Đề bài
Cho tam giác ABC nhọn, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
a] Chứng minh ràng bốn điểm B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn.
b] Gọi O là trung điểm AH. Chứng minh rằng E, F thuộc đường tròn [O;OA].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông: Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy.
Lời giải chi tiết
a] Gọi \[I\] là trung điểm của \[BC\].
Ta có \[\Delta BFC\] vuông tại \[F \Rightarrow IF = \dfrac{1}{2}BC = IB = IC\,\,\left[ 1 \right]\] [trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy].
\[\Delta BEC\] vuông tại \[E \Rightarrow IE = \dfrac{1}{2}BC = IB = IC\,\,\left[ 2 \right]\] [trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy].
Từ [1] và [2] \[ \Rightarrow IE = IF = IB = IC \Rightarrow \] bốn điểm \[B,\,\,F,\,\,E,\,\,C\] cùng thuộc đường tròn tâm \[I\] đường kính \[BC\].
b] Ta có:
\[\Delta AEH\] vuông tại \[E \Rightarrow OE = \dfrac{1}{2}AH = OA = OH\,\,\,\left[ 3 \right]\] [trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy].
\[\Delta AFH\] vuông tại \[F \Rightarrow OF = \dfrac{1}{2}AH = OA = OH\,\,\left[ 4 \right]\] [trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy].
Từ [3] và [4] \[ \Rightarrow OE = OF = OA = OH \Rightarrow \] bốn điểm \[A,\,\,F,\,\,E,\,\,H\] cùng thuộc đường tròn tâm \[O\] đường kính \[AH\].
Vậy \[E,F \in \left[ {O;OA} \right]\].