Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho mỗi giá trị của x ta luôn xác định một giá trị tương đương y thì y gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số của y.
Định nghĩa hàm số
Cho X, Y là hai tập hợp số, ví dụ là tập hợp số thực, hàm số f xác định trên X, nhận giá trị trong Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi số x thuộc X với một số y duy nhất thuộc Y.
Tính chất hàm số
Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị thì y gọi là hàm hằng.
Hàm số có thể biểu diễn bẳng bảng, bằng công thức toán học.
Khi y là hàm số của x thì ta có 3 cách viết sau:
Trong đó:
- Tập X gọi là miền xác định.
- Tập Y gọi là miền giá trị.
- x gọi là đối số.
- y là một hàm số.
- f[x] được gọi là giá trị của hàm f tại x.
Các dạng hàm số
Hàm số đơn ánh
Một hàm số là đơn ánh khi nó áp dụng lên 2 đối số khác nhau luôn cho 2 giá trị khác nhau. Có nghĩa là với 2 biến x1 và x2 [x1 # x2] thì f[x1] # f[x2].
Hàm số toàn ánh
Hàm số f được gọi là toàn ánh nếu như với mọi số y thuộc Y ta luôn tìm được ít nhất một số x thuộc X sao cho f[x] = y hay y = f[x]
Hàm số song ánh
Trong toán học, song ánh, hoặc hàm song ánh, là một hàm số f từ tập X vào tập Y thỏa mãn tính chất, đối với mỗi y thuộc Y, có duy nhất một x thuộc X sao cho f[x] = y.
Ví dụ về hàm số
Cho hàm số y = f[x] = 2x2 -3x + 5. Tính f[3]
Ta thế giá trị x = 3 vào hàm f[x] được: y = 2.32 – 3.3 + 4 = 18 – 9 + 4 = 13.
Khái niệm hàm số các em đã được học ở lớp dưới, bây giờ chúng ta nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số và tìm hiểu hàm số bậc nhất là gì nhé!
1. Khái niệm hàm số
Ta có thể hiểu hàm số như một cái máy có 1 đầu vào [in] và 1 đầu ra [out]. Ta cho mỗi giá trị của x vào máy thì nó sẽ cho ra chỉ một giá trị y tương ứng. Khi đó, y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số.
Kí hiệu.
y = f[x] [kí hiệu f hay được dùng chỉ tên của hàm là từ Function trong tiếng Anh: nghĩa là hàm số].
Ngoài ra ta có thể đặt y = g[x]; y = h[x]…
Ví dụ 1.
Ta có y = 3x + 1 là một hàm số cho dưới dạng công thức. Đây là một hàm số bậc nhất.
Nếu x = 0 thì ta có y = 3.0 + 1 = 1.
Nếu x = 1 thì ta có y = 3.1 + 1 = 4.
Ví dụ 2.
Hàm số sau có dạng bảng:
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| y | -3 | -1 | 1 | 3 | 5 |
2. Giá trị của hàm số và điều kiện xác định của hàm số
Giá trị của hàm số:
Giá trị của hàm số f[x] tại điểm x* kí hiệu là y* = f[x*]. Như vậy muốn tìm giá trị của hàm số tại một điểm thì ta thay giá trị của điểm đó vào hàm số để tính.
Điều kiện xác định:
Điều kiện xác định của hàm số y = f[x] là tất cả các giá trị của x sao cho hàm số có nghĩa.
3. Đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số y = f[x] là tất cả các điểm M[x, y] trong mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho x, y thỏa mãn hệ thức y = f[x].
M [x_1, y_1] là điểm thuộc đồ thị hàm số y =f[x] khi và chỉ khi y_1 = f [x_1]. [nghĩa là thay x_1, y_1 vào hệ thức y =f[x] thỏa mãn].
4. Hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến.
Cho hàm số y =f[x] xác định với mọi giá trị x thuộc R. [tập số thực]
Nếu x tăng mà y = f[x] tăng lên thì hàm số y = f[x] được gọi là đồng biến trên R.
Nếu x tăng mà y = f[x] giảm xuống thì hàm số y = f[x] được gọi là nghịch biến trên R.
Cách nhận biết:‘
Với x1, x2 bất kì thuộc R.
+ Nếu x1 > x2 mà f[x1] > f[x2] thì hàm số y = f[x] đồng biến.
+ Nếu x1 > x2 mà f[x1] < f[x2] thì hàm số y = f[x] nghịch biến.
5. Bài tập và các dạng toán về hàm số
Dạng 1: Tính giá trị của hàm số tại một điểm
Hướng dẫn giải:
Giá trị của hàm số f[x] tại điểm x* là y* = f[x*]. Như vậy muốn tìm giá trị của hàm số tại một điểm thì ta thay giá trị của điểm đó vào hàm số để tính.
