Đề bài - đề số 9 - đề kiểm tra học kì 2 (đề thi học kì 2) - toán 12

Đề bài

Câu 1: Cho hai số phức \[z = \left[ {2x + 1} \right] + \left[ {3y - 2} \right]i\], \[z' = \left[ {x + 2} \right] + \left[ {y + 4} \right]i\]. Tìm các số thực \[x,\,\,y\] để \[z = z'.\]

A. \[x = 3,y = 1.\]

B. \[x = 1,y = 3.\]

C. \[x = - 1,y = 3.\]

D. \[x = 3,y = - 1.\]

Câu 2: Nguyên hàm của hàm số \[y = x{e^x}\] là:

A. \[x{e^x} + C.\]

B. \[\left[ {x + 1} \right]{e^x} + C.\]

C. \[\left[ {x - 1} \right]{e^x} + C.\]

D. \[{x^2}{e^x} + C.\]

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \[AB\] biết \[A\left[ {2;1;4} \right];\] \[B\left[ { - 1; - 3; - 5} \right]\] là:

A. \[3x + 4y + 9z + 7 = 0.\]

B. \[ - 3x - 4y - 9z + 7 = 0.\]

C. \[3x + 4y + 9z = 0.\]

D. \[ - 3x - 4y - 9z + 5 = 0.\]

Câu 4: Số phức liên hợp của số phức \[z = {\left[ {\sqrt 3 - 2i} \right]^2}\]là:

A. \[\overline z = - 1 + 4\sqrt 3 i\].

B. \[\overline z = - 1 - 4\sqrt 3 i\]

C. \[\overline z = 1 - 4\sqrt 3 i.\]

D. \[\overline z = 1 + 4\sqrt 3 i.\]

Câu 5: Giá trị của \[\int\limits_0^\pi {\left[ {2\cos x - \sin 2x} \right]dx} \] là:

A. \[1\]. B. \[0\]

C. \[ - 1.\] D. \[ - 2.\].

Câu 6: Hai điểm biểu diễn số phức \[z = 1 + i\] và \[z' = - 1 + i\] đối xứng nhau qua:

A. Gốc \[O\] B. Điểm\[E\left[ {1;1} \right]\].

C. Trục hoành. D. Trục tung.

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho các vecto \[\overrightarrow a = \left[ {3; - 1; - 2} \right];\] \[\overrightarrow b = \left[ {1;2;m} \right];\] \[\overrightarrow c = \left[ {5;1;7} \right]\]. Để \[\overrightarrow c = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right]\] khi giá trị của \[m\] là:

A. \[m = 0.\] B. \[m = 1.\]

C. \[m = - 1.\] D. \[m = 2.\]

Câu 8: Cho \[\int\limits_0^3 {\left[ {x - 3} \right]f'\left[ x \right]dx} = 12\] và \[f\left[ 0 \right] = 3\]. Khi đó giá trị \[\int\limits_0^3 {f\left[ x \right]dx} \] là:

A. \[ - 21.\] B. \[ - 3.\]

C.12. D. 9.

Câu 9: Cho số phức \[{z_1} = 2 + 6i\] và \[{z_2} = 5 - 8i\]. Modun của số phức \[{\rm{w}} = {z_1}.{z_2}\] là:

A. \[\left| {\rm{w}} \right| = 2\sqrt {601} .\]

B. \[\left| {\rm{w}} \right| = 2\sqrt {610} .\]

C. \[\left| {\rm{w}} \right| = 2\sqrt {980} .\]

D. \[\left| {\rm{w}} \right| = 2\sqrt {890} .\]

Câu 10: Cho \[\int\limits_0^3 {f\left[ {{x^2}} \right]xdx = 3} \].Khi đó giá trị của \[\int\limits_0^9 {f\left[ x \right]dx} \] là:

A. 6. B. 9.

C. 12. D. 3.

Câu 11: Trong không gian với hê tọa độ \[Oxyz\], phương trình mặt cầu có đường kính \[AB\] với \[A\left[ {4; - 3;7} \right];\] \[B\left[ {2;1;3} \right]\] là:

A. \[{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {\left[ {z + 2} \right]^2} = 36.\]

B. \[{\left[ {x + 3} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {z + 5} \right]^2} = 9.\]

C. \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 2} \right]^2} + {\left[ {z - 2} \right]^2} = 36.\]

D. \[{\left[ {x - 3} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} + {\left[ {z - 5} \right]^2} = 9.\]

Câu 12: Rút gọn biểu thức \[M = {i^{2018}} + {i^{2019}}\] ta được:

A. \[M = 1 + i.\]

B. \[M = - 1 + i.\]

C. \[M = 1 - i.\]

D. \[M = - 1 - i.\]

Câu 13: Nguyên hàm của hàm số \[y = x\cos x\] là:

A. \[x\cos x - \sin x + C.\]

B. \[x\cos x + \sin x + C.\]

C. \[x\sin x + c{\rm{os}}x + C.\]

D. \[x\sin x - c{\rm{os}}x + C.\]

Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số: \[y = x\sqrt[3]{{1 - x}};\] \[y = 0;\] \[x = 1;\] \[x = 9\] là

A. \[S = \frac{{468}}{7}.\]

B. \[S = \frac{{568}}{{11}}.\]

C. \[S = \frac{{468}}{{11}}.\]

D. \[S = \frac{{467}}{9}.\]

Câu 15: Biết \[\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}dx = a + \ln b} \]. Khi đó \[a + b\] bằng.

A. 3. B. 4.

C. 0. D. 2

Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, bán kính của mặt cầu đi qua bốn điểm \[O\left[ {0;0;0} \right];\]

\[A\left[ {4;0;0} \right];\] \[B\left[ {0;4;0} \right];\] \[C\left[ {0;0;4} \right]\] là:

A. \[R = 3\sqrt 3 \]

B. \[R = 4\sqrt 3 \]

C. \[R = \sqrt 3 \]

D. \[R = 2\sqrt 3 \]

Câu 17: Biết \[\int {\frac{{4x - 3}}{{2{x^2} - 3x - 2}}dx} \]\[= \ln \left| {x - a} \right| + b\ln \left| {cx + 1} \right| + C \]. Khi đó \[a + b - c\] bằng:

A. 5. B. 1.

C. \[ - 2.\] D. \[ - 3.\]

Câu 18: Giá trị \[\int\limits_0^1 {\left[ {2x + 2} \right]{e^x}dx} \] là:

A. \[3e\]. B. \[4e\].

C. \[e\]. D. \[2e\].

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho điểm \[M\left[ {3;6; - 2} \right]\] và mặt cầu

\[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} \]\[- 6x - 4y + 2z - 3 = 0\]

Phương trình của mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu \[\left[ S \right]\] tại \[M\] là:

A. \[4y - z - 26 = 0.\]

B. \[4x - z - 14 = 0.\]

C. \[4x - y - 6 = 0.\]

D. \[y - 4z - 14 = 0.\]

Câu 20: Diện tích \[S\] của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \[y = {x^2} - 2x\] và \[y = x\] là:

A. \[S = \frac{9}{4}.\] B. \[S = \frac{9}{2}.\]

C. \[S = \frac{{13}}{2}.\] D. \[S = \frac{{13}}{4}.\]

Câu 21: Để hàm số \[F\left[ x \right] = \left[ {a\sin x + b\cos x} \right]{e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số

\[f\left[ x \right] = \left[ {3\sin x - 2\cos x} \right]{e^x}\] thì giá trị \[a + b\] là:

A. \[a + b = - 2.\]

B. \[a + b = 2.\]

C. \[a + b = - 3.\]

D. \[a + b = 3.\]

Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], phương trình của đường thẳng \[d\] đi qua điểm

\[A\left[ {1; - 2;3} \right];\] \[B\left[ {3;0;0} \right]\] là:

