Đồ thị hàm số 2 1 1 x y x có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

Phần 1: Biết đồ thị hàm số y f x=

[ ]

Dạng 1: Biết đồ thị của hàm số y f x=

[ ]

, tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số y f x=

[ ]

, trong bài tốn khơng chứa tham số.

Câu 1. Cho hàm số y f x=

[ ]

có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 4 . B. 2 . C. 1. D. 3.

Lời giảiChọn A

Từ đồ thị hàm số ta thấy:

[ ]

lim 1

x→−∞ f x = − nên đường thẳng y = − là một đường tiệm cận ngang. 1

[ ]

lim 1

x→+∞ f x = nên đường thẳng y = là một đường tiệm cận ngang. 1

Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = ± . 1Tương tự

[ ]

2

lim

x→− + f x = +∞ và xlim→−2− f x

[ ]

= −∞ nên đường thẳng x = −2 là đường tiệm cận

đứng.

[ ]

2

lim

x→ − f x = +∞ và và xlim→2+ f x

[ ]

= −∞ nên đường thẳng x = −2 là đường tiệm cận

đứng.

Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.

Câu 1. Cho hàm số y f x=

[ ]

có đồ thị như hình vẽ. Phương trình đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

A. Tiệm cận đứng x =1, tiệm cận ngang y = . 2

B. Tiệm cận đứng x = −1, tiệm cận ngang y = . 2

C. Tiệm cận đứng x = , tiệm cận ngang1 y = −2.

D. Tiệm cận đứng x = −1, tiệm cận ngang y = − . 2

Lời giải Chọn B

Dựa vào đồ thị ta có

[ ]

[ ]

1lim

x→ − − f x = +∞ và x 1lim → −[ ]+ f x

[ ]

= +∞ nên đường thẳng x = − là tiệm cận 1

đứng của đồ thị hàm số y f x=

[ ]

.

[ ]

lim 2

x→−∞ f x = và xlim 2 → ∞+ f x

[ ]

= nên đường thẳng y = là tiệm cận ngang của đồ 2

thị hàm số y f x=

[ ]

.

A. Tiệm cận đứng x = −2, tiệm cận ngang y = . 1

B. Tiệm cận đứng x =2, tiệm cận ngang y = − . 1

C. Tiệm cận đứng x =1, tiệm cận ngangy = −2.

D. Tiệm cận đứng x = −1, tiệm cận ngang y = . 2

Lời giải Chọn A

Dựa vào đồ thị ta có

[ ]2

[ ]

lim

x→ − − f x = +∞ và x→ −lim [ ]2+ f x

[ ]

= −∞ nên đường thẳng x = −2 là tiệm cận đứng

của đồ thị hàm số y f x=

[ ]

.
+] lim 1

[ ]

x→−∞ f x = và lim 1x→+∞ f x

[ ]

= nên đường thẳng y = là tiệm cận ngang đứng 1

của đồ thị hàm số y f x=

[ ]

.

Câu 3. Cho hàm số y f x=

[ ]

có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

A. 1. B. 2 . C. 3. D. 0.

Lời giải Chọn B

Từ đồ thị của hàm số y f x=

[ ]

ta có lim

[ ]

1

x→+∞ f x = nên đường thẳng y = là 1

đường tiệm cận ngang.
Tương tự lim

[ ]

1

x→−∞ f x = − nên đường thẳng y = − là đường tiệm cận ngang. 1

Vậy đồ thị hàm số y f x=

[ ]

có 2 đường tiệm cận ngang.

Câu 4. Cho hàm số y f x=

[ ]

. Có đồ thị như hình vẽ.

Đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 .

Lời giải

Chọn D

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị của hàm số ta có
[ ]1

[ ]

lim

x→ − + f x = +∞ và x→ −lim[ ]1− f x

[ ]

= −∞ nên đường thẳng x = − là đường tiệm cận 1

đứng.

[ ]

1

lim

x→+ f x = +∞ và limx→1− f x

[ ]

= −∞ nên đường thẳng x =1 là đường tiệm cận đứng.

