Đề bài
Hàm số \[y = {x^3} + \left[ {m + 3} \right]{x^2} + mx - 2\] đạt cực tiểu tại \[x = 1\] khi:
A. \[m = 1\] B. \[m = 2\]
C. \[m = - 3\] D. \[m = 4\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hàm đa thức bậc ba \[y = f\left[ x \right]\] đạt cực tiểu tại \[x = {x_0}\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left[ {{x_0}} \right] = 0\\f''\left[ {{x_0}} \right] > 0\end{array} \right.\].
Lời giải chi tiết
Ta có: \[y' = 3{x^2} + 2\left[ {m + 3} \right]x + m\]; \[y'' = 6x + 2\left[ {m + 3} \right]\]
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại \[x = 1\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left[ 1 \right] = 0\\y''\left[ 1 \right] > 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 + 2\left[ {m + 3} \right] + m = 0\\6 + 2\left[ {m + 3} \right] > 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3m + 9 = 0\\
2m + 12 > 0
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 3\\m > - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 3\]
Chọn C.
Cách khác:
y' = 3x2+ 2[m + 3]x + m
Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 thì
y'[1] = 3 + 2[m + 3] + m = 3m + 9 = 0 m = -3
Với m = -3, y' = 3x2- 3 y''[x] = 6x.
Vì y''[1] = 6 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x=1. [thỏa mãn]
Vậy m = -3.