Giải bài tập toán cao cấp phương trình vi phân năm 2024

Chương 7

####### PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

7. Phương trình vi phân cấp 1

7.1. Các khái niệm

Phương trình vi phân cấp 1 có dạng tổng quát:

/ / F[x,y,y ] 0 hay y f[x,y]  [7]

Hàm số y [x]  xác định và khả vi trên khoảng I được gọi là nghiệm của

phương trình [*] trên I, nếu

/

[x, [x]] G, x I

[x] f [x, [x]], x I

          

với G là tập xác định của hàm f[x,y]

Bài toán Cauchy: Tìm hàm số y [x]  là nghiệm của phương trình [*] thỏa mãn

điều kiện đầu y 0  [x ]. 0

7.1. Phương trình vi phân cấp 1 dạng tách biến

Có 3 dạng sau:

/ y f[x]g[y] [7]

f[x]dx g[y]dy 0  [7]

f [x]g [y]dx f [x]g [y]dy 0 1 1  2 2  [7]

Phương pháp giải

Phân ly biến số x và dx về một vế; y và dy về một vế rồi lấy tích phân hai vế

Ví dụ 1. Giải phương trình vi phân sau

/ x y e

1.  

4 x sin x dx 5y dy 0  

/ 2 y xy 2xy 

Giải

/ x x y e dy e dx   [1]

Lấy tích phân 2 vế của phương trình [1]

x y e C  [C là hằng số]

1.  

4 x sin x dx 5y dy 0   [2]

Lấy tích phân 2 vế của phương trình [2]

 

4 x sinx dx 5y dy C  

 

125 x cosx y C 2

    [với C là hằng số]

/ 2 y xy 2xy  [3]

Phương trình [3] được viết lại như sau

dy 2 xy 2xy xy[y 2] dy xy[y 2]dx dx

       [4]

Trường hợp 1: Nếu y 0, 2  là nghiệm của phương trình

Trường hợp 2: Nếu y 0, 2  , chia hai vế của phương trình [4] cho y[y 2] , ta

được

dy xdx y[y 2]

 

,

Lấy tích phân hai vế của phương trình trên, ta có

dy 1 1 1 xdx C dy xdx C y[y 2] 2 y y 2

             

   

 

112 ln y ln y 2 x C 2 2

    

y 2 ln x C y 2

   

[với C là hằng số]

7.1. Phương trình vi phân cấp 1 dạng đẳng cấp

Phương trình đẳng cấp có dạng:

/ y y f x

      

[7]

Phương pháp giải

Đặt

y / / u y ux y u x u x

     

/ F x,u,u 0 [7]

Giải [7] được u rồi suy ra y

Đặt

v / / t v tu v t u t u

      thế vào [3], ta được

2 / 3 t / 2 t t t u t t u 1 t 1 t

        

2

1 t 1 dt du 2 t t u

    

Lấy tích phân hai vế của phương trình trên, ta có

2

1 t 1 dt du C 2 t t u

    

 

1 2 1 dt ln u C 3 t 1 t 2

            

####### 

 

1 2ln t 1 ln t 2 ln u C 3

      

Vậy

y 2 y 2 2ln 1 ln 2 3ln x 1 C x 1 x 1

          

7.1. Phương trình vi phân cấp 1 dạng tuyến tính

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng:

/ y a[x]y b[x]  [7]

Trong đó a[x], b[x] là các hàm số liên tục.

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm một nguyên hàm của a[x]

u[x] a[x]dx



Bước 2: Chọn thừa số tích phân

u[x] v[x] e

Bước 3: Nhân hai vế của phương trình cho thừa số tích phân: v[x] [v[x] 0, x] 

thì ta có

/ v[x]y a[x]v[x]y v[x]b[x] 

 

/  v[x]y v[x]b[x] [*]

Bước 4: Lấy tích phân hai vế của [*], ta được

1 v[x]y v[x]b[x]dx y v[x]b[x]dx v[x]

  

 

Ví dụ 3. Giải phương trình vi phân sau

/ 1

1. y y 1 x

  với x 0, y[1] 1 .

/ x 2 2] y 2xy xe.