[ ]

2

lim

x→ + f x = +∞ và và xlim→2− f x

[ ]

= −∞ nên đường thẳng x = − là đường tiệm cận 2

đứng.

Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận đứng là x = ±1 và x =2. Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.

[ ]

lim 1

x→−∞ f x = và xlim→+∞ f x

[ ]

=1 nên đường thẳng y = là một đường tiệm cận 1

Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là y = . 1

Câu 5. Cho hàm số y f x=

[ ]

có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x=

[ ]

là

A. 4 . B. 3. C. 2 . D. 6 .

Lời giải Chọn A

Dựa vào đồ thị của hàm số y f x=

[ ]

ta có:

[ ]

1

lim

2

x→−∞ f x = − nên đường thẳng

12

y = − là một đường tiệm cận ngang của đồ thị

hàm số y f x=

[ ]

.

[ ]

1lim

2

x→+∞ f x = nên đường thẳng

12

y = là một đường tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số y f x=

[ ]

.

⇒ Đồ thị hàm số y f x=

[ ]

có hai đường tiệm cận ngang là 12y = ± .

[ ]

12

limx

f x

−

 → −  

= −∞ và

[ ]

12

limx

f x

+

 → −  

= +∞ nên đường thẳng 12

x = − là đường tiệm

[ ]

12

limx

f x

−

 →  

= −∞ và

[ ]

12

limx

f x

+

 →  

= +∞ nên đường thẳng 12

x = là đường tiệm cận

đứng của đồ thị hàm số y f x=

[ ]

.

⇒ Đồ thị hàm số y f x=

[ ]

có hai đường tiệm cận đứng là 12

x = ±

Vậy đồ thị hàm số y f x=

[ ]

có tất cả 4 đường tiệm cận.

Câu 6. Cho hàm số y f x=

[ ]

có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x=

[ ]

là:

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

Lời giải Chọn B

Dựa vào đồ thị của hàm số y f x=

[ ]

ta có:

[ ]

lim 1

x→−∞ f x = nên đường thẳng y =1 là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm

số y f x=

[ ]

.

[ ]

lim 3

x→+∞ f x = nên đường thẳng y =3 là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm

[ ]

0

lim

x→ − f x = +∞ và xlim→0+ f x

[ ]

= +∞ suy ra đường thẳng x =0 là tiệm cận đứng của

đồ thị hàm số y f x=

[ ]

.

Vậy đồ thị hàm số y f x=

[ ]

có tất cả 3 đường tiệm cận.

Câu 7. Cho đồ thị hàm số y f x=

[ ]

như hình vẽ dưới đây:

Tổng số tiệm cận của đồ thị hàm số là:

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4

Lời giải Chọn B

Dựa vào đồ thị hàm số ta có

lim 1

x→±∞y= nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang y = và 1 limx→1±y= +∞ nên đồ thị

hàm số có 1 tiệm cận đứng x =1. Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.

Câu 8. Cho đồ thị hàm số y f x=

[ ]

có hình vẽ dưới đây.

Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số là:

Lời giải

Chọn C

Ta có: lim

[ ]

2

x→±∞ f x = nên đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là y = 2

Lại thấy:

[ ]

1

lim

x→−+ f x = +∞ và xlim→1− f x

[ ]

= +∞ nên đồ thị hàm số có 2 đường tiệm

cận ngang là x= −1;x=1

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận

Câu 9. Cho hàm số y f x=

[ ]

có đồ thị như hình vẽ.

Gọi a là số đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Giá trị của biểu thức a2+a bằng

A. 6. B. 12. C. 20. D. 30.

Lời giải Chọn B

Dựa vào đồ thị ta có

[ ]

[ ]

1

lim lim

2

x→−∞ f x =x→+∞ f x = . Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là

12

y = .

