Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng chứa đường cao
Tính Khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng đáy tới mặt phẳng chứa đường caoXét bài toán khoảng cách trong không gian.Cho hình chóp có đỉnhScó hình chiếu vuông góc lên mặt đáy làH. Tính khoảng cách từ điểmAbất kì đến mặt bên $\left( SHB \right)$. Show
Kẻ $AH\bot HB$ ta có: $\left\{ \begin{array}{} AK\bot HB \\{} AK\bot SH \\ \end{array} \right.\Rightarrow AK\bot \left( SHB \right)$ Suy ra $d\left( A;\left( SHB \right) \right)=AK$. Cách tính:Ta có: $d\left( A;\left( SHB \right) \right)=AK=\frac{2{{S}_{AHB}}}{HB}$ $=AB\sin \widehat{ABK}=AH.\sin \widehat{AHK}$. Bài tập tính khoảng cách từ một điểm có đáp án chi tiết
Lời giải chi tiết a) Dựng $CH\bot AB$ ta có: $\left\{ \begin{array}{} CH\bot AB \\{} CH\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow CH\bot \left( SAB \right)$ Do đó $d\left( C;\left( SAB \right) \right)=CH=CB\sin \widehat{ABH}=2a\sin 60{}^\circ =a\sqrt{3}$. b) Dựng $CK\bot AC\Rightarrow CK\bot \left( SAC \right)$. Ta có: $d\left( B;\left( SAC \right) \right)=CH=\frac{2{{S}_{ABC}}}{AC}=\frac{AB.BC\sin \widehat{ABC}}{AC}$ Trong đó $A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-2BA.BC\cos \widehat{B}$ $\Rightarrow AC=a\sqrt{7}\Rightarrow d\left( B;\left( SAC \right) \right)=\frac{3a.2a.\sin 60{}^\circ }{a\sqrt{7}}=\frac{3a\sqrt{21}}{7}$.
Lời giải chi tiết a) Do tam giácSABcân tạiSnên $SH\bot AB$. Ta có: $HA=HD=\frac{a}{2}$. Mặt khác $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$. Dựng $AE\bot DH\Rightarrow AE\bot \left( SHD \right)\Rightarrow d\left( A;\left( SHD \right) \right)=AE$. Mặt khác $AE=\frac{AH.AD}{\sqrt{A{{H}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{39}}{13}$. b) Dựng $DK\bot CH\Rightarrow d\left( D;\left( SHC \right) \right)=DK$. Ta có: $CH=\sqrt{H{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\frac{a\sqrt{13}}{2}$, ${{S}_{HCD}}=\frac{1}{2}CD.d\left( H;CD \right)=\frac{1}{2}\text{.}a\text{.}a\sqrt{3}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$. Do đó $d\left( D;\left( SHC \right) \right)=\frac{2{{S}_{HCD}}}{CH}=\frac{2a\sqrt{39}}{13}$.
Lời giải chi tiết a) Dựng $CE\bot AD\Rightarrow CE\bot \left( SAD \right)$. Khi đó $d\left( C;\left( SAD \right) \right)=CE$, do ABCE là hình vuông cạnh $2a$ nên $CE=AE=2a\Rightarrow d\left( C;\left( SAD \right) \right)=2a$. b) Dựng $DH\bot AC\Rightarrow DH\bot \left( SAC \right)$. Khi đó $d\left( D;\left( SAC \right) \right)=DH$. Ta có: ABCE là hình vuông nên $\widehat{CAD}=45{}^\circ $. Do đó $DH=ADsin45{}^\circ =3a.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3a\sqrt{2}}{2}$.
Lời giải chi tiết a) Do H là trọng tâm tam giác ABD $\Rightarrow H\in AC$. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD $\Rightarrow BO\bot AC$. Mặt khác $BO\bot SH\Rightarrow BO\bot \left( SAC \right)$ Khi đó $d\left( B;\left( SAC \right) \right)=BO=\frac{5a\sqrt{2}}{2}$. b) Dựng $CK\bot HD\Rightarrow CK\bot \left( SHD \right)\Rightarrow d\left( C;\left( SHD \right) \right)=CK$. Gọi I là trung điểm của AB thì $H=DI\cap AO$. Khi đó: $CK=\frac{2{{S}_{ICD}}}{DI}=\frac{2.\frac{1}{2}{{S}_{ABCD}}}{DI}=\frac{25{{a}^{2}}}{\sqrt{D{{A}^{2}}+A{{I}^{2}}}}=\frac{25{{a}^{2}}}{\sqrt{25{{a}^{2}}+{{\left( \frac{5a}{2} \right)}^{2}}}}=2a\sqrt{5}$.