  

Giải

/ 1

1. y y 1 x

  với x 0, y[1] 1 

Bước 1:

1

x

có nguyên hàm là ln x ln x [vì x 0 ]

Bước 2: Chọn thừa số tích phân:

ln x e x

Bước 3: Nhân hai vế của phương trình cho x, thì ta có

 

/ / xy y x xy x    [*]

Bước 4: Lấy tích phân hai vế của [*]

1 1 2 x C xy xdx C y x C x 2 2 x

     

      



Với điều kiện đầu

1 C 1 y[1] 1 1 C 2 1 2

     

Vậy nghiệm của phương trình:

.

x 1 y 2 2x

 

2 / x 2] y 2xy xe

  

Bước 1: 2x có nguyên hàm là

2 x

Bước 2: Chọn thừa số tích phân:

2 x e

Bước 3: Nhân hai vế của phương trình cho

2 x e , thì ta có

 

2 2 2 / x / x x e y 2xe y x e y x    [*]

Bước 4: Lấy tích phân hai vế của [*]

2 2 x x 12 e y xdx C y e x C 2

      

    



 

2 2 2 2 2

2 2

x 3 x x 2 x x

1 2 x 2 x

e u 4x e dx u 2e x e e C

1 y 2x 2 Ce y

2x 2 Ce



  

      

      

  



b]

/ 2x 3 y y e y 

Bước 1: Chia hai vế của phương trình cho

3 y ta được

/ 3 2 2x y y y e

    [2]

Bước 2: Đặt

2 / 3 / u y u 2y y

     

Phương trình [2] trên tương đương

/ 2x u 2u 2e   [3]

Giải [3]

Bước 1: 2 có nguyên hàm là 2x

Bước 2: Chọn thừa số tích phân:

2x e

Bước 3: Nhân hai vế của phương trình cho

2x e , thì ta có

/ 2x / 2x 4x 2x 4x e u e 2u 2e    e u  2e [*]

Bước 4: Lấy tích phân hai vế của [*]

2x 4x 2x 2x

2 2x 2x 2 2x 2x

1 e u 2e dx u e Ce 2

1 2 y e Ce y 2 e 2Ce



  

     

       



7. Phương trình vi phân cấp 2

7.2. Các khái niệm chung

Phương trình vi phân cấp hai có dạng

/ //

// / y f x,y,y [7]

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 2 chứa hai tham số C , C1 2

Bài toán Cauchy: Tìm hàm số y [x]  thỏa điều kiện đầu

 

// /

/ 0 0 0 1

[x] f x, [x], [x]

x y , [x ] y

             

7.2. Phương trình vi phân cấp 2 có thể giảm cấp được

Có dạng:

// F[x, y ] 0 [7]

/ // F[x, y , y ] 0 [7]

/ // F[y, y , y ] 0 [7]

Phương pháp giải

Đặt

/ / // u y u y   thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình vi phân cấp 1.

Giải phương trình vi phân cấp 1, ta được u rồi suy ra y.

Ví dụ 5. Giải phương trình vi phân sau:

a]

// y x cosx

b]

// 2 / 2 y y x x

 

Giải

a]

// y x cos x [1]

Đặt

/ / // u y u y   thế vào phương trình [1]

/ u xcosx du xcosxdx  

Lấy tích phân hai vế của phương trình trên, ta có

1 du xcosxdx C   

 u xsin x cosx C  1

Thay

/ u y , ta có

/ y xsin x cosx C   1

 dy xsin x cosx C dx   1 

Lấy tích phân hai vế của phương trình trên, ta có

dy xsin x cosx C dx C    1   2  

1 2   y xcosx 2sin x C x C   [với 1 2 C , C là hai hằng số]

b]

// 2 / 2 y y x x

  [2]

Đặt

/ / // u y u y   thế vào phương trình [2]

/ 22 u u x x

  [Đây là dạng phương trình vi phân tuyến tính cấp 1]

a]

// / y 4y 3y 0  

Phương trình đặc trưng tương ứng

2 k 1 k 4k 3 0 k 3

       

Nghiệm tổng quát của phương trình

x 3x 0 y [x] Ae Be  [Với A, B là hai hằng số]

b]

// / y 4y 4y 0  

Phương trình đặc trưng tương ứng

2 k 4k 4 0 k 2     

Nghiệm tổng quát của phương trình

 

2x y [x] A Bx e 0

   [Với A, B là hai hằng số]

c]

// / y 2y 5y 0  

Phương trình đặc trưng tương ứng

2 k 2k 5 0 k      1,2 1 2i

Nghiệm tổng quát của phương trình

 

x y [x] e Asin 2x Bcos2x 0

   [Với A, B là hai hằng số]

7.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất

Phương trình vi phân cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất có dạng

// / ay by cy f [x]   [7]

Trong đó a, b, c là hằng số.