A. \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 + 2t\\z = 3 + 3t\end{array} \right.\]

B. \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = - 2t\\z = 3t\end{array} \right.\]

C. \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 + 2t\\z = 3 - 3t\end{array} \right.\]

D. \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 2 - 2t\\z = - 3 + 3t\end{array} \right.\]

Câu 23: Biết \[\int\limits_0^1 {\ln \left[ {2x + 1} \right]dx = \frac{a}{b}\ln 3 - c} \] với \[a,\,\,b,\,\,c\] là các số nguyên dương. Mệnh đề đúng là:

A. \[a + b = c.\]

B. \[a - b = c.\]

C. \[a + b = 2c.\]

D. \[a - b = 2c.\]

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], các phương trình dưới đây, phương trình nào là phương trình của một mặt cầu:

A. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} \]\[+ 4x - 2xy + 6z + 5 = 0.\]

B. \[2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} \]\[+ 2x + 5y + 6z + 2019 = 0.\]

C. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} \]\[+ 4x - 2yz - 1 = 0.\]

D. \[2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} \]\[- 2x + 5y + 6z - 2019 = 0.\]

Câu 25: Cho số phức \[z = 2 - 2\sqrt 3 i\]. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. \[\left| z \right| = 4.\]

B. \[\overline z = 2 + 2\sqrt 3 i\]

C. \[z = {\left[ {\sqrt 3 - i} \right]^2}\]

D. \[{z^3} = 64\]

Câu 26: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường:

\[y = {x^2} - 4x + 4,\] \[y = 0,\] \[x = 0,\] \[x = 3\] xung quanh trục \[Ox\] là:

A. \[V = \frac{{33\pi }}{5}\] B. \[V = \frac{{33}}{5}\]

C. \[V = \frac{{29\pi }}{4}\] D. \[V = \frac{{29}}{4}\]

Câu 27: Số phức \[z = \left[ {7 - 2i} \right]{\left[ {1 + 5i} \right]^2}\] có phần ảo là

A. 118i. B. 118.

C. \[ - 148\] D. \[ - 148i\]

Câu 28: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = {x^2};\] \[x = {y^2}\] xung quanh trục \[Ox\] là:

A. \[V = \frac{3}{{10}}\] B. \[V = \frac{{3\pi }}{{10}}\]

C. \[V = \frac{{10\pi }}{3}\] D. \[V = \frac{{10}}{3}\]

Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], phương trình của mặt phẳng đi qua 3 điểm

\[A\left[ {1;1;1} \right];\] \[B\left[ {2;4;5} \right];\] \[C\left[ {4;1;2} \right]\] là:

A. \[3x - 11y + 9z - 1 = 0.\]

B. \[3x + 3y - z - 5 = 0\]

C. \[3x + 11y - 9z - 5 = 0\]

D. \[9x + y - 10z = 0\]

Câu 30: Cho \[\int\limits_0^2 {f\left[ x \right]dx = - 3} ,\] \[\int\limits_0^5 {f\left[ x \right]dx = 7} \]. Khi đó \[\int\limits_2^5 {f\left[ x \right]dx} \] bằng:

A. 3. B. 4.

C. 7. D. 10.

Câu 31: Giải phương trình \[{z^2} - 2z + 3 = 0\] trên tậ số phức ta được các nghiệm:

A. \[{z_1} = 2 + \sqrt 2 i;\,\,{z_2} = 2 - \sqrt 2 i\]

B. \[{z_1} = - 1 + \sqrt 2 i;\,\,{z_2} = - 1 - \sqrt 2 i\]

C. \[{z_1} = - 2 + \sqrt 2 i;\,\,{z_2} = - 2 - \sqrt 2 i\]

D. \[{z_1} = 1 + \sqrt 2 i;\,\,{z_2} = 1 - \sqrt 2 i\]

Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\] cho mặt cầu có phương trình:

\[\left[ {{S_m}} \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} \]\[- 4mx + 4y + 2mz + {m^2} + 4m = 0.\]

\[\left[ {{S_m}} \right]\] là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất khi \[m\] là:

A. \[m = 0.\] B. \[m = \frac{1}{2}.\]

C. \[m = - 1.\] D. \[m = - \frac{3}{2}.\]

Câu 33: Diện tích \[S\] của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = 4 - {x^2}\] và trục hoành là:

A. \[S = \frac{{32}}{3}.\] B. \[S = \frac{{33}}{2}.\]

C. \[S = \frac{{23}}{2}.\] D. \[S = \frac{{22}}{3}.\]

Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho điểm \[M\left[ {5;3;2} \right]\] và đường thẳng\[\left[ d \right]:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z + 2}}{3}\]. Tọa độ điểm \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[M\] trên \[\left[ d \right]\] là:

A. \[H\left[ {1; - 3; - 2} \right]\]

B. \[H\left[ {3;1;4} \right]\]

C. \[H\left[ {2; - 1;1} \right]\]

D. \[H\left[ {4;3;7} \right]\]

Câu 35: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \[z\] thỏa mãn \[\left| {z + i - 1} \right| = \left| {\overline z - 2i} \right|\] là:

A.Một đường thẳng. B.Một đường tròn.

C.Một Parabol. D. Một Elip.

Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho điểm \[A\left[ {3; - 3;5} \right]\] và đường thẳng:\[\left[ d \right]:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 3}}{4}\]. Phương trình của đường thẳng qua \[A\] và song song với \[\left[ d \right]\] là

A. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 3 + 3t\\z = 4 - 5t\end{array} \right.\]

B. \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + t\\y = 3 + 3t\\z = - 5 + 4t\end{array} \right.\]

C. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 3 - 3t\\z = 4 + 5t\end{array} \right.\]

D. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = - 3 + 3t\\z = 5 + 4t\end{array} \right.\]

Câu 37: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \[y = \sqrt x ;\] \[y = x - 2;\] \[y = - x\] là

A. \[S = \frac{{11}}{2}.\] B. \[S = \frac{{11}}{3}.\]

C. \[S = \frac{{13}}{2}.\] D. \[S = \frac{{13}}{3}.\]

Câu 38: Cho số phức \[z\] thỏa mãn \[\left| {z + i - 1} \right| = \left| {\overline z - 2i} \right|\]. Giá trị nhỏ nhất \[\left| z \right|\] là:

A. \[\sqrt 2 \] B. \[2\sqrt 2 \]

C. \[\frac{{\sqrt 2 }}{2}\] D. \[\frac{{\sqrt 3 }}{2}\]

Câu 39: Cho hình phẳng giới hạn bởi các dường \[y = \frac{4}{{x - 4}},\] \[y = 0,\] \[x = 0\] và \[x = 2\] quay quanh trục \[Ox\]. Thể tích khối tròn xoay tạo thành là:

A. \[V = 4.\] B. \[V = 9.\]

C. \[V = 4\pi .\] D. \[V = 9\pi .\]

Câu 40: Số phức \[z\] thỏa mãn \[z + 2\overline z = {\left[ {1 + 5i} \right]^2}\] có phần ảo là:

A. \[ - 8\] B. \[ - 8i\]

C. \[ - 10\] D. \[ - 10i\]

Câu 41: Giá trị của \[\int\limits_0^{16} {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 9} - \sqrt x }}} \] là:

A. 4. B. 9.

C. 12. D. 15.

Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai mặt phẳng \[\left[ P \right]:2x + y - z - 8 = 0\],\[\left[ Q \right]:3x + 4y - z - 11 = 0\]. Gọi \[\left[ d \right]\] là giao tuyến của \[\left[ P \right]\] và \[\left[ Q \right]\], phương trình của đường thẳng \[\left[ d \right]\] là:

A. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 1 - t\\z = - 5 + 5t\end{array} \right.\]

B. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 3t\\y = t\\z = - 2 - 5t\end{array} \right.\]

C. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = t\\z = - 2 + 5t\end{array} \right.\]

D. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 1 + t\\z = - 7 + 5t\end{array} \right.\]

Câu 43: Nguyên hàm của hàm số \[y = \cot x\] là:

A. \[\ln \left| {\cos x} \right| + C\]

B. \[\ln \left| {\sin x} \right| + C\]

C. \[\sin x + C\]

D. \[\tan x + C\]

Câu 44: Nguyên hàm của hàm số \[y = {\tan ^2}x\]