[ ]

12

limx

f x

+

→

= +∞,

[ ]

12

limx

f x

−

→

= −∞ Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là 12

x =

[ ]

12

limx

f x

+

→−

= −∞,

[ ]

12

limx

f x

−

→−

= +∞suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

12

Đồ thị hàm số có 3 tiệm cận ⇒ =a 3. Vậy a2+ =a 12

Câu 10. Cho hàm số bậc ba y f x=

[ ]

có đồ thị là đường cong hình bên dưới.

xy

4

-12

O 1

Đồ thị hàm số

[ ]

[

]

[

]

[ ]

[ ]

2

2

1 1

2

x x

g x

f x f x

− −

=

− có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải Chọn D

Ta xét mẫu số:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

2 2 0 0 1

2 2

f x

f x f x

f x

=

− = ⇔ 

=

 .

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy:

xy

4

y=2

-12

+] Phương trình

[ ]

1 có nghiệm x a1= < −1 [nghiệm đơn] và x = [nghiệm kép] 2 1

[ ] [

][

]

2

1

f x x a x

⇒ = − − .

+] Phương trình

[ ]

2 có nghiệm x b3 = ∈

[

a; 1−

]

, x = và 4 0 x5 = >c 1

[ ]

2

[

] [

]

f x x b x x c

⇒ − = − − .

Do đó

[ ]

[

[ ] [ ]

]

[

]

2

1 1

2

x x

g x

f x f x

− −

=

−

 

 

[

] [

]

[

][

] [

] [

] [

][

] [

]

2

2

1 1 1

1 .

x x x

x a x b x x c

x a x x b x x c

− + +

= =

− − −

− − − − .

⇒ đồ thị hàm số y g x=

[ ]

có 4 đường tiệm cận đứng.

Câu 11. Cho hàm số bậc ba y f x=

[ ]

có đồ thị như hình vẽ bên.

Đồ thị hàm

[

]

[ ]

[ ]

2 2

2

4 3

2

x x x x

y

x f x f x

+ + +

=

 − 

  có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A.2 . B. 3. C. 4 . D. 6 .

Ta thấy phương trình bậc ba f x = có 3 nghiệm phân biệt là

[

2

]

x c

1

= < −

3

, 2

x b

=

. với 3− < < −b 1 và

x = −

3

1

.

Và phương trình bậc ba

f x =

[ ]

0

có nghiệm kép

x = −

3

và nghiệm đơn

x a

=

với 1− <  − m 1

• Khi x= ⇒ = −0 y 2 b 2

c

⇒ = − ⇒ = −b 2c

• Tiệm cận đứng: x= −1 m; tiệm cận ngang: y m=Suy ra: c 1 m

a m

− = −

 =

1

c ma m

= −

⇔  =

 ⇒ = − = −b 2c 2m+2 [thỏa điều kiện] Nên: P a b c m= + + = −2m+ + − =2 m 1 1

Câu 3. Cho hàm số y

[

2m 1

]

x 3x m

− −

=

− có đồ thị như hình dưới đây

Có bao nhiêu giá trị ngun của tham số m để tâm đối xứng của đồ thị hàm số nằm trong đường tròn tâm gốc tọa độ O bán kính bằng 2019 ?

A. 40 . B.0 . C. 1. D.

38.

Từ dạng đồ thị của hàm số ta suy ra

[

]

[

]

2

[

]

2 1 3 0 2 1 3 0 1 3

2

m m

y m m m

x m

− − +

′ = > ⇒ − − + > ⇔ − < 

= >

 ⇔ >

− ≤ ≤ ∈



 

.

Kết hợp với điều kiện trên ta suy ra m = . 1

Câu 4. Cho hàm số

[ ]

nx 1

x m
y f x= = +

+ ;

[

mn ≠ xác định trên 1

]

R − , liên tục trên từng \ 1

{ }

khoảng xác định và có đồ thị như hình vẽ bên:

Tính tổng m n+ ?

