Hệ phương trình online, giờ đây các bạn có thể giải hệ phương trình chính xác, dễ dàng với bảng tính trực tuyến của HocTapHay.Com. Từ đó tự so sánh kết quả tính ra giấy để đánh giá kết quả học tập.
Đồ thị
\[ax + by + c = 0 ⇒ f_1 : y = -\frac{a}{b}x – \frac{c}{b}\]
\[dx + ey + f = 0 ⇒ f_2 : y = -\frac{d}{e}x – \frac{f}{e}\]
Khái Niệm Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn Số
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng: \[\]\[\begin{cases}ax + by = c [1]\\a’x + b’y = c’ [2]\end{cases}\] Trong đó a, b, c, a’, b’, c’ là các số thực cho trước, x và y là ẩn số.
Nếu hai phương trình [1] và [2] có nghiệm chung \[[x_0, y_0]\] thì \[[x_0, y_0]\] được gọi là nghiệm của hệ phương trình. Trái lại, nếu hai phương trình [1] và [2] không có nghiệm chung thì ta nói hệ phương trình vô nghiệm.
Cách Giải Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
Dạng 1: Giải hệ phương trình có bản và đưa về dạng cơ bản
Vận dụng quy tác thế và quy tắc cộng đại số để giải các hệ phương trình sau:
– Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
\[\begin{cases}3x – 2y = 4\\2x + y = 5\end{cases}\]
\[⇔ \begin{cases}3x – 2[5 – 2x] = 4\\y = 5 – 2x\end{cases}\]
\[⇔ \begin{cases}3x – 10 + 4x = 4\\y = 5 – 2x\end{cases}\]
\[⇔ \begin{cases}7x = 14\\y = 5 – 2x\end{cases}\]
\[⇔ \begin{cases}x = 2\\y = 5 – 2.2\end{cases}\]
\[⇔ \begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}\]
Vậy hệ phuong trình đã cho có nghiệm duy nhất [x; y] = [2; 1]
– Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
\[\begin{cases}3x – 2y = 4\\2x + y = 5\end{cases}\]
\[⇔ \begin{cases}3x – 2y = 4\\4x + 2y = 10\end{cases}\]
\[⇔ \begin{cases}7x = 14\\2x + y = 5\end{cases}\]
\[⇔ \begin{cases}x = 2\\2.2 + y = 5\end{cases}\]
\[⇔ \begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}\]
Vậy hệ phuong trình đã cho có nghiệm duy nhất [x; y] = [2; 1]
Dạng 2: Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ
1] \[\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}\\\frac{8}{x} + \frac{15}{y} = 1\end{cases}\]
2] \[\begin{cases}\frac{2}{x + 2y} + \frac{1}{y + 2x} = 3\\\frac{4}{x + 2y} – \frac{3}{y + 2x} = 1\end{cases}\]
3] \[\begin{cases}\frac{3x}{x + 1} – \frac{2}{y + 4}\\\frac{2x}{x + 1} – \frac{5}{y + 4} = 9\end{cases}\]
4] \[\begin{cases}x^2 + y^2 = 13\\3x^2 – 2y^2 = -6\end{cases}\]
5] \[\begin{cases}3\sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 16\\2\sqrt{x} – 3\sqrt{y} = -11\end{cases}\]
6] \[\begin{cases}|x| + 4|y| = 18\\3|x| + |y| = 10\end{cases}\]
Dạng 3: Giải và biện luận hệ phương trình
Phương pháp giải:
– Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình bậc nhất đối với x.