A. \[\tan x + x + C.\]

B. \[ - \tan x - x + C.\]

C. \[\tan x - x + C.\]

D. \[ - \tan x + x + C.\]

Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], tâm và bán kính của mặt cầu \[\left[ S \right]:\]\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 6z + 5 = 0\] là:

A. \[I\left[ { - 2;1; - 3} \right],R = 3\]

B. \[I\left[ {2; - 1;3} \right],R = 3\]

C. \[I\left[ {4; - 2;6} \right],R = 5\]

D. \[I\left[ { - 4;2; - 6} \right],R = 5\]

Câu 46: Giá trị của \[\int\limits_0^\pi {\sqrt {1 + \cos 2x} dx} \] là:

A. 0. B. \[3\sqrt 2 \]

C. \[2\sqrt 2 \] D. 1.

Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho 3 điểm \[A\left[ {0;0;3} \right],\] \[B\left[ {1;1;3} \right],\] \[C\left[ {0;1;1} \right]\]. Khoảng cách từ gốc tọa độ \[O\] đến mặt phẳng \[\left[ {ABC} \right]\] bằng:

A. 1. B. 2.

C. 3. D. 4.

Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho điểm \[A\left[ {2; - 1;0} \right]\] và mặt phẳng \[\left[ P \right]:x - 2y + z + 2 = 0\]. Gọi \[I\] là hình chiếu vuông góc của \[A\] lên mặt phẳng \[\left[ P \right]\]. Phương trình của mặt cầu tâm \[I\] và đi qua \[A\] là:

A. \[{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} + {\left[ {z + 1} \right]^2} = 6.\]

B. \[{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {z + 1} \right]^2} = 6.\]

C. \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {z + 1} \right]^2} = 6.\]

D. \[{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} + {\left[ {z - 1} \right]^2} = 6.\]

Câu 49: Với số phức \[z\] tùy ý, cho mệnh đề \[\left| { - z} \right| = \left| z \right|;\] \[\left| {\overline z } \right| = \left| z \right|;\] \[\left| {z + \overline z } \right| = 0;\] \[\left| z \right| > 0.\] Số mệnh đề đúng là:

A. 2. B. 4.

C. 1. D. 3.

Câu 50: Cho số phức \[z = \frac{{m + 3i}}{{1 - i}},\,\,m \in \mathbb{R}\]. Số phức \[{\rm{w}} = {z^2}\] có \[\left| {\rm{w}} \right| = 9\] khi các giá trị của \[m\] là:

A. \[m = \pm 1.\]B. \[m = \pm 2.\]

C. \[m = \pm 3.\] D. \[m = \pm 4.\]

Lời giải chi tiết

Câu 1 [TH]

Phương pháp:

Áp dụng tính chất:

\[{z_1} = {a_1} + {b_1}i;{z_2} = {a_2} + {b_2}i\]

\[{z_1} = {z_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} = {b_2}\end{array} \right.\]

Cách giải:

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}z = \left[ {2x + 1} \right] + \left[ {3y - 2} \right]i\\z' = \left[ {x + 2} \right] + \left[ {y + 4} \right]i\end{array} \right.\]

Để \[z = z'\] thì: \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 = x + 2\\3y - 2 = y + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\end{array} \right..\]

Chọn B.

Câu 2 [TH]

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần \[\int {udv} = uv - \int {vdu} \].

Cách giải:

Ta có \[\int {ydx} = \int {x{e^x}dx} \]

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {ydx} = x{e^x} - \int {{e^x}dx} \\ = x{e^x} - {e^x} + C = \left[ {x - 1} \right]{e^x} + C.\end{array}\]

Chọn C.

Câu 3 [TH]

Phương pháp:

- Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \[AB\] đi qua trung điểm của \[AB\] và nhận \[\overrightarrow {AB} \] là 1 VTPT.

- Điểm \[I\] là trung điểm của \[AB\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\].

- Mặt phẳng đi qua \[I\left[ {a;b;c} \right]\] có 1 VTPT \[\overrightarrow n \left[ {A;B;C} \right]\] có phương trình: \[A\left[ {x - a} \right] + B\left[ {y - b} \right] + C\left[ {z - c} \right] = 0\].

Cách giải:

Gọi \[I\] là trung điểm của \[AB\] ta có \[I\left[ {\frac{1}{2}; - 1; - \frac{1}{2}} \right].\]

Gọi \[\left[ P \right]\] là mặt phẳng trung trực của \[AB\]. Khi đó \[\left[ P \right]\] đi qua trung điểm \[I\left[ {\frac{1}{2}; - 1; - \frac{1}{2}} \right]\] của \[AB\] và có 1 vecto pháp tuyến \[\overrightarrow n = \overrightarrow {BA} = \left[ {3;4;9} \right].\]

Phương trình mặt phẳng \[\left[ P \right]\] là:

\[3\left[ {x - \frac{1}{2}} \right] + 4\left[ {y + 1} \right] + 9\left[ {z + \frac{1}{2}} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow 3x + 4y + 9z + 7 = 0\]

Chọn A.

Câu 4 [TH]

Phương pháp:

- Khai triển số phức \[z\], đưa số phức \[z\] về dạng \[z = a + bi\].

- Số phức liên hợp của \[z = a + bi\] là \[\overline z = a - bi\].

Cách giải:

Ta có \[z = {\left[ {\sqrt 3 - 2i} \right]^2} = - 1 - 4\sqrt 3 i\].

Vậy số phức liên hợp của số phức \[z\] là: \[\overline z = - 1 + 4\sqrt 3 i.\]

Chọn A.

Câu 5 [NB]

Phương pháp:

Sử dụng các công thức nguyên hàm hàm số lượng giác: \[\int {\sin kxdx} = - \frac{1}{k}\cos kx + C\], \[\int {\cos kxdx} = \frac{1}{k}\sin kx + C\].

Cách giải:

\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\int\limits_0^\pi {\left[ {2\cos x - \sin 2x} \right]dx} \\ = \left. {\left[ {2\sin x + \frac{1}{2}\cos 2x} \right]} \right|_0^\pi \\ = 2\sin \pi + \frac{1}{2}\cos 2\pi - 2\sin 0 - \frac{1}{2}\cos 0\\ = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0\end{array}\]

Chọn B.

Câu 6 [TH]

Phương pháp:

- Tìm điểm biểu diễn của hai số phức rồi kết luận.

- Điểm biểu diễn số phức \[z = a + bi\] là \[M\left[ {a;b} \right]\].

Cách giải:

Ta có \[z = 1 + i\] có điểm biểu diễn là \[M\left[ {1;1} \right]\]

\[z' = - 1 + i\] có điểm biểu diễn là \[M'\left[ { - 1;1} \right]\]

Hai điểm \[M\] và \[M'\] đối xứng nhau qua trục \[Oy\].

Chọn D.

Câu 7 [TH]

Phương pháp:

- Tìm tích có hướng của \[\overrightarrow a ;\,\,\overrightarrow b \].

- Tìm điều kiện để hai vectơ bằng nhau.

- Giải hệ phương trình tìm \[m\].

Cách giải:

Ta có \[\overrightarrow a = \left[ {3; - 1; - 2} \right];\overrightarrow b = \left[ {1;2;m} \right]\] \[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right] = \left[ { - m + 4; - 2 - 3m;7} \right]\].

\[\begin{array}{l}\overrightarrow c = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right]\\ \Rightarrow \left[ { - m + 4; - 2 - 3m;7} \right] = \left[ {5;1;7} \right]\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m + 4 = 5\\ - 2 - 3m = 1\\7 = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 1\end{array}\]

Chọn C.

Câu 8 [TH]

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: \[\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \].

