Đề bài
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \[\sin x + \sin 2x = \cos x + 2 \cos^2x\] là:
A. \[{\pi \over 6}\] B. \[{{2\pi } \over 3}\]
C. \[{\pi \over 4}\] D. \[{\pi \over 3}\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đưa phương trình về dạng tích, sau đó giải các phương trình lượng giác cơ bản, sử dụng công thức nhân đôi\[\sin 2x = 2\sin x\cos x\].
Sau khi tìm được các họ nghiệm, đối với mỗi họ nghiệm ta tìm nghiệm dương nhỏ nhất và chọn đáp án đúng.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[sinx + sin2x = cosx + 2cos^2x \]
\[ sinx + 2sinxcosx = cosx + 2cos^2x\]
\[ sinx[1 + 2cosx] = cos [1 + 2cosx] \]
\[ [1 + 2cosx][sinx cosx] = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
1 + 2\cos x = 0 \hfill \cr
\sin x - \cos x = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos x = - {1 \over 2} \hfill \cr
\tan x = 1 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi \hfill \cr
x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr} \right.[k \in \mathbb{Z}]\]
Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm : \[x = {{2\pi } \over 3} + k2\pi \Rightarrow x = {{2\pi } \over 3}\]
Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm: \[x = - {{2\pi } \over 3} + k2\pi \Rightarrow x = - {{2\pi } \over 3} + 2\pi = {{4\pi } \over 3}\]
Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm: \[x = {\pi \over 4} + k\pi \Rightarrow x = {\pi \over 4}\]
Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là \[x = {\pi \over 4}\]
Chọn đáp án C.
Cách khác:
Thay các nghiệm ở mỗi đáp án vào phương trình ta thấy chỉ có nghiệm\[x = \frac{\pi }{4},x = \frac{{2\pi }}{3}\] thỏa mãn phương trình.
Do\[\frac{\pi }{4} < \frac{{2\pi }}{3}\] nên ta chọn nghiệm\[x = \frac{\pi }{4}\].