Trong chương trình nâng cao Toán lớp 9 học sinh sẽ được học một dạng phương trình. Đó là cách giải phương trình bậc 4 dạng tổng quát. Dạng này có thể xuất hiện trong đề thi cuối kì hoặc đề thi học sinh giỏi.
Phương trình bậc 4 tổng quát là phương trình có bậc cao nhất là bậc 4. Thông thường sẽ có đầy đủ các dạng toán bậc 3, bậc 2, bậc nhất và bậc không. Trong một số bài toán có thể dạng không đầy đủ.
Dạng toán này sẽ kiểm tra khả năng biến đổi biểu thức của học sinh. Đồng thời kiểm tra kiến thức về hằng đẳng thức. Và nâng cao cộng trừ nhân chia đa thức.
Nhìn chung phương trình này là một phương trình tương đối đặc biệt. Nếu như các bạn biết được quy trình làm dạng toán này thì nó lại không mấy khó khăn.
Phương pháp giải chung phương trình bậc 4
Với phương trình bậc 4 dạng tổng quát, các bài tập đều có phương pháp giải chung. Nhiệm vụ của học sinh là biến đổi một cách khéo léo. Đồng thời áp dụng phương pháp giải chung để giải quyết bài toán. Dưới đây là từng bước giải cho phương pháp chung:
- Biến đổi hai vế của phương trình về dạng phương trình bậc hai. Trong đó ẩn là một đa thức.
- Sau đó giải phương trình bậc hai dựa vào tính delta hoặc biến đổi về hằng đẳng thức.
- Tìm nghiệm của phương trình bậc hai đó
- Với từng nghiệm đó tìm ra nghiệm của phương trình
Chúng tôi gọi đây là cách giải phương trình bậc 4 chung bởi vì với mỗi bài toán đều trải qua bước này. Đồng thời cũng có công thức cụ thể cho dạng này. Các bạn hãy tham khảo trong tài liệu cung cấp dưới đây.
Tải tài liệu miễn phí ở đây
Sưu tầm: Trần Thị Nhung
Bài viết này nói về Chuyên đề phương trình trùng phương, một dạng phương trình thường xuất hiện trong các đề thi Toán tuyển sinh vào 10.
Các em cùng Toancap2.net học chuyên đề này nhé.
I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Cho phương trình: ax4 + bx2 + c = 0 [a ≠ 0] [1]
- 50 bài toán hình học ôn thi vào lớp 10 có lời giải
- Cách giải bài toán BĐT và tìm GTNN, GTLN trong đề thi vào 10 môn Toán
- Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 chuyên – Hệ phương trình
- Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 chuyên – Hàm số
- Một số ví dụ chứng minh BĐT bằng phương pháp ghép cặp
Đặt t = x2 [t ≠ 0] Ta được phương trình: at2 + bt + c = 0 [2]
- Phương trình [1] có 4 nghiệm phân biệt ⇔ [2] có hai nghiệm dương phân biệt⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}\Delta >0\\P>0\\S>0\end{array} \right.$
- Phương trình [1] có 3 nghiệm phân biệt⇔ [2] có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0⇔$ \left\{ \begin{array}{l}\Delta >0\\P=0\\S>0\end{array} \right.$
- Phương trình [1] có 2 nghiệm phân biệt ⇔ [2] có một một nghiệm kép dương hoặc có ai nghiệm trái dấu⇔$ \displaystyle \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta =0\\S>0\end{array} \right.\\P0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow m \in [-\infty;0]\]
Các bước giải phương trình trùng phương lớp 9
Để giải phương trình \[ ax^4 +bx^2+c =0 \] với \[ a \neq 0 \] ta làm theo các bước sau đây:
- Bước 1: Đặt \[ t=x^2 \]. Điều kiện \[ t\geq 0 \]
- Bước 2: Giải phương trình bậc hai \[ at^2+bt +c =0 \] tìm ra \[ t \]
- Bước 3: Với mỗi giá trị của \[ t \] thỏa mãn điều kiện \[ t\geq 0 \], giải phương trình \[ x^2=t \]
- Bước 4: Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu
***Chú ý: Đối với các bài toán phương trình trùng phương lớp 9 thì ta cần thực hiện đầy đủ các bước trên, còn các bài toán phương trình trùng phương lớp 12 thì ta có thể bỏ đi bước thứ nhất để lời giải nhanh gọn
Ví dụ 1:
Giải phương trình \[ x^4 -5x^2+4 =0 \]
Cách giải:
Đặt \[ t= x^2 \]. Điều kiện \[ t \geq 0 \]
Khi đó phương trình đã cho trở thành :
\[ t^2-5t+4=0 \]
\[\Leftrightarrow [t-1][t-4]=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t=1 \\t=4 \end{array}\right.\]
Vậy nên:
\[\left[\begin{array}{l}x^2=1 \\x^2=4 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=\pm 1\\ x=\pm 2\end{array}\right.\]
Vậy phương trình đã cho có \[ 4 \] nghiệm phân biệt : \[ x= -1;1;-2;2 \]
Một số phương trình trùng phương biến đổi \[x\rightarrow \frac{1}{x}\] hoặc các biểu thức chứa căn thì đầu tiên ta cần tìm điều kiện của phương trình trùng phương rồi mới tiến hành giải
Ví dụ 2:
Giải phương trình:
\[\frac{1}{x^4}-\frac{5}{x^2}+6=0\]
Cách giải:
Điều kiện: \[ x \neq 0 \]
Phương trình đã cho tương đương với :
\[[\frac{1}{x^2}-3][\frac{1}{x^2}-2]=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \frac{1}{x^2}=3\\ \frac{1}{x^2}=2\end{array}\right.\]
\[\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \frac{1}{x}=\pm \sqrt{3}\\ \frac{1}{x}=\pm \sqrt{2}\end{array}\right.\]
\[\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\\ x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right.\] [ thỏa mãn ]
Vậy phương trình đã cho có \[ 4 \] nghiệm phân biệt \[x=-\frac{1}{\sqrt{2}};-\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{3}}\]
Giải phương trình số phức bậc 4 trùng phương
Đây là một dạng phương trình trùng phương nâng cao trong chương trình Toán lớp 12. Để giải bài toán này thì ta cần nhắc lại một số kiến thức về số phức
- Biểu thức dạng \[ a+bi \] với \[a;b \in \mathbb{R}\] và \[ i^2=-1 \] được gọi là một số phức với \[ a \] là phần thực và \[ b \] là phần ảo
- Phương trình bậc hai \[ ax^2+bx+c =0\] với \[ Delta