Cách giải:

Ta có \[\int\limits_0^3 {\left[ {x - 3} \right]f'\left[ x \right]dx = 12} \]

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = x - 3\\dv = f'\left[ x \right]dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left[ x \right]\end{array} \right.\]

Khi đó

\[\begin{array}{l}12 = \left. {\left[ {x - 3} \right]f\left[ x \right]} \right|_0^3 - \int\limits_0^3 {f\left[ x \right]dx} \\ \Leftrightarrow 12 = - 3f\left[ 0 \right] - \int\limits_0^3 {f\left[ x \right]dx} \\ \Leftrightarrow 12 = - 3.3 - \int\limits_0^3 {f\left[ x \right]dx} \\ \Leftrightarrow \int\limits_0^3 {f\left[ x \right]dx} = - 21.\end{array}\]

Chọn A.

Câu 9 [TH]

Phương pháp:

- Áp dụng công thức tính tích hai số phức.

- Số phức \[z = a + bi\] thì \[\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \].

Cách giải:

Ta có \[{\rm{w}} = {z_1}.{z_2} = \left[ {2 + 6i} \right]\left[ {5 - 8i} \right]\]

\[= 58 + 14i\] [sử dụng MTCT]

\[ \Rightarrow \left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {{{58}^2} + {{14}^2}} = 2\sqrt {890} .\]

Chọn D.

Câu 10:

Phương pháp:

- Sử dụng phương pháp đổi biến số.

- Đặt ẩn phụ \[t = {x^2}\], đổi cận.

- Sử dụng tính chất không phụ thuộc vào biến của tích phân: \[\int {f\left[ x \right]dx} = \int {f\left[ u \right]du} = \int {f\left[ t \right]dt} ...\]

Cách giải:

Ta có \[\int\limits_0^3 {f\left[ {{x^2}} \right]xdx} = 3\]

Đặt \[{x^2} = t\]\[ \Rightarrow 2xdx = dt \Leftrightarrow xdx = \frac{1}{2}dt\].

Đổi cận: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 3 \Rightarrow y = 9\end{array} \right.\].

Khi đó \[3 = \frac{1}{2}\int\limits_0^9 {f\left[ t \right].dt} \]\[ \Rightarrow 6 = \int\limits_0^9 {f\left[ t \right]dt} = \int\limits_0^9 {f\left[ x \right]dx} \]

Chọn A.

Câu 11 [TH]

Phương pháp:

- Tìm trung điểm I của AB chính là tâm mặt cầu. Điểm \[I\] là trung điểm của \[AB\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\].

- Tìm bán kính của mặt cầu:

\[R = IA\]\[ = \sqrt {{{\left[ {{x_A} - {x_I}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_A} - {y_I}} \right]}^2} + {{\left[ {{z_A} - {z_I}} \right]}^2}} \]

- Mặt cầu tâm \[I\left[ {a;b;c} \right]\] bán kính \[R\] có phương trình: \[{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y - b} \right]^2} + {\left[ {z - c} \right]^2} = {R^2}\].

Cách giải:

Gọi \[I\] là trung điểm của \[AB\] \[ \Rightarrow I\left[ {3; - 1;5} \right]\] là tâm mặt cầu đường kính \[AB\].

Bán kính mặt cầu đường kính \[AB\] là:

\[R = IA\]\[ = \sqrt {{{\left[ {4 - 3} \right]}^2} + {{\left[ { - 3 + 1} \right]}^2} + {{\left[ {7 - 5} \right]}^2}} = 3.\]

Vậy phương trình mặt cầu đường kính \[AB\] là \[{\left[ {x - 3} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} + {\left[ {z - 5} \right]^2} = 9.\]

Chọn D.

Câu 12 [TH]

Phương pháp:

Sử dụng \[{i^2} = - 1\].

Cách giải:

\[M = {i^{2018}} + {i^{2019}} = {i^{2018}}\left[ {1 + i} \right]\]\[ = {\left[ {{i^2}} \right]^{1006}}\left[ {1 + i} \right] = 1 + i\]

Chọn A.

Câu 13 [TH]

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần \[\int {udv} = uv - \int {vdu} \].

Cách giải:

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \cos xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \sin x\end{array} \right.\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {x\cos xdx} \\ = x\sin x - \int {\sin xdx} \\ = x\sin x + \cos x + C\end{array}\]

Chọn C.

Câu 14 [VD]

Phương pháp:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm các nghiệm thuộc \[\left[ {1;9} \right]\].

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\], \[y = g\left[ x \right]\], đường thẳng \[x = a,\,\,x = b\] là: \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \].

- Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt \[t = \sqrt[3]{{1 - x}}.\]

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \[x\sqrt[3]{{1 - x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left[ {1;9} \right]\\x = 1\end{array} \right.\].

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \[y = x\sqrt[3]{{1 - x}};\] \[y = 0;\] \[x = 1;\] \[x = 9\] là: \[S = \int\limits_1^9 {\left| {x\sqrt[3]{{1 - x}}} \right|dx} = \left| {\int\limits_1^9 {x\sqrt[3]{{1 - x}}dx} } \right|\]

Đặt \[t = \sqrt[3]{{1 - x}} \Leftrightarrow {t^3} = 1 - x\]\[ \Leftrightarrow 3{t^2}dt = - dx.\]

Đổi cận: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\\x = 9 \Rightarrow t = - 2\end{array} \right.\].

Khi đó

\[\begin{array}{l}S = \left| { - 3\int\limits_0^{ - 2} {\left[ {1 - {t^3}} \right].t.{t^2}dt} } \right|\\ = \left| {3\int\limits_0^{ - 2} {\left[ {{t^6} - {t^3}} \right]dt} } \right|\\ = \left| {\left. {3\left[ {\frac{{{t^7}}}{7} - \frac{{{t^4}}}{4}} \right]} \right|_0^{ - 2}} \right|\\ = \left| {3\left[ { - \frac{{156}}{7}} \right]} \right| = \frac{{468}}{7}\end{array}\]

Chọn A.

Câu 15 [TH]

Phương pháp:

- Chia tử cho mẫu.

- Áp dụng các công thức nguyên hàm cơ bản và mở rộng: \[\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left[ {n \ne - 1} \right]\], \[\int {\frac{{dx}}{{ax + b}}} = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\].

Cách giải:

\[\begin{array}{l}\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}dx} = \int\limits_1^2 {\left[ {x + \frac{1}{{x + 1}}} \right]dx} \\ = \left. {\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x + 1} \right|} \right]} \right|_1^2\\ = 2 + \ln 3 - \frac{1}{2} - \ln 2\\ = \frac{3}{2} + \ln \frac{3}{2}\end{array}\]

\[ \Rightarrow a = b = \frac{3}{2}\]\[ \Rightarrow a + b = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3.\]

Chọn A.

Câu 16 [TH]

Phương pháp:

- Gọi \[I\left[ {a;b;c} \right]\] là tâm mặt cầu \[ \Rightarrow IO = IA = IB = IC\].

- Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}IO = IA\\IO = IB\\IO = IC\end{array} \right.\] tìm \[a,\,\,b,\,\,c\]. Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:

\[AB = \]\[\sqrt {{{\left[ {{x_B} - {x_A}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_B} - {y_A}} \right]}^2} + {{\left[ {{z_B} - {z_A}} \right]}^2}} \]

- Tính bán kính mặt cầu \[R = IO\].

Cách giải:

Gọi \[I\left[ {a;b;c} \right]\] là tâm mặt cầu cân tìm, khi đó ta có \[IO = IA = IB = IC\].

\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}IO = IA\\IO = IB\\IO = IC\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + {c^2} = {\left[ {a - 4} \right]^2} + {b^2} + {c^2}\\{a^2} + {b^2} + {c^2} = {a^2} + {\left[ {b - 4} \right]^2} + {c^2}\\{a^2} + {b^2} + {c^2} = {a^2} + {b^2} + {\left[ {c - 4} \right]^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = - 8a + 16\\0 = - 8b + 16\\0 = - 8c + 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\\c = 2\end{array} \right.\end{array}\]

Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là: \[R = IO = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2}} \]\[ = 2\sqrt 3 \]

Chọn D.

Câu 17 [VD]

Phương pháp:

- Phân tích mẫu thành nhân tử.

- Đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạng \[\frac{A}{{x - 2}} + \frac{B}{{2x + 1}}\].

- Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng: \[\int {\frac{{dx}}{{ax + b}}} = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\].

