Đặt \[t = \sqrt x \], ta được \[t = \sqrt x \] đồng biến và \[t \in \left[ {0;\frac{4}{3}} \right],\forall x \in \left[ {0;\frac{{16}}{9}} \right]\]
adsense
Khi đó yêu cầu của bài toán trở thành \[h\left[ t \right] = \left| {m\sqrt {4 + t} – \sqrt {4 – t} } \right| = \left| {g\left[ t \right]} \right|\]đồng biến trên khoảng \[\left[ {0;\frac{4}{3}} \right]\].
Ta có:\[g’\left[ t \right] = \frac{m}{{2\sqrt {4 + t} }} + \frac{1}{{2\sqrt {4 – t} }}\] và \[h’\left[ t \right] = \frac{{g\left[ t \right]g’\left[ t \right]}}{{\left| {g\left[ t \right]} \right|}},g\left[ t \right] \ne 0\]
Do đó hàm số \[h\left[ t \right] = \left| {m\sqrt {4 + t} – \sqrt {4 – t} } \right| = \left| {g\left[ t \right]} \right|\]đồng biến trên khoảng \[\left[ {0;\frac{4}{3}} \right]\]\[ \Leftrightarrow \frac{{g\left[ t \right]g’\left[ t \right]}}{{\left| {g\left[ t \right]} \right|}} \ge 0,\forall t \in \left[ {0;\frac{4}{3}} \right]\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}g\left[ t \right] > 0\\g’\left[ t \right] \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}g’\left[ t \right] \le 0\\g\left[ t \right] < 0\end{array} \right.\end{array} \right.,\forall t \in \left[ {0;\frac{4}{3}} \right]\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}g\left[ 0 \right] \ge 0\\\frac{{\sqrt {4 + t} }}{{\sqrt {4 – t} }} \ge – m\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {4 + t} }}{{\sqrt {4 – t} }} \le – m\\g\left[ 0 \right] \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.,\forall t \in \left[ {0;\frac{4}{3}} \right]\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2m – 2 \ge 0\\ – m \le 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 2 \le – m\\2m – 2 \le 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le – \sqrt 2 \end{array} \right.\].
Vậy có \[19\] giá trị nguyên của tham số \[m\] thuộc \[\left[ { – 10;10} \right]\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn $\!\![\!\!-10;10]$ của tham số $m$ để hàm số $y=-\dfrac{3}{2}{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-[3m+10]x+{{m}^{2}}+1$ nghịch biến trên khoảng $[0;+\infty ]$ ?
A. $14$.
B. $13$.
C. $12$.
D. $11$.
Lời giải
Ta có $y=-\dfrac{3}{2}{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-[3m+10]x+{{m}^{2}}+1\Rightarrow {y}'=-6{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-3m-10$.
Theo yêu cầu bài toán ta phải có: ${y}'\le 0; \forall x\in \left[ 0;+\infty \right]$, dấu bằng chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm.
${y}'\le 0, \forall x\in \left[ 0;+\infty \right]\Leftrightarrow - 6{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-3m-10\le 0, \forall x\in \left[ 0;+\infty \right]$
$\Leftrightarrow 3m\ge - 6{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-10, \forall x\in \left[ 0;+\infty \right] \left[ * \right]$
Xét hàm số $g\left[ x \right]=-6{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-10$ xác định và liên tục trên $\left[ 0;+\infty \right]$.
Ta có: ${g}'\left[ x \right]=-18{{x}^{2}}+12x$ ; ${g}'\left[ x \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên:
$\Rightarrow \underset{[0;+\infty ]}{\mathop{\text{Max}}} g[x]=g\left[ \dfrac{2}{3} \right]=-\dfrac{82}{9}$.
Từ [*] $\Rightarrow 3m\ge \underset{\left[ 0;+\infty \right]}{\mathop{\text{max}}} g\left[ x \right]$ hay $3m\ge -\dfrac{82}{9}\Leftrightarrow m\ge -\dfrac{82}{27}$.
Vậy các giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $\!\![\!\!-10;10]$ là $m\in \!\!\{\!\!-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\!\!\}\!\!$ $\Rightarrow $ Có 14 giá trị $m$ thỏa mãn bài toán.
Đáp án A.
Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn \[\left[ { - 10;10} \right]\] của tham số \[m\] để hàm số \[y = - \dfrac{3}{2}{x^4} + 2{x^3} - \left[ {3m + 10} \right]x + {m^2} + 1\] nghịch biến trên khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right]\]?
Chọn A.
TXĐ: D=R
Ta có: y'=3x2-6x+3m
Để hàm số đã cho nghịch biến trên 1;2
thì y'≤0, ∀x∈1;2và bằng 0 tại hữu hạn điểm
Hàm số y=x-12 đồng biến trên 1;+∞ nên cũng đồng biến trên 1;2
Lại có m∈-10;10 và m∈Z nên m∈-10;-9;..;0
Vậy có 11 giá trị của m