Nghiệm tổng quát của phương trình [7] bằng nghiệm tổng quát của phương trình [7]

cộng cho nghiệm riêng của phương trình [7].

1. Tìm nghiệm riêng của [6] bằng phương pháp thừa số bất định

Trương hợp 1:

x f[x] e P [x]n

  [ với P [x]n là đa thức bậc n của x]

1. Nếu  không là nghiệm của phương trình đặc trưng [7]

Ta tìm nghiệm riêng của [7] dưới dạng

x y [x] e Q [x]r n

  [Với Q [x]n là đa thức tổng quát của P [x]n ]

ii] Nếu  là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng [7]

Ta tìm nghiệm riêng của [7] dưới dạng

x r n y [x] xe Q [x]

  [Với Q [x]n là đa thức tổng quát của P [x]n ]

iii] Nếu  là nghiệm kép của phương trình đặc trưng [7]

Ta tìm nghiệm riêng của [7] dưới dạng

2 x r n y [x] x e Q [x]

  [Với Q [x]n là đa thức tổng quát của P [x]n ]

Trương hợp 2:  

x f [x] e P [x]sin x Q [x]cos xn n

     [với P [x], Q [x]n n là hai đa thức

bậc n của x]

1. Nếu   i không là nghiệm của phương trình đặc trưng [6]

Ta tìm nghiệm riêng của [7] dưới dạng

 

x y [x] e A [x]sin x B [x]cos xr n n

     [Với A [x], B [x]n n là hai đa thức

tổng quát của P [x], Q [x]n n ]

ii] Nếu   i là nghiệm của phương trình đặc trưng [7]

Ta tìm nghiệm riêng của [7] dưới dạng

 

x y [x] xe A [x]sin x B [x]cos xr n n

     [Với A [x], B [x]n n là hai đa

thức tổng quát của P [x], Q [x]n n ].

1. Tìm nghiệm riêng của phương trình [7] bằng phương pháp biến thiên hằng số

Từ nghiệm tổng quát của [7] ta thay A A[x], B B[x] . Tìm nghiệm riêng của

[7] dưới dạng

y [x] A[x]y [x] B[x]y [x]r  1  2

thỏa điều kiện

/ / 1 2 / / / / 1 2

A [x]y [x] B [x]y [x] 0

A [x]y [x] B [x]y [x] f [x]

       

Nghiệm tổng quát của [7]

y[x] y [x] y [x] 0  r

1. Nguyên lý chồng chất nghiệm

Nếu y 1 là nghiệm riêng của phương trình vi phân

// / 1 ay by cy f [x]  

Nếu y 2 là nghiệm riêng của phương trình vi phân

// / ay by cy f [x]   2

2 r

1 8 26 y [x] x x 3 9 27

  

Vậy nghiệm tổng quát của [1]

x 3x 2 0 r

1 8 26 y[x] y [x] y [x] Ae Be x x 3 9 27

       [Với A, B là hai hằng số]

b]

// / y 2y 2x 3   [1]

Phương trình thuần nhất

// / y 2y 0  [2]

Phương trình đặc trưng tương ứng

2 k 0 k 2k 0 k 2

       

Nghiệm tổng quát của phương trình [2]

2x y [x] A Be 0   [Với A, B là hai hằng số]

Tìm nghiệm riêng của [1] dưới dạng   0, n 1

2 y [x] ax bxr  

Ta có

/ // r r y [x] 2ax b; y [x] 2a  

Thế

/ // y [x], y [x], y [x]r r r vào [1], ta được     4ax 2a 2b 2x 3

Đồng nhất, ta có

1 4a 2 a 2 2a 2b 3 b 2

              

Nghiệm riêng của [1]

2 r

1 y [x] x 2x 2

  

Vậy nghiệm tổng quát của [1]

