Đề bài
Cho góc vuông \[xOy,\] điểm \[A\] thuộc tia \[Ox,\] điểm \[B\] thuộc tia \[Oy.\] Gọi \[D, E\] theo thứ tự là trung điểm của \[OA, OB.\] Đường vuông góc với \[OA\] tại \[D\] và đường vuông góc với \[OB\] tại \[E\] cắt nhau ở \[C.\] Chứng minh rằng:
a] \[CE = OD;\] b] \[ CE CD;\]
c] \[CA = CB;\] d] \[CA // DE;\]
e] Ba điểm \[A, B, C\] thẳng hàng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
+] Các trường hợp bằng nhau của tam giác
+] Quan hệ từ vuông góc đến song song
+] Tính chất hai đường thẳng song song: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì tạo thành các gặp góc so le trong bằng nhau.
+] Tiên đề Ơ-clit về hai đường thẳng song song
Lời giải chi tiết
a] Vì \[CE \bot OB;\,OA \bot OB \Rightarrow EC//OA\] [quan hệ từ vuông góc đến song song]
+] Vì \[EC//OD\] nên \[\widehat {ECO} = \widehat {COD}\] [so le trong]
Xét \[\Delta OEC\] vuông tại \[E\] và \[\Delta COD\] vuông tại \[D\] có:
+] \[\widehat {ECO} = \widehat {COD}\] [chứng minh trên]
+] \[OD\] cạnh chung
Nên \[\Delta OEC = \Delta COD\left[ {ch - gn} \right]\]\[ \Rightarrow EC = OD\] [hai cạnh tương ứng]
b] Vì \[CD \bot OA;OB \bot OA \Rightarrow CD//OB\] [quan hệ từ vuông góc đến song song]
Mà \[CE \bot OB \Rightarrow CE \bot CD\] [quan hệ từ vuông góc đến song song]
c] Ta có \[CE\] là đường trung trực của đoạn \[OB \Rightarrow CB = CO\] [tính chất đường trung trực]
Và \[CD\] là đường trung trực của đoạn \[OA \Rightarrow CA = CO\] [tính chất đường trung trực]
Suy ra \[CA = CB\,\left[ { = CO} \right].\]
d] Theo câu a] ta có \[EC = OD\] mà \[OD = DA = \dfrac{{OA}}{2} \]\[\Rightarrow EC = AD\]
Xét \[\Delta CED\] và \[\Delta DAC\] có:
+] \[EC = AD\] [chứng minh trên]
+] \[\widehat {CDA} = \widehat {ECD} = 90^\circ \]
+] \[DC\] cạnh chung
Suy ra \[\Delta CED = \Delta DAC\left[ {c - g - c} \right] \]\[\Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {DCA}\]
Mà hai góc \[\widehat {CDE};\,\widehat {DCA}\] ở vị trí so le trong nên suy ra \[ED//AC\]
e] Cách 1:
Tương tự câu d] ta có \[BC//ED\]
Mà theo câu d] thì\[AC//ED\]
Theo tiên đề Ơ-clit ta suy ra \[B,C,A\] thẳng hàng.
Cách 2:
Vì \[OC=CA\] [chứng minh trên] nên tam giác \[OAC\] cân tại \[C\]
Do đó, đường cao \[CD\] cũng là đường phân giác góc ACO
Nên\[\widehat {OCA} = 2.\widehat {OCD}\]
Vì \[CB=CO\] [chứng minh trên] nên tam giác \[OBC\] cân tại \[C\]
Do đó, đường cao \[CE\] cũng là đường phân giác góc BCO
Nên\[\widehat {BCO} = 2.\widehat {ECO}\]
Mà \[CE \bot CD\] [theo câu b] nên\[\widehat {ECD} = {90^0}\]
Do đó:
\[\widehat {BCO} + \widehat {ACO} = 2\left[ {\widehat {ECO} + \widehat {OCD}} \right] \]\[= 2.\widehat {ECD} = {2.90^0} = {180^0}\]
Vậy A, C, B thẳng hàng.