Đề bài
Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] xác định trên khoảng \[\left[ {a; + \infty } \right]\]
Chứng minh rằng nếu \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left[ x \right] = - \infty \]thì luôn tồn tại ít nhất một sốcthuộc \[\left[ {a; + \infty } \right]\]sao cho \[f\left[ c \right] < 0\]
Lời giải chi tiết
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left[ x \right] = - \infty \]nên với dãy số \[\left[ {{x_n}} \right]\]bất kì, \[{x_n} > a\]và \[{x_n} \to + \infty \]ta luôn có \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left[ x \right] = - \infty \]
Do đó \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ { - f\left[ {{x_n}} \right]} \right] = + \infty \]
Theo định nghĩasuy ra \[- f\left[ {{x_n}} \right]\]có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nếu số dương này là 2 thì \[- f\left[ {{x_n}} \right] > 2\]kể từ một số hạng nàođó trởđi.
Nói cách khác, luôn tồn tại ít nhất một số \[{x_k} \in \left[ {a; + \infty } \right]\]sao cho \[- f\left[ {{x_k}} \right] > 2\]hay \[f\left[ {{x_k}} \right] < - 2 < 0\]
Đặt \[c = {x_k}\]ta có \[f\left[ c \right] < 0\]