Bài 1.
Cho hàm số y = f[x] = 2/3.x
Tính f[-2]; f[-1]; f[0]; f[1/2]; f[1]; f[2]; f[3].
Giải:
Để tính f[-2] ta thay x = -2 vào biểu thức 2/3x.
Ta có: f[-2] = 2/3. [-2] = -4/3.
Tương tự, f[-1] = 2/3 . [-1] = -2/3.
f[0] = 2/3 . 0 = 0.
f[1/2] = 2/3 . 1/2 =1/3.
f[1] = 2/3 . 1= 2/3.
f[2] = 2/3 . 2 = 4/3.
f[3] = 2/3 . 3 = 2.
Bài 2.
Tính giá trị của hàm số
y = f[x] = x² + x − 2 tại x = 1/2.
Giải:
Ta thay x = 1/2 vào biểu thức f[x] = x² + x – 2 rồi tính. [y = f[x] = x² + x – 2 là hàm số bậc hai]
Ta có: f[x] = [1/2]² + 1/2 – 2 = -5/4.
Dạng 2. Tìm điều kiện xác định của hàm số
Cách giải: Chú ý rằng
+ Các hàm số có dạng căn thức bậc hai thì xác định [có nghĩa] khi biểu thức dưới căn lớn hơn hoặc bằng 0.
+ Các hàm số có dạng phân thức thì mẫu thức phải khác 0.
Bài 3.
Tìm điều kiện của x để hàm số sau xác định:
Hàm số trên có dạng phân thức nên mẫu thức phải khác 0 thì hàm số có nghĩa.
x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ -1.
Như vậy điều kiện xác định của hàm số x là x ≠ -1.
Hàm số trên vừa có dạng phân thức vừa có căn thức bậc hai. Ta giải từng điều kiện.
x ≥ 0
1 – x > 0 [ vì 1 – x ở dưới dấu căn và ở mẫu thức nên phải khác 0] nên x < 1
Kết hợp lại ta có điều kiện xác định của hàm số trên sẽ là: 0 ≤ x < 1.
Dạng 3. Biểu diễn tọa độ của một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy
Cách giải:
Để biểu diễn tọa độ của điểm M[a, b] trên hệ trục tọa độ Oxy, ta làm như sau:
Bước 1: Vẽ trục tọa độ Oxy. Vẽ đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x = a.
Bước 2: Vẽ đường thẳng vuông góc với trục Oy tại điểm có tung độ y = b.
Bước 3: Xác định giao điểm của hai đường thẳng trên, giao điểm đó chính là điểm M [a,b].
Ví dụ: Ta xác định điểm M [5,2] trên trục tọa độ Oxy [hình trên]
Dạng 4. Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số
Cách giải:
Ta giả sử x1 < x2. Ta xét hiệu f[x1] − f[x2].
Nếu f[x1] − f[x2] < 0 thì hàm số đồng biến.
Nếu f[x1] − f[x2] > 0 thì hàm số nghịch biến.
Bài 4 [Bài 2 – SGK Toán 9 tập 1 – trang 45]
Cho hàm số
a] Tính các giá trị tương ứng của y theo các giá trị của x rồi điền vào bảng sau:
b] Hàm số đã cho là hàm đồng biến hay nghịch biến? Vì sao?
Hàm số đã cho là hàm nghịch biến vì khi x tăng lên thì y giảm đi dựa vào bảng giá trị trên.
Bài 5: Chứng minh hàm số y = 3x − 2 đồng biến trên R.
Giải:
Giả sử a < b [ a, b ∈ R], tức là a − b < 0.
Ta xét hiệu f[a] − f[b] = [3a − 2] − [3b − 2] = 3a − 2 − 3b + 2 = 3[a − b] < 0.
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên R.
Bài 6: Hàm số y = − 2x + 3 là đồng biến hay nghịch biến trên R.
Giải:
Giả sử a < b [a, b ∈ R], tức là a − b < 0.
Ta xét hiệu f[a] − f[b] = [− 2a + 3] − [− 2b + 3] = − 2a + 3 + 2b − 3 = −2[a − b]
mà a − b < 0 nên −2[a − b] > 0. Vậy f[a] − f[b] > 0 nên ta suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên R.
Xem thêm:
Các bài viết Toán 9 tại đây
Chuyên đề hàm số và đồ thị
Bài tiếp theo: Hàm số bậc nhất
Hãy like và chia sẻ nếu cảm thấy bài viết hữu ích, cảm ơn bạn đã ghé thăm Blog lớp học tích cực!
Chúc bạn học tốt!
Ths. GV Toán học
Nguyễn Thùy Dung