Nguyên hàm In x là dạng bài tập khiến nhiều học sinh bị mất điểm. Vì vậy để ăn trọn điểm bài tập phần này các em cần nắm chắc toàn bộ công thức cũng như luyện tập thật nhiều dạng bài tập. Hãy tham khảo ngay bài viết dưới đây để không bị mất điểm phần này nhé!
Mục lục bài viết
{{ section?.element?.title }}
{{ item?.title }}
Mục lục bài viết x
{{section?.element?.title}}
{{item?.title}}
1. Khái niệm nguyên hàm lnx
Ta có hàm số $f[x]$ xác định trên K. Hàm số $f[x]$ chính là nguyên hàm của hàm số $f[x]$ trên K nếu $f'[x]=f[x]$ với $x\in K$. Nguyên hàm của $lnx$ sẽ được tính như sau:
Đặt $\left\{\begin{matrix}u=lnx\\dv=dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
du=\frac{1}{x}dx\\v=x \end{matrix}\right.$
Ta có $\int lnxdx=xlnx-\int dx'=xlnx-x+C$
2. Bảng công thức nguyên hàm của ln[x]
Ta có bảng công thức nguyên hàm In x và một số nguyên hàm cơ bản thường gặp.
3. Cách tính nguyên hàm lnx
3.1. Nguyên hàm ln[x+1]
Ví dụ 1: Với $\int_{1}^{2}ln[x+1]dx=aln3+bln2+c$, trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính S=a+b=c.
Giải:
Đặt $\left\{\begin{matrix}u=ln[x+1]\\dv=dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
du=\frac{1}{x+1}dx\\v=x+1 \end{matrix}\right.$
Lúc này ta có:
$\int_{1}^{2}ln[x+1]dx= [x+1]ln[x+1]\left|\begin{matrix}
2\\1 \end{matrix}\right.-\int_{1}^{2}dx=3ln3-2ln2-1$
Như vậy: a=3; b=-2; c=-1
$\Rightarrow$ S=a+b+c=0
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: $B=x^2Inxdx$
Giải:
B=$\int x^{2}lnxdx=\int lnxd[\frac{x^{3}}{3}]$
=$\frac{x^{3}}{3}lnx-\int \frac{x^{3}}{3}.d[lnx]$
=$\frac{x^{3}}{3}lnx-\int \frac{x^{3}}{3}.\frac{dx}{3}=\frac{x^{3}}{3}lnx-\frac{x^{3}}{9}+C$
Nắm trọn kiến thức về nguyên hàm ngay!!!
3.2. Nguyên hàm 1+ln/x
Ví dụ 1:
Tìm nguyên hàm J=$\int \frac{[lnx+1]lnx}{[lnx+1+x]}dx$
Giải:
Ta có: J=$\int \frac{lnx+1}{x[\frac{lnx+1}{x}+1]}^{3}.\frac{lnx}{x^{2}}dx$
Đặt t=$\frac{lnx+1}{x}\Rightarrow dt=\frac{lnx}{x^{2}}dx \Rightarrow J=\int \frac{tdt}{[t+1]^{3}}=\int [\frac{1}{[t+1]^{3}}-\frac{1}{[t+1]^{2}}]dt$
=$-\frac{1}{2[t+1]^{2}}+\frac{1}{t+1}+C$
=$-\frac{x^{2}}{2[lnx+1+x^{2}]}+\frac{x}{lnx+x+1}+C$
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của:
a] ∫x.2x dx
b] ∫[x2-1] ex dx
Giải:
a] Đặt $\left\{\begin{matrix}u=x\\dv=2^{x}dx\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
du=dx\\v=\frac{2^{x}}{ln2}. \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$
Ta có: $\int x2^{x}dx=\frac{x.2^{x}}{ln2}-\int \frac{2^{x}}{ln2}dx=\frac{x.2^{x}}{ln2}-\frac{2^{x}}{ln^{2}2}+C$
b] Đặt $\left\{\begin{matrix}u=x^{2}-1\\dv=e^{x}dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=2xdx\\v=e^{x}dx \end{matrix}\right.$
Suy ra ta có $\int f[x]dx=[x2-1]ex-\int 2x.ex$ dx
Đặt $\left\{\begin{matrix}u=2x\\dv=e^{x}dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=2dx\\v=e^{x}dx \end{matrix}\right.$
Ví dụ 3: Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số $f[x]=[3x^{2}+1].lnx$
A. $\int f[x]dx=x[x^{2}+1]lnx-\frac{x^{3}}{3}+C$
B. $\int f[x]dx=x^{3}lnx-\frac{x^{3}}{3}+C$
C. $\int f[x]dx=x[x^{2}+1lnx-\frac{x^{3}}{3}-x+C$
D. $\int f[x]dx=x^{3}lnx-\frac{x^{3}}{3}-x+C$
Giải:
Đặt $\left\{\begin{matrix}u=lnx\\dv=[3x^{2}+1]dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=\frac{1}{x}dx\\v=\int [3x^{2}+1]dx=x^{3}+x \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow I=[x^{3}+x]lnx-\int [x^{3}+x]\frac{1}{x}dx=x[x^{2}+1]lnx-\int [x^{2}+1]dx=x[x^{2}+1lnx-\frac{x^{3}}{3}-x+C.$
=> Đáp án C.
3.3. Nguyên hàm của ln[ax+b]
Ví dụ 1:
Bất phương trình $In[2x^2+3]>In[x^2+ax+1]$ nghiệm đúng với mọi số thực khi?
Giải:
Ví dụ 2: Tính nguyên hàm:
a] $\int 2xln[x-1]dx$
b] $\int \frac{ln[x+1]}{x^{2}}$
Giải:
a] Đặt $\left\{\begin{matrix}u=ln[x-1]\\dv=2xdx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=\frac{1}{x-1}dx\\v=x^{2}-1 \end{matrix}\right.$
Ta có $\int 2xln[x-1]dx$
=$[x^{2}-1]ln[x-1]-\int [x+1]dx$
=$[x^{2}-1]ln[x-1]-\int [x+1]dx$
=$[x^{2}-1]ln[x-1]-\frac{x^{2}}{2}-x+C$
Đặt $\left\{\begin{matrix}u=ln[1+x]\\dv=\frac{1}{x^{2}}dt\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
du=\frac{1}{[1+x]}dx\\v=-\frac{1}{x}-1=-\frac{1+x}{x} \end{matrix}\right.$
=> $F[x]=-\frac{1+x}{x}.ln[1+x]+\int \frac{1}{x}dx$
= $-\frac{1+x}{x}ln[1+x]+ln|x|+C$
3.4. Nguyên hàm của ln[x^2+1]dx
Ví dụ 1:
Tìm nguyên hàm I=$xIn[x^2+1]x2+1dx$
Giải:
Ví dụ 2:
Cho $\int_{1}^{2}\frac{ln[1+x]}{x^{2}}dx=aln2+bln3$, với a và b là các số hữu tỉ. Tính P=ab
A. P=$\frac{3}{2}$
B. P=0
C. P=$\frac{-9}{2}$
D. P=-3
Giải:
Ta có I=$\int_{1}^{2}\frac{ln[1+x]}{x^{2}}dx=aln2+bln3$
Đặt $\left\{\begin{matrix}u=ln[1+x]\\dv=\frac{1}{x^{2}}dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=\frac{1}{1+x}dx\\v=-\frac{1}{x} \end{matrix}\right.$
Khi đó I=$-\frac{1}{x}ln[1+x]\left|\begin{matrix}
2\\1 \end{matrix}\right.+\int_{1}^{2}\frac{1}{x[1+x]}dx=-\frac{1}{2}ln3+ln2+\int_{1}^{2}[\frac{1}{x}-\frac{1}{1+x}]dx$
=$-\frac{1}{2}ln3+ln2+[ln\frac{x}{x+1}]\left|\begin{matrix}2\\1 \end{matrix}\right.=-\frac{1}{2}ln3+ln2+2ln2-ln3=3ln2-\frac{3}{2}ln3$
Suy ra a=3, b=$-\frac{3}{2}$. Vậy P=$ab=\frac{-9}{2}$
Chọn đáp án C.
3.5. Nguyên hàm của hàm số f[x]=ln/x
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f[x]=1x+In[x]x
Giải:
Ta có:
y’= $-\frac{1}{x^{2}}+\frac{ln[x]'x-ln[x]'x}{x^{2}}$
=$-\frac{1}{x^{2}}+\frac{1+ln[x]}{x^{2}}=-\frac{ln[x]}{x^{2}}$
Ví dụ 2:
Giả sử tích phân I=$\int_{1}^{5}\frac{1}{1+\sqrt{3x+1}}dx$=a+bln3+cln5.