Lời giải chi tiết a) Tứ giác ABCD là nửa lục giác đều cạnh $a$ nên nó nội tiếp đường tròn đường kính $AB=2a$. Dựng $CH\bot AB\Rightarrow CH\bot \left( SAB \right)\Rightarrow d\left( C;\left( SAB \right) \right)=CH$. Mặt khác $\widehat{ABC}=60{}^\circ \Rightarrow CH=BC\sin 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Vậy $d\left( C;\left( SAB \right) \right)=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. b) Dựng $DK\bot AC\Rightarrow DK\bot \left( SAC \right)\Rightarrow d\left( D;\left( SAC \right) \right)=DK$. Do $\widehat{DCB}=120{}^\circ ,\widehat{ACB}=90{}^\circ \Rightarrow \widehat{ACD}=30{}^\circ \Rightarrow DK=CD\sin \widehat{DCK}=a\sin 30{}^\circ =\frac{a}{2}$.
Lời giải chi tiết Ta có${{S}_{ABCD}}=2{{S}_{\Delta ABC}}=2{{S}_{\Delta MAB}}=2\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}={{S}_{\Delta MAB}}=1$. $\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}.AB.BC.\sin \widehat{ABC}=1\Rightarrow \sin \widehat{ABC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Do đó $\widehat{ABC}=45{}^\circ \Rightarrow \widehat{ADM}=45{}^\circ $. Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ADM, ta có: $AM=\sqrt{A{{D}^{2}}+D{{M}^{2}}-2.AD.DM.cos\widehat{ADM}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$ Gọi H là giao điểm của AM và BD $\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$. Kẻ BK vuông góc với AM, $K\in AM\Rightarrow BK\bot AM$ $\left( 1 \right)$. Ta có $\left( SAM \right)\cap \left( SBD \right)=SH\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot BK$ $\left( 2 \right)$. Từ $\left( 1 \right)$,$\left( 2 \right)$$\Rightarrow BK\bot \left( SAM \right)\Rightarrow d\left( B;\left( SAM \right) \right)=BK$. Mặt khác ${{S}_{\Delta MAB}}=\frac{1}{2}.BK.AM\Rightarrow BK=\frac{2.{{S}_{\Delta MAB}}}{AM}=\frac{4}{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$.
Lời giải chi tiết Gọi Hlà tâm hình chữ nhậtABCD $\Rightarrow $$HA=HC\Rightarrow A’H\bot BD$ (Do $\Delta A’BD$ cân tại A’). Do $\left( A’BD \right)\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow A’H\bot \left( ABCD \right)$. Ta có: $A’H=\frac{1}{2}BD=a$ (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy). Dựng $HM\bot AB\Rightarrow AB\bot \left( A’HM \right)\Rightarrow \overset\frown{A’MH}=60{}^\circ $ +) Khi đó: $HM\tan 60{}^\circ =A’H\Rightarrow HM=\frac{a}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow AD=2HM=\frac{2a}{\sqrt{3}}\Rightarrow AB=2a\sqrt{\frac{2}{3}}$ Do: $A’D//B’C\Rightarrow B’C//\left( A’BD \right)\Rightarrow d\left( B’;\left( A’BD \right) \right)=d\left( C;\left( A’BD \right) \right)$. Ta có: $CE=\frac{CD.CB}{BD}=\frac{2a\sqrt{2}}{3}$. Vậy $d\left( B’;\left( A’BD \right) \right)=\frac{2a\sqrt{2}}{3}$. Xét bài toán khoảng cách trong không gian.Cho hình chóp có đỉnhScó hình chiếu vuông góc lên mặt đáy làH. Tính khoảng cách từ điểmAbất kì đến mặt bên(SHB). KẻAH⊥HBta có: BÀI VIẾT LIÊN QUAN
Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳngBài toán khoảng cách trong hình học không gian là một vấn đề quan trọng, thường xuất hiện ở các câu hỏi có mức độ vận dụng và vận dụng cao. Các bài toán tính khoảng cách trong không gian bao gồm:
Như vậy, 3 dạng toán đầu tiên đều quy về Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, chính là nội dung của bài viết này. Ngoài ra, các em cũng cần thành thạo 2 dạng toán liên quan đến góc trong không gian:
|