2x 2 0 r

1 y[x] y [x] y [x] A Be x 2x 2

      [Với A, B là hai hằng số]

c]

// / x y 2y 5y e sin 2x   [1]

Phương trình thuần nhất

// / y 2y 5y 0   [2]

Phương trình đặc trưng tương ứng

2 k 2k 5 0 k      1,2 1 2i

Nghiệm tổng quát của phương trình [2]

 

x y [x] e Asin 2x Bcos2x 0

   [Với A, B là hai hằng số]

Tìm nghiệm riêng của [1] dưới dạng   0, n 1

 

x y [x] e C sin 2x C cos2xr  1  2

Ta có

   

/ x y [x] e C 2C sin2x 2C C cos2xr    1 2  1  2 

   

// x y [x] e 3C 4C sin2x 4C 3C cos2xr     1 2  1  2 

Thế

/ // y [x], y [x], y [x]r r r vào [1], ta được

   

x x e 4C 8C sin 2x 8C 4C cos2x e sin 2x  1 2   1 2  

Đồng nhất, ta có

1 1 2

1 2 2

1 C 4C 8C 1 20

8C 4C 0 1 C 10

               

Nghiệm riêng của [1]

x r

1 1 y [x] e sin2x cos2x 20 10

       

Vậy nghiệm tổng quát của [1]

 

x x 0 r

1 1 y[x] y [x] y [x] e Asin 2x Bcos2x e sin2x cos2x 20 10

            

[Với A, B là hai hằng số]

Ví dụ 8. Giải phương trình vi phân sau:

// / y 3y 2y sin x   [1]

Giải

Bước 1: Giải phương trình thuần nhất:

// / y 3y 2y 0  

Phương trình đặc trưng

x x r 1 2

1 y [x] y [x] y [x] [x 1]e e 2

     

Nghiệm tổng quát của [1]

x x 0 r

1 y[x] y [x] y [x] Asin x Bcosx [x 1]e e 2

        , [A, B là hằng số]

7. Một số ứng dụng trong kinh tế

7.3. Tìm hàm y f[x] khi biết hệ số co dãn

Giả sử x và y là hai đại lượng kinh tế có quan hệ với nhau bằng một hàm khả vi

y f[x] thì ta có hệ số co dãn Ey x là một hàm của x được xác định bởi

y x

dy x E dx y

  [7]

Vậy nếu ta biết hệ số co dãn y x E là một hàm theo x ta có phương trình vi phân như sau :

y x

x dy E y dx

  [7]

hay

y x

dy dx E y x

  [7]

Giải phương trình vi phân này, ta có

Ey x

x

ln y dx

####### 

[7]

7.3. Mô hình cân bằng thị trường với kỳ vọng về giá

Xét hàm cung và hàm cầu tổng quát như sau

/ // Q [t] D P[t], P [t], P [t]D     

[7]

/ // Q [t] S P[t], P [t], P [t]S     

[7]

Trong đó

+] P[t] : Xu thế giá tại thời điểm t

+]

/ P [t] : Giá tăng

/ P [t] 0 hoặc

/ P [t] 0 giá giảm tại thời điểm t.

+]

// P [t]: Giá tăng ngày một nhanh

// P [t] 0 hoặc tốc độ tăng giá giảm dần

// P [t] 0.

Mô hình cân bằng tại mọi thời điểm

/ // / // Q [t] Q [t] D P[t], P [t], P [t] S P[t], P [t], P [t]D S          

[7]

Đây là phương trình vi phân cấp 2 của P.

Ví dụ 10. Cho hệ số co dãn của hàm cầu là

D

2P E 2000 2P

  

Tìm hàm cầu QD biết rằng Q[0] 2000.

Giải

Từ hệ số co dãn ta có

dQ P 2P dQ dP

dP Q 2000 2P Q 1000 P

       

Suy ra

ln Q ln 1000 P C Q A[1000 P]     

mà Q[0] 2000 2000 1000A A 2    

Vậy

Q 2000 2P .

Ví dụ 11. Cho hàm cung và hàm cầu của một loại hàng

/ // S D Q [t] 6 8P[t]; Q [t] 42 4P[t] 4P [t] P [t]      

Với giá ban đầu P[0] 6 và

/ P [0] 4. Tìm sự biến động của giá P[t] theo thời gian và

giả thiết cung cầu thỏa mãn tại mọi thời điểm.