- Đồng nhất hệ số tìm \[a,\,\,b,\,\,c\] và tính \[a + b - c\].

Cách giải:

Ta có

\[\begin{array}{l}I = \int {\frac{{4x - 3}}{{2{x^2} - 3x - 2}}dx} \\ = \int {\frac{{2\left[ {x - 2} \right] + 2x + 1}}{{\left[ {x - 2} \right]\left[ {2x + 1} \right]}}dx} \\\,\,\, = \int {\left[ {\frac{1}{{x - 2}} + \frac{2}{{2x + 1}}} \right]dx} \\ = \ln \left| {x - 2} \right| + \ln \left| {2x + 1} \right| + C\end{array}\]

Mà \[a = 2;\,\,b = 1;\,\,c = 2.\]

Vậy \[a + b - c = 2 + 1 - 2 = 1.\]

Chọn B.

Câu 18 [TH]

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: \[\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \].

Cách giải:

Gọi \[I = \int\limits_0^1 {\left[ {2x + 2} \right]{e^x}dx} .\]

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = 2x + 2\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]

Khi đó

\[\begin{array}{l}I = \left. {\left[ {2x + 2} \right]{e^x}} \right|_0^1 - 2\int\limits_0^1 {{e^x}dx} \\\,\,\,\, = 4e - 2 - \left. {2{e^x}} \right|_0^1\\\,\,\,\, = 4e - 2 - \left[ {2e - 2} \right] = 2e.\end{array}\].

Chọn D.

Câu 19 [TH]

Phương pháp:

- Mặt cầu

\[\left[ S \right]:\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2}\]\[ - 2ax - 2by -2cz + d = 0\]

có tâm \[I\left[ { a; b; c} \right]\].

- Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu \[\left[ S \right]\] tại \[M\] là mặt phẳng có 1 vecto pháp tuyến là \[\overrightarrow {IM} \] và đi qua điểm \[M\].

- Mặt phẳng đi qua \[M\left[ {a;b;c} \right]\] có 1 VTPT \[\overrightarrow n \left[ {A;B;C} \right]\] có phương trình: \[A\left[ {x - a} \right] + B\left[ {y - b} \right] + C\left[ {z - c} \right] = 0\].

Cách giải:

Mặt cầu \[\left[ S \right]\] có tâm là \[I\left[ {3;2; - 1} \right].\]

Mà \[M\left[ {3;6; - 2} \right] \Rightarrow \overrightarrow {IM} = \left[ {0;4; - 1} \right].\]

Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu \[\left[ S \right]\] tại \[M\] là mặt phẳng có 1 vecto pháp tuyến là \[\overrightarrow {IM} \] và đi qua điểm \[M\] có phương trình: \[4\left[ {y - 6} \right] - \left[ {z + 2} \right] = 0\]\[ \Leftrightarrow 4y - z - 26 = 0.\]

Chọn A.

Câu 20 [TH]

Phương pháp:

- Tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\], \[y = g\left[ x \right]\], đường thẳng \[x = a,\,\,x = b\] là: \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \].

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \[{x^2} - 2x = x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right..\]

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đã cho là: \[S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx} \]\[ = \int\limits_0^3 {\left[ {3x - {x^2}} \right]dx} = \frac{9}{2}\]

Chọn B.

Câu 21 [TH]

Phương pháp:

- \[F\left[ x \right]\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left[ x \right]\] thì \[F'\left[ x \right] = f\left[ x \right]\].

- Đồng nhất hệ số tìm \[a,\,\,b\] và tính tổng \[a + b\].

Cách giải:

Vì \[F\left[ x \right] = \left[ {a\sin x + b\cos x} \right]{e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left[ x \right] = \left[ {3\sin x - 2\cos x} \right]{e^x}\] nên ta có:

Vậy \[a + b = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} = - 2\].

Chọn A.

Câu 22 [TH]

Phương pháp:

- Đường thẳng đi qua \[A,\,\,B\] nhận \[\overrightarrow {AB} \] là 1 VTCP.

- Phương trình đường thẳng đi qua \[A\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] và có 1 VTCP \[\overrightarrow u \left[ {a;b;c} \right]\] là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\].

Cách giải:

Ta có \[A\left[ {1; - 2;3} \right];B\left[ {3;0;0} \right]\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left[ {2;2; - 3} \right]\]

Phương trình đường thẳng \[d\] đi qua \[A\left[ {1; - 2;3} \right]\] và có 1 VTCP \[\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} = \left[ {2;2; - 3} \right]\] là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 + 2t\\z = 3 - 3t\end{array} \right.\]

Chọn C.

Câu 23 [TH]

Phương pháp:

- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: \[\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \].

- Đồng nhất hệ số tìm \[a,\,\,b,\,\,c\].

Cách giải:

Gọi \[I = \int\limits_0^1 {\ln \left[ {2x + 1} \right]dx} \].

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left[ {2x + 1} \right]\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{2}{{2x + 1}}dx\\v = x\end{array} \right.\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow I = \left. {x\ln \left[ {2x + 1} \right]} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\frac{{2x}}{{2x + 1}}dx} \\ \Rightarrow I = \ln 3 - \int\limits_0^1 {\left[ {1 - \frac{1}{{2x + 1}}} \right]dx} \\ \Rightarrow I = \ln 3 - \left. {\left[ {x - \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right|} \right]} \right|_0^1\\ \Rightarrow I = \ln 3 - \left[ {1 - \frac{1}{2}\ln 3} \right]\\ \Rightarrow I = \frac{3}{2}\ln 3 - 1\\ \Rightarrow a = 3,\,\,b = 2,\,\,c = 1\end{array}\]

Vậy \[a - b = c\].

Chọn B.

Câu 24 [TH]

Phương pháp:

Phương trình mặt cầu có dạng \[a{x^2} + a{y^2} + a{z^2} - 2mx - 2ny - 2tz + d = 0\] thỏa mãn \[{\left[ {\frac{m}{a}} \right]^2} + {\left[ {\frac{n}{a}} \right]^2} + {\left[ {\frac{t}{a}} \right]^2} - d > 0.\]

Cách giải:

Loại A, C vì trong phương trình chứa hạng tử \[xy\] và \[yz\].

Loại B vì \[{\left[ {\frac{{ - 1}}{2}} \right]^2} + {\left[ {\frac{{ - 5}}{4}} \right]^2} + {\left[ {\frac{{ - 3}}{2}} \right]^2} - 2019 < 0\].

Chọn D.

Câu 25 [TH]

Phương pháp:

- Tính môđun số phức \[z = a + bi\] \[ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \].

- Số phức \[z = a + bi\] có số phức liên hợp \[\overline z = a - bi\].

Cách giải:

Ta có \[z = 2 - 2\sqrt 3 i\] \[ \Rightarrow {z^3} = {\left[ {2 - 2\sqrt 3 i} \right]^3} = - 64\] nên D sai.

Chọn D.

Câu 26 [VD]

Phương pháp:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm các nghiệm thuộc \[\left[ {0;3} \right]\].

- Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\], \[y = g\left[ x \right]\], đường thẳng \[x = a\], \[x = b\] khi quanh quay trục hoành là: \[V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left[ x \right] - {g^2}\left[ x \right]} \right|dx} \].

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \[{x^2} - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2\].

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình giới hạn bởi \[y = {x^2} - 4x + 4,\] \[y = 0,\] \[x = 0,\] \[x = 3\] xung quanh trục \[Ox\] là:

\[\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^3 {\left| {{{\left[ {{x^2} - 4x + 4} \right]}^2}} \right|dx} \\ = \pi \left| {\int\limits_0^2 {{{\left[ {{x^2} - 4x + 4} \right]}^2}dx} } \right|\\ + \pi \left| {\int\limits_2^3 {{{\left[ {{x^2} - 4x + 4} \right]}^2}dx} } \right|\\ = \frac{{32}}{5}\pi + \frac{1}{5}\pi = \frac{{33\pi }}{5}\end{array}\]

Chọn A.

Câu 27 [TH]

Phương pháp:

- Nhân khai triển số phức, đưa số phức về dạng \[z = a + bi\].