A. m n+ =1. B. m n+ = −1. C. m n+ =3. D. m n+ = −3.

Lời giải Chọn C

Đồ thị hàm số

[ ]

nx 1

x my f x= = +

+ ;

[

mn ≠ có hai đường tiệm cận 1

]

x= − = −m 1;

2 1

y n= = ⇒ =m ; n= ⇒ + = 2 m n 3

Dạng 3: Biết đồ thị của hàm số y f x=

[ ]

, tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số y g x=

[ ]

, trong bài tốn khơng chứa tham số.

Câu 1. Cho hàm số bậc ba f x

[ ]

=ax bx cx d3+ 2 + +

[

a b c d ∈ có đồ thị như hình vẽ , , ,

]

Hỏi đồ thị hàm số

[ ]

[

]

[ ]

[ ]

2

2

3 2 1

x x x

g x

x f x f x

− + −

=

 − 

  có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 3. B. 4. C. 5. D.

6.

Lời giải Chọn A

Xét phương trình:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

2

0

0 0

1

x

x f x f x f x

f x

 =

 − = ⇔ =

 

 =



+] Từ điều kiện x≥ ⇒ =1 x 0 không là tiệm cận đứng.

+] Từ đồ thị ⇒ phương trình

[ ]

0

[

1

]

2

x a af x

x

= ∀ →

 

  



nên đồ thị hàm số y g x=

[ ]

có 3 đường tiệm cận đứng : x = , x a1 = , x b= .

Mặt khác: lim

[ ]

0

x→+∞g x = ,

[ ]

1lim

7

x→−∞g x = − nên đồ thị hàm số y g x=

[ ]

có 2 đường

tiệm cận ngang: y = , 0 17y = − .

Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số y g x=

[ ]

là 5.

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

[ ]

2

3 2

y

f x

=

−là

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Lời giải Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra: lim

[ ]

1

x→+∞ f x = , xlim→−∞ f x

[ ]

= +∞

Do đó: lim 3

[ ]

2 1

x→+∞ f x − = , xlim 3→−∞ f x

[ ]

−2= +∞

Suy ra:

[ ]

2

lim 2

3 2

x→+∞ f x − = ,

[ ]

2

lim 0

3 2

x→−∞ f x − =

Hay: Đồ thị hàm số

[ ]

2

3 2

y

f x

=

− có 2 tiệm cận ngang là y = , 0 y = . 2

Dựa vào bảng biến thiên suy ra : Phương trình 3f x − =

[ ]

2 0 có 4 nghiệm thực phân biệt.

Giả sử 4 nghiệm đó là x ∈ −∞ −1

[

; 1

]

, x ∈ −2

[

1;0

]

, x ∈3

[ ]

0;1 , x ∈ + ∞4

[

1;

]

. Dựa vào bảng biến thiên suy ra:

[ ]

1

lim 0

x x→ + f x = ,

[ ]

[ ]

1

2 lim 2

3 x x 3 2

f x

f x

+

→

< ⇒ = −∞

− .

Hay: x x= 1 là 1 tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=3f x

[ ]

2 −2.

Tương tự, ta có:

[ ]

2

2lim

3 2

x x→ + f x − = −∞,

[ ]

3

2lim

3 2

x x→ + f x − = −∞,

[ ]

4

2lim

3 2

x x→ + f x − = +∞

Suy ra đồ thị hàm số

[ ]

2

3 2

y

f x

=

− có 4 tiệm cận đứng là x x= 1 , x x= 2, x x= 3, 4

Vậy đồ thị hàm số

[ ]

2

3 2

y

f x

=

− có tất cả 6 tiệm cận đứng và tiệm cận ngang .

Câu 7. Cho hàm số y f x=

[ ]

có bảng biến thiên sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

[ ]

[ ]

2

f xy

f x

=

− bằng

A. 4 . B. 3. C. 2 . D. 1.

Lời giải Chọn D

Đặt

[ ]

[ ]

[ ]

2

f xg x

f x

=

− .

