Đề bài
Tam giác ABC có AB = 15, AC = 20, BC = 25. Đường phân giác của góc BAC cắt BC tại D. Qua D vẽ DE // AB [D thuộc AC].
a] Tính độ dài các đoạn thẳng DB, DC và DE.
b] Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông. Tính diện tích tam giác ABC.
c] Tính diện tích các tam giác ADB, ADE và DCE.
Lời giải chi tiết
a] ABC có AD là đường phân giác [gt] nên \[{{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\]
\[ \Rightarrow {{DB} \over {AB}} = {{DC} \over {AC}} = {{DB + DC} \over {AB + AC}} = {{BC} \over {AB + AC}}\]
Do đó \[{{DB} \over {15}} = {{DC} \over {20}} = {{25} \over {15 + 20}} = {5 \over 7}\]
\[\Rightarrow DB = {5 \over 7}.15 = {{75} \over 7},\]
\[DC = {5 \over 7}.20 = {{100} \over 7}\]
ABC có DE // AB [gt]
\[ \Rightarrow {{DE} \over {AB}} = {{DC} \over {BC}} = {{CE} \over {AC}}\] [hệ quả của định lí Thales]
\[ \Rightarrow {{DE} \over {15}} = {{{{100} \over 7}} \over {25}} = {{CE} \over {AC}}\]
\[\Rightarrow {{DE} \over {15}} = {4 \over 7} = {{CE} \over {AC}}.\]
Từ đó ta có: \[{{DE} \over {15}} = {4 \over 7}\]
\[ \Rightarrow DE = {{15.4} \over 7} = {{60} \over 7}\]
b] Ta có \[B{C^2} = {25^2} = 625\] và \[A{B^2} + A{C^2} = {15^2} + {20^2} = 625\]
Do đó \[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Rightarrow \Delta ABC\] vuông tại A [định lí Py-ta-go đảo]
\[{S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}.15.20 = 150[dvdt]\]
c] Kẻ \[AH \bot BC\] tại H
\[{S_{ABC}} = {1 \over 2}AH.BC\] và \[{S_{ABC}} = 150\]
Suy ra \[150 = {1 \over 2}AH.BC \Rightarrow 150 = {1 \over 2}.AH.25 \]
\[\Rightarrow AH = {{150.2} \over {25}} = 12[cm]\]
\[{S_{ADB}} = {1 \over 2}AH.DB = {1 \over 2}.12.{{75} \over 7} = {{450} \over 7}[dvdt]\]
Do đó \[{S_{ADC}} = {S_{ABC}} - {S_{ADB}} = 150 - {{450} \over 7} = {{600} \over 7}[dvdt]\]
ABC có DE // AB [gt] \[ \Rightarrow {{AE} \over {CE}} = {{DB} \over {DC}}\] nên \[\dfrac{{AE}}{{CE}} = \dfrac{{\frac{{75}}{5}}}{{\dfrac{{100}}{7}}} = \dfrac{3}{4}\]
Mà \[{{{S_{ADE}}} \over {{S_{DCE}}}} = {{AE} \over {CE}} = {3 \over 4} \Rightarrow {{{S_{ADE}}} \over 3} = {{{S_{DCE}}} \over 4}\]
Do đó \[{{{S_{ADE}}} \over 3} = {{{S_{DCE}}} \over 4} = {{{S_{ADE}} + {S_{DCE}}} \over {3 + 4}} = {{{S_{ADC}}} \over 7} = {{600} \over {49}}\]
\[ \Rightarrow {S_{ADE}} = {{600} \over {49}}.3 = {{1800} \over {49}}[dvdt]\] và \[{S_{DCE}} = {{600} \over {49}}.4 = {{2400} \over {49}}[dvdt]\]