- Số phức \[z = a + bi\] có phần ảo bằng \[b\].

Cách giải:

Ta có \[z = \left[ {7 - 2i} \right]{\left[ {1 + 5i} \right]^2}\]\[ = - 148 + 118i\]

Vậy số phức đã cho có phần ảo là 118.

Chọn B.

Câu 28 [TH]

Phương pháp:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm.

- Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\], \[y = g\left[ x \right]\], đường thẳng \[x = a\], \[x = b\] khi quanh quay trục hoành là: \[V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left[ x \right] - {g^2}\left[ x \right]} \right|dx} \].

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \[{x^2} = \pm \sqrt x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right..\]

Thể tích khối tròn xoay là \[V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} - x} \right|dx} = \frac{{3\pi }}{{10}}.\]

Chọn B.

Câu 29 [TH]

Phương pháp:

- Mặt phẳng đi qua 3 điểm \[A,\,\,B,\,\,C\] nhận \[\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]\] là 1 VTPT.

- Mặt phẳng đi qua \[A\left[ {a;b;c} \right]\] có 1 VTPT \[\overrightarrow n \left[ {A;B;C} \right]\] có phương trình: \[A\left[ {x - a} \right] + B\left[ {y - b} \right] + C\left[ {z - c} \right] = 0\].

Cách giải:

Ta có \[A\left[ {1;1;1} \right];B\left[ {2;4;5} \right];C\left[ {4;1;2} \right]\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left[ {1;3;4} \right];\overrightarrow {AC} = \left[ {3;0;1} \right]\]

\[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left[ {3;11; - 9} \right].\]

Mặt phẳng đi qua 3 điểm \[A,\,\,B,\,\,C\] nhận \[\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left[ {3;11; - 9} \right]\] là 1 VTPT có phương trình:

\[3\left[ {x - 1} \right] + 11\left[ {y - 1} \right] - 9\left[ {z - 1} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow 3x + 11y - 9z - 5 = 0.\]

Chọn C.

Câu 30 [TH]

Phương pháp:

Sử dụng tính chất tích phân: \[\int\limits_a^b {f\left[ x \right]d} x + \int\limits_b^c {f\left[ x \right]d} x = \int\limits_a^c {f\left[ x \right]d} x\].

Cách giải:

Ta có

\[\begin{array}{l}\int\limits_0^2 {f\left[ x \right]dx} + \int\limits_2^5 {f\left[ x \right]dx} = \int\limits_0^5 {f\left[ x \right]dx} \\ \Rightarrow - 3 + \int\limits_2^5 {f\left[ x \right]dx} = 7\\ \Leftrightarrow \int\limits_2^5 {f\left[ x \right]dx} = 7 - \left[ { - 3} \right] = 10.\end{array}\]

Chọn D.

Câu 31 [NB]

Phương pháp:

Sử dụng máy tính bấm nghiệm của phương trình.

Cách giải:

\[{z^2} - 2z + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 1 + \sqrt 2 i\\{z_2} = 1 - \sqrt 2 i\end{array} \right..\]

Chọn D.

Câu 32 [VD]

Phương pháp:

- Mặt cầu \[\left[ S \right]:\]\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\] có bán kính \[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \].

- Tìm GTNN của biểu thức, đưa về hằng đẳng thức hoặc sử dụng phương pháp hàm số.

Cách giải:

Mặt cầu:

\[\left[ {{S_m}} \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2}\]\[ - 4mx + 4y + 2mz + {m^2} + 4m = 0\]

có bán kính

\[\begin{array}{l}R =\\ \sqrt {{{\left[ {2m} \right]}^2} + {{\left[ { - 2} \right]}^2} + {{\left[ { - m} \right]}^2} - {m^2} - 4m} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {4{m^2} - 4m + 4} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left[ {2m - 1} \right]}^2} + 3} \ge \sqrt 3 \end{array}\]

Vậy mặt cầu \[\left[ {{S_m}} \right]\] có bán kính nhỏ nhất \[R = \sqrt 3 \Leftrightarrow 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\].

Chọn B.

Câu 33 [TH]

Phương pháp:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm.

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\], \[y = g\left[ x \right]\], đường thẳng \[x = a,\,\,x = b\] là: \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \].

Cách giải:

Hoành độ giao điểm của hàm số với trục hoành là \[4 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2\]

Diện tích hình phẳng cần tìm là: \[S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {4 - {x^2}} \right|dx} \]\[ = \int\limits_{ - 2}^2 {\left[ {4 - {x^2}} \right]dx} = \frac{{32}}{3}.\]

Chọn A.

Câu 34 [VD]

Phương pháp:

- Tham số hóa tọa độ điểm \[H \in d\] theo ẩn \[t\].

- \[MH \bot d \Rightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\] với \[\overrightarrow {{u_d}} \] là 1 VTCP của đường thẳng \[d\].

- Đường thẳng \[d:\,\,\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\] có 1 VTCP \[\overrightarrow u \left[ {a;b;c} \right]\].

- Giải phương trình tìm ẩn \[t\], từ đó suy ra tọa độ điểm \[H\].

Cách giải:

Gọi \[H\left[ {1 + t;\,\, - 3 + 2t;\,\, - 2 + 3t} \right] \in d.\]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {MH} = \left[ {t - 4;\,\,2t - 6;\,\,3t - 4} \right]\].

Đường thẳng \[d\] có 1 VTCP là \[\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {1;2;3} \right]\].

Vì \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[M\] trên \[d\] nên \[MH \bot d \Rightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\].

\[\begin{array}{l} \Rightarrow 1.\left[ {t - 4} \right] + 2.\left[ {2t - 6} \right] + 3.\left[ {3t - 4} \right] = 0\\ \Leftrightarrow 14t - 28 = 0 \Leftrightarrow t = 2.\end{array}\]

Vậy \[H\left[ {3;1;4} \right].\]

Chọn B.

Câu 35 [VD]

Phương pháp:

- Đặt \[z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi\].

- Thay \[z,\,\,\overline z \] vào phương trình đề bài cho.

- Sử dụng công thức \[\left| {a + bi} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \].

- Bình phương hai vế, tìm mối quan hệ giữa \[x,\,\,y\] và kết luận.

Cách giải:

Đặt \[z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi\]. Theo bài ra ta có:

\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left| {z + i - 1} \right| = \left| {\overline z - 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi + i - 1} \right| = \left| {x - yi - 2z} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x - 1 + \left[ {y + 1} \right]i} \right| = \left| {x - \left[ {y + 2} \right]i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} = {x^2} + {\left[ {y + 2} \right]^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} + 2y + 1\\ = {x^2} + {y^2} + 4y + 4\\ \Leftrightarrow 2x + 2y + 2 = 0\\ \Leftrightarrow x + y + 1 = 0\end{array}\]

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức \[z\] là đường thẳng có phương trình \[x + y + 1 = 0\].

Chọn A.

Câu 36 [TH]

Phương pháp:

- Đường thẳng \[d'\] song song với đường thẳng \[d\] thì \[\overrightarrow {{u_{d'}}} = \overrightarrow {{u_d}} \].

- Phương trình đường thẳng đi qua \[A\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] và có 1 VTCP \[\overrightarrow u \left[ {a;b;c} \right]\] là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\].

Cách giải:

Gọi \[\left[ {d'} \right]\] là đường thẳng chứa A và song song với \[\left[ d \right]\].

Vì \[d'\parallel d \Rightarrow \overrightarrow {{u_{d'}}} = \overrightarrow {{u_d}} = \left[ {1;3;4} \right]\].

Vậy phương trình đường thẳng \[d'\] đi qua \[A\left[ {3; - 3;5} \right]\] và có VTCP \[\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left[ {1;3;4} \right]\] là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = - 3 + 3t\\z = 5 + 4t\end{array} \right..\]

Chọn D.

Câu 37 [VD]

Phương pháp:

- Vẽ đồ thị hàm số, xác định các giao điểm.

- Chia diện tích cần tính thành các diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\], \[y = g\left[ x \right]\], \[x = a,\,\,x = b\].