Tập xác định: D = \ 1

{ }

[ với mọi] Ta có:

+/ TCĐ : Do f x >

[ ]

2∀ x ∈\ 1

{ }

⇒ đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng.+/ TCN : Xét

[ ]

[ ]

[ ]

lim lim

2

x x

f xg x

f x

→−∞ = →−∞ − = +∞;

[ ]

[ ]

[ ]

5

lim lim

2 3

x x

f xg x

f x

→+∞ = →+∞ − =

⇒ đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là đường thẳng 53

y = .

Vậy tổng số TCĐ và TCN của đồ thị hàm số bằng 1 .

Câu 8. Hàm số y f x=

[ ]

xác định trên \ 1;1

{

−

}

, có đạo hàm trên \ 1;1

{

−

}

và có bảng biến thiên như sau :

x

y′

y

−∞

−1

0

1 +∞

0

−

−

+

+

+∞ +∞ +∞

−∞

−∞

0

1

Đồ thị hàm số

[ ]

11y

f x=

− có bao nhiêu tiệm cận [tiệm cận đứng và tiệm cận ngang]?

Lời giải Chọn C

Nhìn vào bảng biến thiên ta có

[ ]

[ ]

1

lim 0 lim 1

1

x→+∞ f x = ⇒x→+∞ f x − = − ;

[ ]

[ ]

1

lim lim 0

1x→−∞ f x = +∞ ⇒x→−∞ f x − = .

⇒ đồ thị hàm số

[ ]

11

yf x

=

− có hai tiệm cận ngang là hai đường thẳng y = − ; 10

y = .

[ ]

1 0 ; 1

1

x a af x

x

= < −

− = ⇔  =

 .

[ ]

[ ]

0 0

1

lim 1 lim

1

x→ f x = ⇒ x→ f x − = +∞. Vì f x > khi

[ ]

1 x →0 .

Tương tự , lim

[ ]

11

x a→ + f x − = −∞ nên đồ thị hàm số

[ ]

11

y

f x

=

− có hai tiệm cận đứng là hai đường thẳng x a= ; x = . 1

Vậy hàm số

[ ]

11

y

f x

=

− có 4 đường tiệm cận .

Câu 9. Cho hàm số bậc bốn y f x=

[ ]

có bảng biến thiên như sau :

Hỏi đồ thị

[ ]

[ ]

[ ]

[

]

2 2

2 2 2 5 4 10 3 5 2 8 4

f x x x

y

f x f x x x x x x

+=

 −  + − − + +

  có bao nhiêu tiệm

cận đứng và ngang?

A. 7 . B. 6 . C. 5. D. 4.

Lời giải Chọn C

Đặt

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[

]

[ ]

[

[ ]

][

]

[

]

2 2 2

2 5 4 3 2 2 2

.

2 2 10 5 8 4 2 4 1 2 1

f x x x f x x x

g x

f x f x x x x x x f x x x x

+ += = −  + − − + +  −  − − + 

[

][

]

[ ]

[

][

]

[

]

[ ]

[

][

][

]

2 2 2 2

2 2

1 2

2 2 1 2 1

2 4 1 2 1

ax x x x x ax x x

f x x x x

f x x x x

− − + +== =− + + + − − − +    

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình f x = có 2 nghiệm

[ ]

2 x a

x b

= =

 trong

đó 0

2ab

Với điều kiện x2+ ≥x 0 thì phương trình

[ ]

[

][

][

]

21

2 2 1 2 1 0

xx

f x x x x

x ax b= − = −− + + + = ⇔    = =

Lại có

[ ]

[ ]

[

][

][

]

2 2

2 2

lim lim

2 2 1 2 1

x x

ax x xg x

f x x x x

→− →−

+

= = ∞

− + + +

 

  , suy ra có tiệm cận

đứng x = −2

[ ]

[ ]

[

2 2

][

][

]

1 1

lim lim

2 2 1 2 1

x x

ax x xg x

f x x x x

→− →−

+

= = ∞

− + + +

 

  , suy ra có tiệm cận đứng

1

x = −

[ ]

[ ]

[

2 2

][

][

]

lim lim

2 2 1 2 1

x a x a

ax x xg x

f x x x x

→ →

+

= = ∞

− + + +

 

  , suy ra có tiệm cận đứng

x a=

[ ]

[ ]

[

2 2

][

][

]

lim lim

2 2 1 2 1

x b x b

ax x xg x

f x x x x

→ →

+

= = ∞

− + + +

 

  , suy ra có tiệm cận đứng

x b=

⇒ Hàm số g x có 4 tiệm cận đứng.

