Đề bài
Câu 1 [3,5điểm] :
1. Thực hiện phép tính sau [1,5điểm]
a] \[\dfrac{1}{4} + \dfrac{{ - 3}}{5}\]
b] \[\dfrac{{11}}{{37}} - \dfrac{5}{{41}} + \dfrac{{26}}{{37}} + 0,75 - \dfrac{{36}}{{41}}\]
2. Tìm x [2 điểm]
a] \[x - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\]
b] \[\left| {x + \dfrac{3}{4}} \right| - \dfrac{1}{2} = \sqrt {\dfrac{9}{4}} \]
c] \[4\dfrac{2}{3}.x - {\left[ {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right]^2} = {\left[ {2,3 - 5,7} \right]^0}\]
Câu 2 [2điểm]:
Biết 78 công nhân hoàn thành một công việc trong 56 ngày. Hỏi phải tăng thêm bao nhiêu công nhân nữa để hoàn thành công việc đó trong 42 ngày [năng suất mỗi công nhân là như nhau].
Câu 3 [1điểm]:
Cho hàm số \[y = f\left[ x \right] = - \dfrac{2}{5}x + 3\]. Tính: \[f\left[ { - 5} \right]\,\,;\,\,f\left[ {0,7} \right]\,\,;\,\,f\left[ {3\dfrac{1}{4}} \right]\].
Câu 4 [3điểm]:
Cho tam giác ABC.Gọi M là trung điểm cạnh BC. Trên tia AM lấy điểm D sao cho \[AM = MD\]
a] Chứng minh \[\Delta AMB = \Delta DMC\].
b] Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho \[HE = HA\]. Chứng minh \[\Delta HMA = \Delta HME\] và suy ra \[ME = MD\].
c] Vẽ điểm K là trung điểm của đoạn thẳng DE. Chứng minh \[\angle MED = \angle MDE\].
d] Chứng minh DE song song với BC.
Câu 5 [0,5điểm]: Cho \[\dfrac{{2bz - 3cy}}{a} = \dfrac{{3cx - az}}{{2b}} = \dfrac{{ay - 2bx}}{{3c}}\]
Chứng minh: \[\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{{2b}} = \dfrac{z}{{3c}}\].
Lời giải chi tiết
Câu 1:
1. Thực hiện phép tính sau [1,5điểm]
a] \[\dfrac{1}{4} + \dfrac{{ - 3}}{5} = \dfrac{{1.5 - 3.4}}{{20}} = \dfrac{{ - 7}}{{20}}\]
b] \[\dfrac{{11}}{{37}} - \dfrac{5}{{41}} + \dfrac{{26}}{{37}} + 0,75 - \dfrac{{36}}{{41}} \]
\[= \left[ {\dfrac{{11}}{{37}} + \dfrac{{26}}{{37}}} \right] - \left[ {\dfrac{5}{{41}} + \dfrac{{36}}{{41}}} \right] + 0,75 \]
\[= 1 - 1 + 0,75 = 0,75\]
2. Tìmx[2 điểm]
a] \[x - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2} = 2\]
b] \[\left| {x + \dfrac{3}{4}} \right| - \dfrac{1}{2} = \sqrt {\dfrac{9}{4}} \]
\[\Leftrightarrow \left| {x + \dfrac{3}{4}} \right| = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2} = 2\] [1]
TH1: \[x + \dfrac{3}{4} \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - \dfrac{3}{4}\]
[1] \[ \Rightarrow x + \dfrac{3}{4} = 2 \Leftrightarrow x = 2 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{5}{4}\,\,[N]\]
TH2: \[x + \dfrac{3}{4} < 0 \Leftrightarrow x < - \dfrac{3}{4}\]
[1] \[ \Rightarrow - x - \dfrac{3}{4} = 2\]
\[\Leftrightarrow x = - 2 - \dfrac{3}{4} = - \dfrac{{11}}{4}\,\,[N]\]
Vậy \[x = \dfrac{5}{4}\]hoặc\[x = - \dfrac{{11}}{4}\]
c] \[4\dfrac{2}{3}.x - {\left[ {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right]^2} = {\left[ {2,3 - 5,7} \right]^0}\]
\[\Leftrightarrow \dfrac{{14}}{3}x - \dfrac{4}{9} = 1 \]
\[\Leftrightarrow \dfrac{{14}}{3}x = 1 + \dfrac{4}{9} = \dfrac{{13}}{9}\]
\[ \Leftrightarrow x = \dfrac{{13}}{9}.\dfrac{3}{{14}} = \dfrac{{13}}{{42}}\]
Câu 2:
Biết 78 công nhân hoàn thành một công việc trong 56 ngày. Hỏi phải tăng thêm bao nhiêu công nhân nữa để hoàn thành công việc đó trong 42 ngày [năng suất mỗi công nhân là như nhau].
Gọi số công nhân để hoàn thành công việc đó trong 42 ngày làx[công nhân] [\[x \in {N^*},x > 78\]]
Vì số ngày và số công nhân là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:
\[78.56 = x.42 \Leftrightarrow x = \dfrac{{78.56}}{{42}} = 104\] [công nhân]
Số công nhân phải tăng thêm để hoàn thành công việc đó trong 42 ngày là: \[104 - 78 = 26\] [công nhân]
Vậy phải tăng thêm 42 công nhân để hoàn thành công việc đó trong 42 ngày.