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\], \[y = g\left[ x \right]\], đường thẳng \[x = a,\,\,x = b\] là: \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \].

Cách giải:

Xét các phương trình hoành độ giao điểm:

\[\begin{array}{l} - x = x - 2 \Leftrightarrow x = 1\\x - 2 = \sqrt x \Leftrightarrow x = 4\end{array}\]

Ta xác định được \[{x_A} = 1,\,\,{x_B} = 4\].

Diện tích hình phẳng cần tính bao gồm:

- \[{S_1}\]: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = \sqrt x ,\,\,y = - x\], \[x = 0,\,\,x = 1\].

\[\begin{array}{l} \Rightarrow {S_1} = \int\limits_0^1 {\left[ {\sqrt x - \left[ { - x} \right]} \right]dx} \\ = \left. {\left[ {\frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right]} \right|_0^1\\ = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 0 = \frac{7}{6}\end{array}\]

- \[{S_2}\]: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = \sqrt x ,\,\,y = x - 2\], \[x = 1,\,\,x = 4\].

\[\begin{array}{l} \Rightarrow {S_1} = \int\limits_1^4 {\left[ {\sqrt x - \left[ {x - 2} \right]} \right]dx} \\ = \left. {\left[ {\frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} - \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right]} \right|_1^4\\ = \frac{2}{3}.8 - 8 + 8 - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 2\\ = \frac{{19}}{6}\end{array}\]

Vậy diện tích cần tính là: \[S = {S_1} + {S_2} = \frac{7}{6} + \frac{{19}}{6} = \frac{{13}}{3}\].

Chọn D.

Câu 38 [VD]

Phương pháp:

- Đặt \[z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi\].

- Thay vào giả thiết, tìm quỹ tích các điểm biểu diễn số phức \[z\] là 1 đường thẳng \[d\].

- Khi đó \[\left| z \right|\] nhỏ nhất \[ \Leftrightarrow \left| z \right| = d\left[ {O;d} \right]\].

- Khoảng cách từ \[M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] đến đường thẳng \[d:\,\,ax + by + c = 0\] là \[d\left[ {M;d} \right] = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0}} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\].

Cách giải:

Đặt \[z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi\]

Khi đó

\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left| {z + i - 1} \right| = \left| {\overline z - 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi + i - 1} \right| = \left| {x - yi - 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left[ {x - 1} \right] + \left[ {y + 1} \right]i} \right| = \left| {x - \left[ {y + 2} \right]i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} = {x^2} + {\left[ {y + 2} \right]^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} + 2y + 1\\ = {x^2} + {y^2} + 4y + 4\\ \Leftrightarrow 2x + 2y + 2 = 0\\ \Leftrightarrow x + y + 1 = 0\end{array}\]

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức \[z\] là đường thẳng \[\left[ d \right]:\,\,x + y + 1 = 0\].

Khi đó \[\left| z \right| = OM\] đạt giá trị nhỏ nhất \[ \Leftrightarrow OM = d\left[ {O;d} \right]\]\[ = \frac{{\left| {0 + 0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

Chọn C.

Câu 39 [TH]

Phương pháp:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm các nghiệm thuộc \[\left[ {0;2} \right]\].

- Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\], \[y = g\left[ x \right]\], đường thẳng \[x = a\], \[x = b\] khi quanh quay trục hoành là: \[V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left[ x \right] - {g^2}\left[ x \right]} \right|dx} \].

Cách giải:

ĐKXĐ: \[x \ne 4\].

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \[\frac{4}{{x - 4}} = 0\] [Vô nghiệm].

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là: \[V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left[ {\frac{4}{{x - 4}}} \right]}^2}dx} = 4\pi .\]

Chọn C.

Câu 40 [VD]

Phương pháp:

- Đặt \[z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi\].

- Thay vào giả thiết, đưa phương trình về dạng hai số phức bằng nhau.

- Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi chúng có phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau.

- Giải hệ phương trình tìm \[x,\,\,y\].

Cách giải:

Đặt \[z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi\]. Theo bài ra ta có:

\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,z + 2\overline z = {\left[ {1 + 5i} \right]^2}\\ \Leftrightarrow x + yi + 2\left[ {x - yi} \right] = - 24 + 10i\\ \Leftrightarrow 3x - yi = - 24 + 10\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = - 24\\ - y = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 8\\y = - 10\end{array} \right.\end{array}\]

Vậy \[z = - 8 - 10i\] có phần ảo bằng \[ - 10\].

Chọn C.

Câu 41 [VD]

Phương pháp:

- Nhân liên hợp.

- Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng: \[\int {\sqrt {ax + b} dx} = \frac{1}{a}.\frac{{2\sqrt {{{\left[ {ax + b} \right]}^3}} }}{3} + C\].

Cách giải:

\[\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{16} {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 9} - \sqrt x }}} \\\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{16} {\frac{{\left[ {\sqrt {x + 9} + \sqrt x } \right]dx}}{{x + 9 - x}}} \\\,\,\,\, = \int\limits_0^{16} {\frac{{\left[ {\sqrt {x + 9} + \sqrt x } \right]dx}}{9}} \\\,\,\,\, = \left. {\frac{1}{9}.\frac{2}{3}\left[ {\sqrt {{{\left[ {x + 9} \right]}^3}} + \sqrt {{x^3}} } \right]} \right|_0^{16}\\\,\,\,\, = \frac{2}{{27}}\left[ {125 + 64 - 27 - 0} \right] = 12.\end{array}\]

Chọn C.

Câu 42 [VD]

Phương pháp:

- Cho \[x = 0\] và \[y = 0\], tìm hai điểm \[A,\,\,B\] cùng thuộc hai mặt phẳng.

- Viết phương trình đường thẳng giao tuyến là đường thẳng đi qua 2 điểm \[A,\,\,B\].

Cách giải:

Xét hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x + y - z - 8 = 0\\3x + 4y - z - 11 = 0\end{array} \right.\] là tập hợp các điểm cùng thuộc hai mặt phẳng.

Cho \[x = 0\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y - z - 8 = 0\\4y - z - 11 = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\z = - 7\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow A\left[ {0;1; - 7} \right] \in \left[ P \right] \cap \left[ Q \right].\]

Cho \[y = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - z - 8 = 0\\3x - z - 11 = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\z = - 2\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow B\left[ {3;0; - 2} \right] \in \left[ P \right] \cap \left[ Q \right].\]

Khi đó đường thẳng \[d\] là giao tuyến của \[\left[ P \right];\left[ Q \right]\] là đường thẳng đi qua \[A,\,\,B\], nhận \[\overrightarrow {AB} = \left[ {3; - 1;5} \right]\] là 1 VTCP. Do đó chỉ có đáp án A thỏa mãn.

Chọn A.

Câu 43 [TH]

Phương pháp:

- Sử dụng công thức \[\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\].

- Đặt \[t = \sin x\], sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \[\int {\frac{{dt}}{t}} = \ln \left| t \right| + C\].

Cách giải:

\[\int {\cot xdx = \int {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}dx} } \]

Đặt \[t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\].

Khi đó ta có:

\[\begin{array}{l}\int {\cot xdx = \int {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}dx} } \\ = \int {\frac{{dt}}{t}} = \ln \left| t \right| + C\\ = \ln \left| {\sin x} \right| + C\end{array}\]

Chọn B.

Câu 44 [TH]

Phương pháp:

- Áp dụng \[{\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1\].

- Áp dụng công thức tính nguyên hàm: \[\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} = \tan x + C\], \[\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left[ {n \ne - 1} \right]\].

Cách giải:

\[\begin{array}{l}\int {{{\tan }^2}x} dx = \int {\left[ {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right]dx} \\ = \tan x - x + C\end{array}\]

Chọn C.

Câu 45 [NB]

Phương pháp:

Mặt cầu \[\left[ S \right]:\]\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\] có tâm \[I\left[ {a;b;c} \right]\], bán kính \[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \] [với \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\]].