[ ]

Ta suy ra: lim

[ ]

lim

[ ]

[

2

][

2

][

]

0

2 2 1 2 1

x x

ax x x

g x

f x x x x

→∞ →∞

+

= =

− + + +

 

 

⇒ Hàm số g x

[ ]

có 1 tiệm cận ngang y = 0

Câu 10. Cho hàm số y f x=

[ ]

xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau :

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

[ ]

[

3 1

]

2 5

y g x

f x x

= =

+ − là

A. 2. B. 4. C. 3. D. 1.

Lời giải Chọn C

+ Ta có:

[ ]

[

3

]

1

lim lim 0

2 5

x→+∞g x =x→+∞ f x + x − = ;

[ ]

[

3

]

1

lim lim 0

2 5

x→−∞g x =x→−∞ f x + x − = .

Đồ thị hàm số y g x=

[ ]

có 1 tiệm cận ngang là đường thẳng y = . 0
+ Đặt u x= 3+2x, khi đó f x

[

3+2x

]

− =5 0 trở thành:

[ ]

5 0

f u − = ⇔ f u

[ ]

=5

[

2

]

1

u a au

= < −

⇔  =

 .

+ Với u a= ⇒x3+2x a=

Xét hàm số h x

[ ]

=x3+2x có h x′

[ ]

=3x2+ >2 0, ∀ ∈ x nên h x

[ ]

đồng biến

trên

[

−∞ + ∞;

]

, mà phương trình bậc ba có ít nhất 1 nghiệm nên phương trình

3 2

x + x a= có nghiệm duy nhất giả sử là x1.

+ Với u =1 ⇒x3+2x=1 do chứng minh trên nên phương trình cũng có 1

+ Do x , 1 x không là nghiệm của tử số của 2 g x nên giới hạn của

[ ]

g x khi

[ ]

x

dần tới x và giới hạn của 1 g x

[ ]

khi x dần tới x đều là vô cực. 2

Suy ra đồ thị hàm số y g x=

[ ]

có 2 tiệm cận đứng là x x= 1 và x x= 2.

+ Vậy, tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y g x=

[ ]

là 3.

Câu 11. Cho hàm số đa thức bậc bốn y f x=

[ ]

có BBT như sau:

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

[ ] [

]

[ ]

[ ]

2

1 3

3

x x

g x

f x f x

− +

=

+ là :

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

Lời giải Chọn C

Xét PT

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

2 3 0 0

3

f x

f x f x

f x

=

+ = ⇔ 

= −

 trong đó:

[ ]

[ ]

[

]

1

2

3

0 1;

2 [ ]

2;

x

f x x x ng kép

x x

 = −

= ⇔ = ∈

 = ∈ +∞

[ ]

[

]

[

]

3

4

1 [ ]

3 ; 3 [ / 3]

2;

ng kép

kox

f x x x do

x x

t m x

 =

= − ⇔ = ∈ −∞ − ≥ −

 = ∈ +∞

Kiểm tra các giới hạn ta thấy đồ thị hàm số

[ ] [

]

[ ]

[ ]

2

1 3

3

x x

g x

f x f x

− +

=

+ có 5 tiệm cận đứng là

0

Câu 1. Cho hàm số y f x=

[ ]

có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số

[ ]

2

[ ]

2

[ ]

2

[ ]

19

f x f x

y g x

f x

+ +

= =

− có tổng số tất cả các đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang là

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

Lời giải Chọn C

Ta có

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

2

2 1

1

lim lim 9 1

1

x x

f x f xg x

f x

→−∞ →−∞

+ +

= =

− và

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

2

2 1

1

lim lim 9 1

1

x x

f x f xg xf x→−∞ →−∞+ += =− .