Câu 3:
Cho hàm số\[y = f\left[ x \right] = - \dfrac{2}{5}x + 3\]. Tính:\[f\left[ { - 5} \right]\,\,;\,\,f\left[ {0,7} \right]\,\,;\,\,f\left[ {3\dfrac{1}{4}} \right]\].
\[f\left[ { - 5} \right] = \dfrac{{ - 2}}{5}.\left[ { - 5} \right] + 3 = 2 + 3 = 5\]
\[f\left[ {0,7} \right] = \dfrac{{ - 2}}{5}.0,7 + 3 = \dfrac{{ - 2}}{5}.\dfrac{7}{{10}} + 3 = \dfrac{{ - 7}}{{25}} + 3 = \dfrac{{68}}{{25}}\]
\[f\left[ {3\dfrac{1}{4}} \right] = f\left[ {\dfrac{{13}}{4}} \right] = \dfrac{{ - 2}}{5}.\dfrac{{13}}{4} + 3 = \dfrac{{ - 13}}{{10}} + 3 = \dfrac{{17}}{{10}}\]
Câu 4:
Cho tam giácABC. GọiMlà trung điểm cạnhBC. Trên tiaAMlấy điểmDsao cho\[AM = MD\]
a] Chứngminh \[\Delta AMB = \Delta DMC\].
Xét\[\Delta AMB\]và\[\Delta DMC\]có:
\[MA = MD\] [gt]; \[\angle AMB = \angle DMC\] [đối đỉnh]; \[MB = MC\][Mlà trung điểm cạnhBC]
\[ \Rightarrow \]\[\Delta AMB = \Delta DMC\] [c.g.c]
b] VẽAHvuông góc vớiBCtạiH. Trên tia đối của tiaHAlấy điểmEsao cho\[HE = HA\]. Chứng minh \[\Delta HMA = \Delta HME\]vàsuyra\[ME = MD\].
Xét\[\Delta HMA\]và\[\Delta HME\]có:
HMchung;\[\angle MHA = \angle MHE = {90^o}\] [\[AE \bot BC\]];\[HE = HA\] [gt]
\[ \Rightarrow \]\[\Delta HMA = \Delta HME\] [c.g.c]\[ \Rightarrow ME = MA\][2 cạnh tương ứng]
Mà\[MA = MD\] [gt] \[ \Rightarrow ME = MD\]
c] Vẽ điểmKlà trung điểm của đoạn thẳngDE. Chứng minh \[\angle MED = \angle MDE\].
Xét\[\Delta MKE\]và\[\Delta MKD\]có:
MKchung; \[ME = MD\] [cmt]; \[KE = KD\] [Klà trung điểm của đoạn thẳngDE]
\[ \Rightarrow \]\[\Delta MKE = \Delta MKD\] [c.c.c] \[ \Rightarrow \angle MED = \angle MDE\][2 góc tương ứng]
d] Chứng minhDEsong song vớiBC.
Ta có\[ME = MA = MD \Rightarrow ME = \dfrac{{MA + MD}}{2} = \dfrac{{AD}}{2}\]
Xét\[\Delta AED\]cóMElà trung tuyến ứng với cạnhADvà\[ME = \dfrac{1}{2}AD\] [cmt]
\[ \Rightarrow \Delta AED\]vuông tại E \[ \Rightarrow AE \bot DE\]mà\[AE \bot BC\] [gt]
\[ \Rightarrow DE//BC\][đpcm]
Câu 5:
Cho \[\dfrac{{2bz - 3cy}}{a} = \dfrac{{3cx - az}}{{2b}} = \dfrac{{ay - 2bx}}{{3c}}\]
Chứng minh: \[\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{{2b}} = \dfrac{z}{{3c}}\].
Ta có: \[\dfrac{{2bz - 3cy}}{a} = \dfrac{{3cx - az}}{{2b}} = \dfrac{{ay - 2bx}}{{3c}}\]
\[ \Rightarrow \dfrac{{2abz - 3acy}}{{{a^2}}} = \dfrac{{6bcx - 2abz}}{{4{b^2}}} \]\[\;= \dfrac{{3acy - 6bcx}}{{9{c^2}}} \]\[\;= \dfrac{{2abz - 3acy + 6bcx - 2abz + 3acy - 6bcx}}{{{a^2} + 4{b^2} + 9{c^2}}} \]\[\;= \dfrac{0}{{{a^2} + 4{b^2} + 9{c^2}}} = 0\]
[Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2bz = 3cy\\3cx = az\\ay = 2bx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{z}{{3c}} = \dfrac{y}{{2b}}\\\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{{2b}}\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{{2b}} = \dfrac{z}{{3c}}\] [đpcm]
Xem thêm: Lời giải chi tiết Đề kiểm tra học kì 1 [Đề thi học kì 1] môn Toán 7 tại Tuyensinh247.com