Cách giải:

Mặt cầu \[\left[ S \right]\] có tâm là \[I\left[ { - 2;1; - 3} \right]\] và bán kính \[R = \sqrt {{{\left[ { - 2} \right]}^2} + {1^2} + {{\left[ { - 3} \right]}^2} - 5} = 3.\]

Chọn A.

Câu 46 [VD]

Phương pháp:

- Sử dụng công thức nhân đôi: \[\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1.\]

- Nhận xét dấu của biểu thức, phá căn.

- Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \[\int {\cos xdx} = \sin x + C\].

Cách giải:

Ta có

\[\begin{array}{l}I = \int\limits_0^\pi {\sqrt {1 + \cos 2x} } dx\\ = \int\limits_0^\pi {\sqrt {2{{\cos }^2}x} dx} = \int\limits_0^\pi {\sqrt 2 } \left| {\cos x} \right|dx\end{array}\]

Xét trên \[\left[ {0;\pi } \right]\] ta có: \[\cos x \ge 0 \Leftrightarrow \left| {\cos x} \right| = \cos x\].

Vậy \[I = \int\limits_0^\pi {\sqrt 2 } \cos xdx = \sqrt 2 \left. {\sin x} \right|_0^\pi = 0\].

Chọn A.

Câu 47 [VD]

Phương pháp:

- Viết phương trình mặt phẳng \[\left[ {ABC} \right]\] đi qua \[A\] và nhận \[\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]\] là 1 VTPT.

- Mặt phẳng đi qua \[A\left[ {a;b;c} \right]\] có 1 VTPT \[\overrightarrow n \left[ {A;B;C} \right]\] có phương trình: \[A\left[ {x - a} \right] + B\left[ {y - b} \right] + C\left[ {z - c} \right] = 0\].

- Khoảng cách từ \[M\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] đến \[\left[ P \right]:\,\,Ax + By + Cz + D = 0\] là: \[d\left[ {M;\left[ P \right]} \right] = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\] ,

Cách giải:

Ta có

\[\begin{array}{l}A\left[ {0;0;3} \right];B\left[ {1;1;3} \right];C\left[ {0;1;1} \right]\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left[ {1;1;0} \right]\\\overrightarrow {AC} = \left[ {0;1; - 2} \right]\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left[ { - 2;2;1} \right]\end{array}\]

Khi đó phương trình mặt phẳng \[\left[ {ABC} \right]\] đi qua \[A\] và nhận \[\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left[ { - 2;2;1} \right]\] là 1 VTPT.\[ - 2.\left[ {x - 0} \right] + 2.\left[ {y - 0} \right] + 1.\left[ {z - 3} \right] = 0\]\[ \Leftrightarrow - 2x + 2y + z - 3 = 0.\]

Vậy \[d\left[ {O;\left[ {ABC} \right]} \right] = \frac{{\left| { - 3} \right|}}{{\sqrt {{{\left[ { - 2} \right]}^2} + {2^2} + {1^2}} }} = 1\].

Chọn A.

Câu 48 [VD]

Phương pháp:

- Viết phương trình đường thẳng \[IA\] đi qua \[A\] và vuông góc với \[\left[ P \right]\].

- Tìm tọa độ điểm \[I = IA \cap \left[ P \right]\].

- Mặt cầu tâm \[I\] đi qua \[A\] có bán kính:

\[R = IA\]\[ = \sqrt {{{\left[ {{x_A} - {x_I}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_A} - {y_I}} \right]}^2} + {{\left[ {{z_A} - {z_I}} \right]}^2}} \]

- Mặt cầu tâm \[I\left[ {a;b;c} \right]\] bán kính \[R\] có phương trình \[{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y - b} \right]^2} + {\left[ {z - c} \right]^2} = {R^2}\].

Cách giải:

Vì \[I\] là hình chiếu của \[A\] lên \[\left[ P \right] \Rightarrow IA \bot \left[ P \right]\].

\[ \Rightarrow \overrightarrow {{u_{IA}}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {1; - 2;1} \right]\] là 1 VTCP của đường thẳng \[IA\].

\[ \Rightarrow \] Phương trình đường thẳng \[IA\] là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 - 2t\\z = t\end{array} \right.\].

Gọi \[I\left[ {2 + t; - 1 - 2t;t} \right] \in \left[ {IA} \right]\].

Mà \[I\] là hình chiếu của \[A\] lên \[\left[ P \right] \Rightarrow I \in \left[ P \right]\].

\[\begin{array}{l} \Rightarrow 2 + t - 2.\left[ { - 1 - 2t} \right] + t + 2 = 0\\ \Leftrightarrow 6t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\\ \Rightarrow I\left[ {1;1; - 1} \right]\end{array}\]

Khi đó bán kính mặt cầu tâm \[I\] đi qua \[A\] là:

\[R = IA\]\[ = \sqrt {{{\left[ {1 - 2} \right]}^2} + {{\left[ {1 + 1} \right]}^2} + {{\left[ { - 1 - 0} \right]}^2}} \]\[= \sqrt 6 \]

Phương trình mặt cầu tâm \[I\left[ {1;1; - 1} \right]\] bán kính \[R = \sqrt 6 \] là: \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {z + 1} \right]^2} = 6.\]

Chọn C.

Câu 49 [VD]

Phương pháp:

Đặt \[z = a + bi\], xét từng mệnh đề.

Cách giải:

+] Đặt \[z = a + bi \Rightarrow - z = - a - bi.\]

Ta có: \[\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\]\[\left| { - z} \right| = \sqrt {{{\left[ { - a} \right]}^2} + {{\left[ { - b} \right]}^2}} \]

\[ \Rightarrow \left| z \right| = \left| { - z} \right|\] là mệnh đề đúng.

+] Đặt \[z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi.\]

Ta có: \[\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\]\[\left| {\overline z } \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left[ { - b} \right]}^2}} \]

\[ \Rightarrow \left| z \right| = \left| {\overline z } \right|\] là mệnh đề đúng.

+] Đặt \[z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\]\[ \Rightarrow z + \overline z = 2a\]

\[ \Rightarrow \left| {z + \overline z } \right| = \left| {2a} \right|\] \[ \Rightarrow \left| {z + \overline z } \right| = 0\] là mệnh đề sai.

+] Đặt \[z = a + bi\]\[ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \ge 0\]

\[ \Rightarrow \left| z \right| > 0\] là mệnh đề sai.

Vậy có 2 mệnh đề đúng.

Chọn A.

Câu 50 [VD]

Phương pháp:

- Tính \[w = {z^2}\] rồi suy ra \[\left| {\rm{w}} \right|\].

- Giải phương trình tìm \[m\].

Cách giải:

Ta có \[z = \frac{{m + 3i}}{{1 - i}}\].

\[\begin{array}{l} \Rightarrow w = {z^2} = {\left[ {\frac{{m + 3i}}{{1 - i}}} \right]^2}\\ \Rightarrow w = \frac{{{m^2} + 6mi - 9}}{{ - 2i}}\\ = \frac{{\left[ {{m^2} - 9} \right] + 6mi}}{{ - 2i}}\\ = \frac{{\left[ {{m^2} - 9} \right]i + 6m{i^2}}}{{ - 2{i^2}}}\\ = \frac{{\left[ {{m^2} - 9} \right]i - 6m}}{2}\\ \Rightarrow \left| w \right| = \frac{{\sqrt {{{\left[ {{m^2} - 9} \right]}^2} + 36{m^2}} }}{2}\end{array}\]

Theo bài ra ta có:

\[\begin{array}{l}\left| w \right| = 9 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{{\left[ {{m^2} - 9} \right]}^2} + 36{m^2}} }}{2} = 9\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left[ {{m^2} - 9} \right]}^2} + 36{m^2}} = 18\\ \Leftrightarrow {\left[ {{m^2} - 9} \right]^2} + 36{m^2} = 324\\ \Leftrightarrow {m^4} + 18{m^2} - 243 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 9\\{m^2} = - 27\,\,\,\left[ {ktm} \right]\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \pm 3\end{array}\]

Vậy \[m = \pm 3\].

Chọn C.

Nguồn: Sưu tầm