Cách 1. Tìm hai điểm cực trị $M_1$ và $M_2$ và viết phương trình $\Delta$.
Cách 2. Chia $y$ cho $y'$. Học sinh sẽ hiểu rõ hơn cách làm này qua ví dụ sau đây.
Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3x + 2$.
Giải. Ta có $y' = 3{x^2} - 3.$
Cách 1. Hoành độ hai điểm cực trị là nghiệm của phương trình $$y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_1} = 1 \Rightarrow {y_1} = 0\\
{x_2} = - 1 \Rightarrow {y_2} = 4
\end{array} \right.$$ Vậy hai điểm cực trị là ${M_1}\left[ {1;0} \right]$ và ${M_2}\left[ { - 1;4} \right].$ Phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm cực trị là $$\begin{array}{c}
\frac{{x - {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{y_2} - {y_1}}} \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{ - 1 - 1}} = \frac{{y - 0}}{{4 - 0}}\\
\Leftrightarrow 2x + y - 2 = 0.
\end{array}$$ Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $\Delta :\;\;2x + y - 2 = 0.$
Cách 2. Chia $y$ cho $y'$ ta được $$y = \left[ {\frac{1}{3}x} \right] \cdot y' + \left[ { - 2x + 2} \right].$$ Vì ${M_1}\left[ {{x_1};{y_1}} \right] \in \left[ C \right]$ nên $$\begin{array}{l}
{y_1} = \left[ {\frac{1}{3}{x_1}} \right] \cdot \underbrace {y'\left[ {{x_1}} \right]}_{ = 0} + \left[ { - 2{x_1} + 2} \right]\,.\\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {y_1} = - 2{x_1} + 2.\\
\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow {M_1} \in \Delta :y = - 2x + 2.
\end{array}$$ Tương tự ta cũng có ${M_2} \in \Delta :y = - 2x + 2$.
Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $\Delta :\;\;2x + y - 2 = 0.$
Bình luận. Theo cách 2, ta thấy phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị được lập bởi phần dư trong phép chia $y$ cho $y'$.
Ví dụ 2. Định $m$ để hàm số $y = 2{x^3} + 3m{x^2} - 12{m^2}x + m + 2$ có hai cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Giải. Ta có $y' = 6{x^2} + 6mx - 12{m^2}$. Hàm số có hai cực trị khi $${{\Delta '}_{y'}} > 0 \Leftrightarrow {\left[ {3m} \right]^2} - 6\left[ { - 12{m^2}} \right] > 0 \Leftrightarrow 81{m^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 0.$$ Bây giờ ta viết phương trình đường thảng $\Delta$ đi qua hai điểm cực trị theo $2$ cách.
Cách 1. Ta có $$y' = 0 \Leftrightarrow 6\left[ {x - m} \right]\left[ {x + 2m} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = m\;\;\;\;\;\; \Rightarrow y = - 7{m^3} + m + 2 \hfill \\
x = - 2m\;\; \Rightarrow y = 20{m^3} + m + 2\; \hfill \\
\end{gathered} \right.$$
Vậy hai điểm cực trị là ${M_1}\left[ {m; - 7{m^3} + m + 2} \right],{M_2}\left[ { - 2m;20{m^3} + m + 2} \right]$. Từ đây ta có phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm cực trị là $$\Delta :y = {m^2}x + 2{m^3} + m + 2,\;\;m \ne 0.$$
Cách 2. Chi $y$ cho $y'$ ta được $$y = \left[ {{x \over 3} + {m \over 6}} \right]y' + {m^2}x + 2{m^3} + m + 2.$$ Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm cực trị là $$\Delta :y = {m^2}x + 2{m^3} + m + 2,\;\;m \ne 0.$$
[nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán]