Đề bài
Biết rằng: Đa thức P[x] chia hết cho đa thức x a khi và chỉ khi P[a] = 0. Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho x + 1 và x 3:
\[P[x] = m{x^3} + \left[ {m - 2} \right]{x^2} - [3n - 5]x - 4n\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng: Đa thức \[P\left[ x \right]\] chia hết cho đa thức \[x - a\] khi và chỉ khi \[P\left[ a \right] = 0\]
Tính \[P\left[ { - 1} \right];P\left[ 3 \right]\]
Từ giả thiết ta giải hệ \[\left\{ \begin{array}{l}P\left[ { - 1} \right] = 0\\P\left[ 3 \right] = 0\end{array} \right.\] để tìm \[m;n.\]
Lời giải chi tiết
Áp dụng mệnh đề đã cho với \[a = - 1,\] rồi với \[a = 3,\] ta có
\[P\left[ { - 1} \right] = m{\left[ { - 1} \right]^3} + \left[ {m - 2} \right].{\left[ { - 1} \right]^2} \]\[- \left[ {3n - 5} \right].\left[ { - 1} \right] - 4n\]\[ = - n - 7\]
\[P\left[ 3 \right] = m{.3^3} + \left[ {m - 2} \right]{.3^2} - \left[ {3n - 5} \right].3 - 4n \]\[= 36m - 13n - 3\]
Theo giả thiết, \[P\left[ x \right]\] chia hết cho \[x + 1\] nên \[P\left[ { - 1} \right] = 0\] tức là \[ - n - 7 = 0\]
Tương tự, vì \[P\left[ x \right]\] chia hết cho \[x - 3\] nên \[P\left[ 3 \right] = 0\] tức là \[36m - 13n - 3 = 0\]
Vậy ta phải giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l} - n - 7 = 0\\36m - 13n - 3 = 0\end{array} \right.\]
Giải hệ phương trình này ta được \[m = - \dfrac{{22}}{9};n = - 7\]
Trả lời: Vậy \[m = - \dfrac{{22}}{9};n = - 7\].
Chú ý: Ta có thể giải hệ phương trình\[\left\{ \begin{array}{l} - n - 7 = 0\\36m - 13n - 3 = 0\end{array} \right.\] như sau:
\[\left\{ \begin{array}{l} - n - 7 = 0\\36m - 13n - 3 = 0\end{array} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n+7 = 0 & & \\ 36m - 13n = 3 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n = -7 & & \\ 36m -13.[-7]= 3 & & \end{matrix}\right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n = -7 & & \\ 36m = -88 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n = -7& & \\ m = \dfrac{-22}{9}& & \end{matrix}\right.\]