– Giải sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b [1]
– Biện luận phương trình [1] ta sẽ có sự biện luận của hệ
i] Nếu a = 0; [1] trở thành 0x = b
+ Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm
+ Nếu b ≠ 0 thì hệ vô nghiệm
ii] Nếu a ≠ 0 thì [1] \[⇒ x = \frac{b}{a}\], thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình: \[\begin{cases}mx – y = 2m [1]\\4x – my = m + 6 [2]\end{cases}\]
Từ [1] ⇒ y = mx – 2m, thay vào [2] ta được
\[4x – m[mx – 2m] = m + 6 ⇔ [m^2 – 4]x = [2m + 3][m – 2] [3]\]
i] Nếu \[m^2 – 4 ≠ 0\] hay \[m ≠ ±2\] thì \[x = \frac{[2m + 3][m – 2]}{m^2 – 4} = \frac{2m + 3}{m + 2}\]
Khi đó \[y = -\frac{m}{m + 2}\]. Hệ có nghiệm duy nhất: \[[\frac{2m + 3}{m + 2}; -\frac{m}{m + 2}]\]
ii] Nếu m = 2 thì [3] thỏa mãn với mọi x, khi đó \[y = mx – 2m = 2x – 4\]
Hệ có vô số nghiệm [x, 2x – 4] với mọi x ∈ R
iii] Nếu m = -2 thì [3] trở thành 0x = 4. Hệ vô nghiệm
Vậy:
– Nếu m ≠ ±2 thì hệ có nghiệm duy nhất: \[[x, y] = [\frac{2m + 3}{m + 2}; \frac{m}{m + 2}]\]
– Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm [x, 2x – 4] với mọi x ∈ R
– Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm
Dạng 4: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp giải:
– Giải hệ phương trình theo tham số
– Viết x, y của hệ về dạng: \[n + \frac{k}{f[m]}\] với n, k nguyên
– Tìm m nguyên để f[m] là ước của k
Ví dụ: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: \[\begin{cases}mx + 2y = m + 1\\2x + my = 2m – 1\end{cases}\]
Hướng dẫn giải
\[\begin{cases}mx + 2y = m + 1\\2x + my = 2m – 1\end{cases}\]
\[⇔ \begin{cases}2mx + 4y = 2m + 2\\2mx + m^2y = 2m^2 – m\end{cases}\]
\[⇔ \begin{cases}[m^2 – 4]y = 2m^2 – 3m – 2 = [m – 2][2m + 1]\\2x + my = 2m – 1\end{cases}\]
để hệ có nghiệm duy nhất thì \[m^2 – 4\] ≠ 0 hay \[m ≠ ±2\]
Vậy với m ≠ ±2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất
\[\begin{cases}y = \frac{[m – 2][2m + 1]}{m^2 – 4} = \frac{2m + 1}{m + 2} = 2 – \frac{3}{m + 2}\\x = \frac{m – 1}{m + 2} = 1 – \frac{3}{m + 2}\end{cases}\]
Để x, y là những số nguyên thì \[m + 2 ∈ Ư[3] = {1; -1; 3; -3}\]
Vậy: \[m + 2 = ±1, ±3 ⇒ m = -1; -3; 1; -5\]
Phép Tính Liên Quan
Hệ Phương Trình Online Phương Trình Bậc Hai Online Phương Trình Bậc Nhất Online
Làm thế nào để giải phương trình online nhanh nhất? Khám phá ngay công cụ hỗ trợ giải các bài toán phương trình bậc 2, 3, 4 hay phương trình lượng giác online chỉ với vài bước vô cùng đơn giản.
Ngay bên dưới đây là công cụ hỗ trợ bạn có thể giải phương trình bậc 2, bậc 3, bậc 4 online với độ chính xác 100% chỉ với vài bước vô cùng đơn giản.
back to menu ↑- Bước 1: Nhập bài toán phương trình bậc 2 cần giải online, sau đó bấm vào biểu tượng “máy bay” bên cạnh
- Bước 2: Công cụ sẽ hỏi bạn muốn giải bài toán theo cách nào, ở đây bạn có thể chọn “Giải bằng cách sử dụng công thức bậc hai” hoặc “Giải x” hoặc “Tìm các nghiệm” thì cũng đều ra kết quả tương tự nhưng với những cách giải khác nhau.
- Bước 3: Ngay lập tức, kết quả bài toán sẽ hiện ra kèm theo hướng dẫn giải tóm tắt. Để xem chi tiết, bạn chọn “Bấm để xem các bước”
Đối với phương trình bậc 3 và bậc 4 thì các bạn cũng thực hiện tương tự như cách giải phương trình bậc 2 online ở trên nhé.
back to menu ↑Công cụ giải phương trình lượng giác trực tuyến:
- Bước 1: Nhập bài toán phương trình lượng giác cần giải online, sau đó bấm biểu tượng “máy bay” ngay bên cạnh.
- Bước 2: Công cụ sẽ gợi ý cho bạn nhiều cách giải khác nhau, ở đây mình chọn “Giải để tìm x ở dạng Radian”
- Bước 3: Nhận kết quả kèm cách giải tóm tắt chỉ trong vòng chưa đến 1 giây. Thật dễ dàng phải không nào.
Như vậy ở bài viết này, Mua Đúng đã hướng dẫn các bạn sử dụng máy tính giải phương trình bậc 2 online cũng như phương trình bậc 3, bậc 4 và phương trình lượng giác cực dễ dàng. Nếu thấy hữu ích hãy chia sẻ đến bạn bè nhé!