Định lý giá trị trung bình lớp 8 năm 2024
0% found this document useful (0 votes) 959 views 19 pages Các định lí về giá trị trung bình. Copyright© © All Rights Reserved Available FormatsPDF, TXT or read online from Scribd Share this documentDid you find this document useful?0% found this document useful (0 votes) 959 views19 pages Cac Dinh Ly Ve Gia Tri Trung Binh Va Mot So AP DungJump to Page You are on page 1of 19 CÁC ĐNH LÝ V GIÁ TRTRUNG BÌNH VÀ MT S ÁPDNG————————————– Phí Văn Dương Trưng THPT Nguyn Trãi CÁC ĐNH LÝ V GIÁ TR TRUNG BÌNH VÀ MT S ÁPDNG VÀO GII TOÁN SƠ CP Trong quá trình ging dy cho hc sinh ôn thi Đi hc và chuyên đ chohc sinh chuyên Toán cũng như bi dưng hc sinh gii Toán 12 d thi hcsinh gii quc gia, tôi nhn thy có mt vn đ nh, phương pháp chngminh đơn gin, nhưng vic áp dng nó li cho nhiu kt qu rt ln, đó làvn dng các đnh lý Rolle, Lagrange, Cauchy v giá tr trung bình vào giitoán.Vi khuôn kh như mt bài báo, tôi xin nêu các đnh lý như trong quátrình bn thân đã dy cho hc sinh, xin nêu mt s nhng kt qu mà hocsưu tm, hoc t mình đã nghiên cu đưc dù còn nh nhưng rt có ý nghĩa,kt qu này cũng đã đưc trình bày cùng các đng nghip trong t Toán catrưng THPT Nguyn Trãi.Vì thi gian hn ch, kt qu thu đưc dù đp nhưng còn nh, mong đưcs đóng góp, phê bình ca nhng đng nghip, nhng ngưi thy đi trưc,xin chân thành cm ơn! I-CÁC ĐNH LÝ V GIÁ TR TRUNG BÌNH 1 1. Đnh lý Rolle: Cho hàm s y \= f ( x ) liên tc trên [ a,b ] có đo hàm trong ( a,b ) và f ( a ) \= f ( b ) khi đó có s c ∈ ( a,b ) sao cho f ( c ) \= 0 .Ta không chng minh đnh lý này. 2. Đnh lý Lagrange: Cho y \= f ( x ) liên tc trên [ a,b ] , có đo hàm trong ( a,b ) khi đó có c ∈ ( a,b ) sao cho f ( b ) − f ( a ) b − a \= f ( c ) . Chng minh. Xét h ( x ) \= f ( b ) − f ( a ) b − a ( x − a ) − f ( x ) . D thy h ( x ) liên tc trên [ a,b ] , có đo hàm trên ( a,b ) và h ( a ) \= − f ( a ) , h ( b ) \= f ( b ) − f ( a ) − f ( b ) \= − f ( a ) \= h ( a ) . Theo Đnh lý Rolle ta có c ∈ ( a,b ) : h ( c ) \= 0 ⇒ f ( b ) − f ( a ) b − a − f ( c ) \= 0 ⇒ đpcm. 3. Đnh lý Cauchy: Cho f ( x ) và g ( x ) liên tc trên [ a,b ] , có đo hàm trên ( a,b ) , g ( a ) \= g ( b ) , g ( x ) \= 0 ∀ x ∈ ( a,b ) . Khi đó có c ∈ ( a,b ) : f ( b ) − f ( a ) b − a \= f ( c ) g ( c ) (1.1) Chng minh. Có (1 . 1) ⇔ f ( c )[ g ( b ) − g ( a )] − [ f ( b ) − f ( a )] g ( c ) \= 0 . Xét hàms h ( x ) \= [ g ( b ) − g ( a )] f ( x ) − [ f ( b ) − f ( a )] g ( x ) . D thy h ( x ) tha mãn điu kin ca đnh lý Rolle h ( a ) \= h ( b ) \= g ( b ) f ( a ) − f ( b ) g ( a ) , do đó có c ∈ ( a,b ) : h ( c ) \= 0 , hay f ( c )[ g ( b ) − g ( a )] − [ f ( b ) − f ( a )] g ( c ) \= 0 . 2 II-MT S ÁP DNG1. Bài toán 1: Cho a,b,c ∈ R , m \> 0 sao cho am + 2 + bm + 1 + cm \= 0 . Chng minh rng phương trình ax 2 + bx + c \= 0 có ít nht mt nghim trong (0 , 1) . Chng minh. Xét hàm s f ( x ) \= ax m +2 m +2 + bx m +1 m +1 + cx m m vi x \> 00 vi x \= 0 , d dang kim tra đưc f ( x ) liên tc trên [0 , 1] và ∀ x \> 0 có f ( x ) \= ax m +1 + bx m + cx m − 1 .Li có f (1) = am + 2 + bm + 1 + cm \= 0 (gt) f (0) = 0 . Theo đnh lý Rolle, có θ ∈ (0 , 1) sao cho f ( θ ) \= 0 ⇒ aθ m +1 + bθ m + cθ m − 1 \= 0 ⇒ θ m − 1 ( aθ 2 + bθ + c ) \= 0 ⇒ aθ 2 + bθ + c \= 0 (do θ ∈ (0 , 1) nên θ m − 1 \> 0 ) ⇒ Phương trình ax 2 + bx + c có nghim θ ∈ (0 , 1) . 2. Bài toán 2: Chng minh rng ∀ x,y ∈ R có | sin x − sin y
x − y | .3 Reward Your CuriosityEverything you want to read. Anytime. Anywhere. Any device. No Commitment. Cancel anytime. |