Suy ra đường thẳng y = là tiệm cận ngang của đồ thị 1 y g x=

[ ]

.

[ ]

[

[ ]

[

[ ]

]

[

1

[ ]

]

2

]

3 3

f xy g x

f x f x

+

= =

− + .

Dựa vào BBT ta có

[ ]

0

3 1

4

x

f x x a

x b

=

= ⇔ = < − = >

.

Với x> ⇒0 f x

[ ]

⇒ f x

[ ]

⇒ f x

[ ]

>3,

[ ]

[

[ ]

]

[ ]

21lim lim3 3

x b x a

f xg x

f x f x

+ +

→ →

+

= = +∞

− + suy ra đường thẳng x b= là tiệm cận đứng.

Dựa vào BBT ta có

[ ]

3 ,0 4

, 4

x c c

f x

x d d

= <

Với x c> ⇒ f x

[ ]

< −3,

[ ]

[

[ ]

[

[ ]

]

[

[ ]

]

]

2

1

lim lim

3 3

x c x c

f xg x

f x f x

+ +

→ →

+

= = +∞

− + suy ra đường thẳng x c=là tiệm cận đứng.

Với x d> ⇒ f x

[ ]

> −3 ,

[ ]

[

[ ]

]

[ ]

[

]

[

[ ]

]

2

1

lim lim

3 3

x c x c

f xg x

f x f x

+ +

→ →

+

= = +∞

− + suy ra đường thẳng

x d= là tiệm cận đứng.

Vậy tổng số các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị y g x=

[ ]

là 6.

Dạng 8: Biết BBT của hàm số y f x=

[ ]

, tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

[ ]

y g x= , trong bài toán tham số.

Câu 1. Cho hàm số y f x=

[ ]

bảng biến thiên như sau:

Số giá trị m∈ , m∈ −

[

10;10

]

để đồ thị hàm số

[ ]

[ ]

[ ]

1

f xy g x

f x m

= =

− + có 4 đường tiệm cận là:

A. 5. B. 4. C. 10. D. 21.

Lời giải Chọn A

+ Ta có

[ ]

[ ]

[ ]

5

lim lim

1 6

x x

f xg x

f x m m

→−∞ = →−∞ − + = −

[ ]

[ ]

[ ]

2

lim lim

1 3

x x

f xg x

f x m m

→+∞ = →+∞ − + = −

- Xét với m = thì đồ thị hàm số 6 y g x= [ ]nhận đường thẳng có phương trình 23

y = − là TCN

Khi đó phương trình: f x

[ ]

= − =m 1 5 có 2 nghiệm phân biệt ⇒ ĐTHS có 2 TCĐ ⇒ ĐTHS có 3 đường tiệm cận ⇒m =6 [không thỏa mãn].

- Xét m = ⇒3 ĐTHS y g x=

[ ]

nhận đường thẳng có phương trình 53

Khi đó phương trình: f x

[ ]

= − =m 1 2 có 1 nghiệm ⇒ ĐTHS có 1 TCĐ ⇒ ĐTHS có 2 đường tiệm cận ⇒m = [không thỏa mãn]. 3

- Với m ≠3 và m ≠6 thì đồ thị hàm số y g x=

[ ]

nhận 2 đường thẳng có phương trình 5

6

y

m

=

− ;

23

y

m

=

− là TCN

Xét phương trình: f x m

[ ]

− + = ⇔1 0 f x

[ ]

= −m 1

[ ]

*

Để ĐTHS y g x=

[ ]

có 4 đường tiệm cận thì

[ ]

* có 2 nghiệm phân biệt

[ ] { }

2;3 4

[

6;

]

m

⇒ ∈   + ∞

Do ĐK nên m∈

[ ] { } [

2;3  4  6;+ ∞

]

Vậy m∈

[ ] { } [

2;3  4  6;+ ∞

]

do m∈ , m∈ −

[

10;10

]

nên m∈

{

4;7;8;9;10

}

Câu 2. Cho hàm số y f x=

[ ]

có bảng biến thiên như sau

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y g x

[ ]

[ ]

f x2

[ ]

f x m

= =

− có đúng 3 tiệm cận đứng.