Lúc đó:
A. $a+b+c=\frac{5}{3}$
B. $a+b+c=\frac{4}{3}$
C. $a+b+c=\frac{7}{3}$
D. $a+b+c=\frac{8}{3}$
Giải:
Đặt t = $\sqrt{3x+1}\Rightarrow dx=\frac{2}{3}tdt$
Đổi cận
x15t24Ta có I=$\int_{1}^{5}\frac{1}{1+\sqrt{3x+1}}dx=\int_{1}^{4}\frac{1}{1+t}.\frac{2}{3}tdt=\frac{2}{3}\int_{2}^{4}\frac{t}{t+1}dt=\frac{2}{3}\int_{2}^{4}[1-\frac{1}{t+1}]dt=\frac{2}{3}[t-ln|1+t|]\left|\begin{matrix}4\\2 \end{matrix}\right.=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}ln3-\frac{2}{3}ln5$
Do đó $a=\frac{4}{3};b=\frac{2}{3};c=-\frac{2}{3}$
Vậy $a+b+c=\frac{4}{3}$
=> Chọn đáp án B.
Ví dụ 3: Biết tích phân $\int_{0}^{ln6}\frac{e^{x}}{1+\sqrt{e^{x}+3}}dx=a+bln2+cln2$, với a, b, c là các số nguyên. Tính T=a+b+c
A. T=-1
B. T=0
C. T=2
D.T=1
Giải:
Đặt t=$\sqrt{e^{x}+3}\Rightarrow t^{2}=e^{x}+3\Rightarrow 2tdt=e^{x}dx$
Đổi cận $\left\{\begin{matrix}x=ln6\\x=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
t=3\\t=2 \end{matrix}\right.$
Suy ra $\int_{0}^{ln6}\frac{e^{x}}{1+\sqrt{e^{x}+3}}dx=\int_{2}^{3}\frac{2tdt}{1+t}dt=[2t-2ln|t+1|]\left|\begin{matrix}3\\2 \end{matrix}\right.$
=$[6-2ln4]-[4-2ln3]=2-4ln2+2ln3 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}a=2\\b=-4\\c=2 \end{matrix}\right.$
Vậy T=0
=> Chọn đáp án B
3.6. Tính nguyên hàm của ln[lnx]/x
Tính nguyên hàm $I=\int \frac{ln[lnx]}{x}dx$ được kết quả nào sau đây?
Ví dụ 1: Tính nguyên hàm của hàm số I=$\int \frac{ln[lnx]}{x}dx$
Giải:
Đặt lnx=t => dt = $\frac{dx}{x}$
Suy ra I=$\int \frac{ln[lnx]}{x}dx=\int lntdt$
Đặt $\left\{\begin{matrix}u=lnt\\dv=dt \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=\frac{dt}{t}\\v=t \end{matrix}\right.$
Theo công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:
I=$tlnt-\int dt=tlnt-t+C=lnx.ln[lnx]-lnx+C$
Ví dụ 2:
Cho I=$\int_{1}^{e}\frac{lnx}{x[lnx+2]^{2}}dx=aln3+bln2+\frac{c}{3}$ với a, b, c $\in Z$. Khẳng định nào sau đây đúng.
A. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
B. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=11$
C. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=9$
D. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
Giải:
Ta có I=$\int_{1}^{e}\frac{lnx}{x[lnx+2]^{2}}dx, đặt lnx+2=t => \frac{dx}{x}=dt$
I=$\int_{2}^{3}\frac{t-2}{t^{2}}dt=\int_{2}^{3}\frac{1}{t}dt-2\int_{2}^{3}\frac{1}{t^{2}}dt$
=$lnt\left|\begin{matrix}3\\2 \end{matrix}\right.+\frac{2}{t}\left|\begin{matrix}3\\2 \end{matrix}\right.$
=$ln3-ln2+\frac{2}{3}-\frac{2}{2}=ln3-ln2-\frac{1}{3}$
Suy ra a=1;b=-1;c=-1
Vậy $a^{2}+b^{2}+c^{3}=3$
Bên cạnh đó, thầy Trường Giang đã có bài giảng cực hay về nguyên hàm tích phân cùng những tip giải bài tập rất hữu ích để giải đề thi THPT Quốc gia. Các em cùng xem trong video dưới đây nhé!
Nắm trọn bí kíp đạt 9+ thi Toán tốt nghiệp THPT Quốc Gia ngay
Sau bài viết này, hy vọng các em đã nắm chắc được toàn bộ lý thuyết, công thức về nguyên hàm Inx, từ đó vận dụng hiệu quả vào bài tập. Để có thêm nhiều kiến thức hay em có thể truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ để có được kiến thức tốt nhất chuẩn bị cho kỳ thi đại học sắp tới nhé!