Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số 3 yfxxm 4 nghịch biến trên khoảng 1;1

Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left[x \right]$ có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=f\left[{{x}^{2}}+4x+m \right]$ nghịch biến trên $\left[-1; 1 \right]$ là
A. $3$.
B. $0$.
C. $1$.
D. $2$.

Lời giải

Hàm số $y=f\left[ {{x}^{2}}+4x+m \right]$ nghịch biến trên $\left[ -1 ; 1 \right]$
$\Leftrightarrow {y}'=\left[ 2x+4 \right].{f}'\left[ {{x}^{2}}+4x+m \right]\le 0, \forall x\in \left[ -1 ; 1 \right]$
$\Leftrightarrow {f}'\left[ {{x}^{2}}+4x+m \right]\le 0, \forall x\in \left[ -1 ; 1 \right]$ [*]
Đặt $t={{x}^{2}}+4x+m$
BBT

[*] $\Leftrightarrow {f}'\left[ t \right]\le 0, \forall t\in \left[ m-3 ; m+5 \right]$
$\Leftrightarrow -2\le m-3