] $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left| {3x – 6} \right|}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3x – 6}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} 3 = 3$
b] $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{\left| {3x – 6} \right|}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{ – 3x + 6}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left[ { – 3} \right] = – 3$
Nhận xét: Vậy, nếu hàm số f[x] không xác định tại điểm x0 thì giới hạn một bên của nó không khác so với giới hạn tại x0
Dạng 5. Giới hạn của hàm số số kép
Bài tập 5. Cho hàm số
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f\left[ x \right]$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left[ x \right]$
Lời giải
Dạng 6. Một vài qui tắc tính giới hạn vô cực
Dạng 7. Dạng $\frac{0}{0}$
Bản chất của việc khử dạng không xác định $\frac{0}{0}$ là làm xuất hiện nhân tử chung để:
- Hoặc là khử nhân tử chung để đưa về dạng xác định
- Hoặc là biến đổi về dạng giới hạn cơ bản, quen thuộc đã biết kết quả hoặc biết cách giả
Dạng 8. Giới hạn dạng 1∞, 0.∞, ∞0
a] Đối với dạng 0.∞ và ∞0 ta chọn một trong hai cách sau
Cách 1: Sử dụng phương pháp biến đổi để tận dụng các dạng giới hạn cơ bản
Cách 2: Sử dụng nguyên lí kẹp giữa với các bước
b] Đối với dạng 1∞ cần nhớ các giới hạn cơ bản sau $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left[ {1 + x} \right]^{\frac{1}{x}}} = e$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left[ {1 + \frac{1}{x}} \right]^x} = e$
Trên đây là bài viết chia sẻ cách tìm giới hạn hàm số và các dạng bài tập thường gặp. Bài tới ta sẽ học về hàm số liên tục, mới bạn đón xem.
Mọi thắc mắc bạn vui lòng để lại bình luận bên dưới để Toán học giải đáp chi tiết hơn. Chúc bạn học tập hiệu quả