A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 .

Lời giải Chọn B

Ta có:

[ ]

[ ]

2

[ ]

2 2

lim lim

x x

f xg x

f x m

− −

→ = → − = +∞ nên m∀ , đồ thị hàm số y g x=

[ ]

ln có một tiệm cận đứng

2

x = .

Mặt khác, từ bảng biến thiên của hàm số y f x=

[ ]

thì phương trình f x m

[ ]

− =0 tối đa 2
nghiệm. Vậy để đồ thị hàm số y g x=

[ ]

có đúng 3 tiệm cận đứng thì điều kiện cần là phương
trình f x

[ ]

=m có đúng 2 nghiệm phân biệt x1, x khác 2 2 ⇔ < 



. C.

[ ]

[ ]

0 02 0gg>− >

 . D.

Lời giải Chọn B

Đồ thị hàm số 1 2[ ]

2

y

xf x

=

−

có 4 đường tiệm cận đứng ⇒ Phương trình [ ] 2 02

x

f x − = phải

có 4 nghiệm phân biệt ⇔ Đồ thị hàm số

[ ]

= [ ]− 22

x

g x f x cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.

Ta có: g x′

[ ]

= f x x′

[ ]

− .

[ ]

0

[ ]

0 0 0

g′ = f′ − = , g′

[ ]

1 = f′

[ ]

1 1 0− = , g′

[ ]

− =2 f′

[ ]

− + =2 2 0.
Từ đồ thị hàm số y f x= ′

[ ]

suy ra

• f x′

[ ]

< ∀ ∈x x,

[ ] [

0;1 ∪ −∞ − ⇒; 2

]

g x′

[ ]

< ∀ ∈0, x

[ ] [

0;1 ∪ −∞ −; 2

]

.
• f x′

[ ]

> ∀ ∈x x;

[

1;+ ∞ ∪ −

] [

2;0

]

⇒g x′

[ ]

> ∀ ∈0, x

[

1;+ ∞ ∪ −

] [

2;0 .

]

.
Bảng biến thiên của hàm số y g x=

[ ]

.

Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số y g x=

[ ]

cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

[ ]

[ ]

[ ]

0 0

1 0 .

2 0

ggg

>

⇔ 2.

Dựa vào bảng biến thiên của [ ]h x ta thấy [ ] 0h x = có 2 nghiệm phân biệt khác−1. Vậy [ ]g x có 2 tiệm cận đứng.

Câu 6. Cho hàm số y f x=

[ ]

có đạo hàm liên tục trên đoạn

[

−3;3

]

và đồ thị hàm số y f x= '

[ ]

như
hình vẽ. Đặt

[ ]

[ ]

3 2 .

2 4

h x

f x x

=

+ + Biết rằng f

[ ]

1 = −24. Hỏi trên đoạn [−3;3

]

đồ thị hàm
sốy h x=

[ ]

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?

A. 1. B. 4. C. 2 . D. 0 .

Lời giải Chọn D.

Xét hàm số

[ ]

[ ]

2

[ ]

[

[ ]

]

[ ]

3

2 4 ' 2. ' 0 ' 1 .

3

x

g x f x x g x f x x f x x x

x

= −

= + + ⇒ = + = ⇔ = − ⇔ =

Gọi a là nghiệm của phương trình f x ='

[ ]

0. Ta có:

[ ]

3

[ ]

[ ]

[ ]

[

[ ]

[ ]

]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

3

' ' 3 3 3 3 3 3 .

a

a

f x dx f x dx f a f f f a f f g g

−

< ⇔ − − < − − ⇔ − > ⇔ − >

∫

∫

Lại có: 3

[ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

1

' 4 3 1 4 3 1 4 3 39 3 0.

g x dx< ⇔g −g < ⇔g