Cho các mệnh đề chứa biến \(P(n)\) : \(n\) chia hết cho ; \(Q(n)\) : \({n^}\) chia hết cho và \(R(n)\) : \({n^} + \) và\({n^} - \)đều không chia hết cho - bài 1.20 trang 10 sbt đại số 10 nâng cao

LG a

\(\forall n \in N,P\left( n \right) \Leftrightarrow Q\left( n \right)\)

Lời giải chi tiết:

Phát biểu như sau : Điều kiện cần và đủ để số tự nhiên \(n\) chia hết cho 5 là \({n^2}\) chia hết cho 5

Chứng minh :

Nếu \(n = 5k\left( {k \in N} \right)\)thì \({n^2} = 25{k^2}\) chia hết cho 5.

Ngược lại, giả sử \(n = 5k + r\) với \(r = 0, 1, 2, 3, 4\). Khi đó \({n^2} = 25{k^2} + 10kr + {r^2}\) chia hết cho 5 nên \({r^2}\) phải chia hết cho 5.

Thử vào với \(r = 0, 1, 2, 3, 4\), ta thấy chỉ có với \(r = 0\) thì \({r^2}\) mới chia hết cho 5.

Do đó \(n = 5k\) tức là n chia hết cho 5.

LG b

\(\forall n \in N,P\left( n \right) \Leftrightarrow Q\left( n \right)\)

Lời giải chi tiết:

Phát biểu như sau : Điều kiện cần và đủ để số tự nhiên n chia hết cho 5 là cả \({n^2} - 1\) và \({n^2} + 1\) đều không chia hết cho 5.

Chứng minh.

Nếu n chia hết cho 5 thì \({n^2} - 1\) chia cho 5 dư 4 và \({n^2} + 1\) chia 5 dư 1.

Đảo lại, giả sử \({n^2} - 1\) và \({n^2} + 1\) đều không chia hết cho 5.

Gọi \(r\) là số dư khi chia \(n\) cho 5 (\(r = 0, 1, 2, 3, 4\)).

Ta có \(n = 5k + r\left( {k \in N} \right)\).

Vì \({n^2} = 25{k^2} + 10kr + {r^2}\) nên suy ra cả \({r^2} - 1\) và \({r^2} + 1\) đều không chia hết cho 5.

Với \(r = 1\) thì \({r^2} - 1 = 0\) chia hết cho 5.

Với \(r = 2\) thì \({r^2} + 1 = 5\) chia hết cho 5.

Với \(r = 3\) thì \({r^2} + 1 = 10\) chia hết cho 5.

Với \(r = 4\) thì \({r^2} - 1 = 15\) chia hết cho 5.

Vậy chỉ có thể \(r = 0\) tức là \(n = 5k\) hay \(n\) chia hết cho 5.