Giải

Cho lượng cung bằng lượng cầu ta được

/ // Q [t] Q [t]S  D   6 8P[t] 42 4P[t] 4P [t] P [t]    [1]

Ta được phương trình vi phân

// / P [t] 4P [t] 12P[t] 48   

Phương trình đặc trưng

2 k 4k 12 0 k 2 k 6        1 2

Nghiệm riêng của [1] : P [t] 4r 

Nghiệm tổng quát của [1] :

2t 6t P[t] 4 Ae Be

    [A, B là hai hằng số]

7. Bài tập

Bài số 1. Chứng minh rằng hàm số

15 y ax bx 12x

   là nghiệm của phương trình

2 // / 1 x y 5xy 5y x

  

Hướng dẫn: Tính đạo hàm rồi thay vào phương trình ta có điều phải chứng minh.

Bài số 2. Chứng minh rằng hàm số

1 3 2x y a bx x e 6

       

là nghiệm của phương trình

// / 2x y 4y 4y xe  

Hướng dẫn: Tính đạo hàm rồi thay vào phương trình ta có điều phải chứng minh.

Bài số 3. Giải các phương trình vi phân cấp 1

/ y 2y 4x 

2 / x y 2xy xe

  

/ y y cosx 

1. [1 x]ydx [1 y]xdy 0   

/ x y 2 y x y 4

    

/ y ysin x sin xcosx 

/ 2 y 1 x y arcsin x   , y[0] 0

/ y y xln x xln x

  ,

12 y[e] e 2



2 / 2523 y 9x y [x x ]y , y[0] 0   

/ 1 y ytan x , y[0] 0 cosx

  

/ y sin x 3 y y. 2x 2x

   

Đáp số :

2 2 2x 1 2 x x 1

1. y[x] 2x 1 Ce ; 2] y[x] x e Ce ; 3] y[x] [sin x cos x] C; 2 2

          

 

y 1 2 2 4] ln xy x y C x 0 y 0; 5] arctan ln [y 1] [x 3] C; x 3

                   

cosx 12 6] y[x] cosx 1 Ce ; 7] y[x] arcsin x 1;8] y[x] x ln x; 2

       

 

3

3 1 x 6 3 x 2 9] y[x] e [x 2x ] ; 10] y[x] ;11] y a cosx x hay y 0. 18 cosx

           

Bài số 4. Giải các phương trình vi phân cấp 2 thuần nhất sau

// / y y 2y 0  

// y 9y 0 

// / y 4y 0 

// y y 0 

// / y 6y 13y 0  

// / y 10y 25y 0  

// / y y 6y 0  

// y 4y 0 

// / y 6y 12y 0  

// / y 2y 5y 0  

// / y 2y y 0  

// / 4y 20y 25y 0  

Đáp số : 1]

x 2x y[x] Ae Be

   ; 2]

3x 3x y[x] Ae Be

   ; 3]

4x y[x] Ae B  ;

1. y[x] Asin x Bcosx  ; 5]  

3x y[x] e Asin 2x Bcos2x

   ;

x 5x y[x] Ae Be  ; 7]

2x 3x y[x] Ae Be

   ; 8] y[x] Asin 2x Bcos2x; 

3x y[x] e Asin 3x Bcos 3x

   ; 10]  

x y[x] e Asin 2x Bcos2x

   ;

[1 2]x [1 2]x y[x] Ae Be

    ; 12]  

5 x 2 y[x] Ax B e .

Bài số 5. Giải các phương trình vi phân với điều kiện đầu sau:

// / / y 4y 3y 0, y[0] 6, y [0] 14    

// / / 4y 4y y 0, y[0] 2, y [0] 0    

// / / y 4y 29y 0, y[0] 0, y [0] 15    

// x / y xe , y[0] 1, y [0] 1

   

// / 5x / y 4y 3y e , y[0] 3, y [0] 9    

// 1 / y 4y sin 2x 1, y[0] , y [0] 0 4

    

Đáp số :

1 x x 3x 2 2x

1. y[x] 2e 4e ; 2] y[x] [x 2]e ; 3] y[x] 3e sin5x;

      