Kiểm định hai giá trị trung bình năm 2024

\begin{array}{| c| c| c| c| c| c| }\hline \text{Trọng lượng sản phẩm}\; & 49 & 50 & 51 & 52 & 53\\ \hline \text{Số sản phẩm tương ứng}\; & 10 & 60 & 20 & 5 & 5\\ \hline \end{array} Với mức ý nghĩa $\alpha=0,05$, hãy kết luận về điều nghi ngờ nói trên.

Lời giải: Ta lập bảng \begin{array}{| c| c| c| }\hline x_i & r_i & r_ix_i\\ \hline \hline 49 & 10 & 490\\ \hline 50 & 60 & 3000\\ \hline 51 & 20 & 1020\\ \hline 52 & 5 & 260\\ \hline 53 & 5 & 265\\ \hline \sum & 100 & 5035\\ \hline \end{array} Do đó $\overline{x}=\displaystyle\frac{5035}{100}=50,35.$ Ta kiểm định giả thuyết $H_0: \mu=50;\;H_1: \mu\neq 50.$ Ta có $\displaystyle\frac{\alpha}{2}=\displaystyle\frac{0,05}{2}=0,025.$ Tra bảng ta được $u_{\frac{\alpha}{2}}=1,96.$ Miền bác bỏ \begin{equation}\notag \begin{aligned} W_\alpha&=(-\infty; -u_{\frac{\alpha}{2}}]\cup [u_{\frac{\alpha}{2}}, +\infty)\\ &=(-\infty; -1,96]\cup [1,96; +\infty). \end{aligned} \end{equation} Giá trị quan sát \begin{equation}\notag \begin{aligned} u_{\text{qs}}&=\displaystyle\frac{(\overline{x}-\mu_0)\sqrt{n}}{\sigma}\\ &=\displaystyle\frac{(50,35-50)\sqrt{100}}{2}\\ &=1,75. \end{aligned} \end{equation} Ta thấy $u_{\text{qs}}\notin W_\alpha,$ vậy chưa có cơ sở bác bỏ giả thuyết $H_0,$ tức là chưa có cơ sở thừa nhận giả thuyết $H_1: \mu\neq 50.$ Vậy điều nghi ngờ là sai. Trường hợp $2$: $n\geq 30,$ phương sai chưa biết Trong trường hợp này thì miền bác bỏ $W_\alpha$ và quy tắc kiểm định y hệt như trường hợp $1$, chỉ khác ở chổ giá trị quan sát được tính theo công thức $$u_{\text{qs}}=\displaystyle\frac{(\overline{x}-\mu_0)\sqrt{n}}{s}.$$ Ví dụ 2: Lượng nước sạch (tính theo $m^3$) một gia đình $4$ người ở Hà Nội sử dụng trong $6$ tháng năm ngoái là $17m^3$. Theo dõi lượng nước sạch sử dụng trong $6$ tháng năm nay của $60$ gia đình $4$ người thu được số liệu sau:

\begin{array}{| c| c| c| c| c| c| }\hline \text{Lượng nước sạch}\; & 15-16 & 16-17 & 17-18 & 18-19 & 19-20\\ \hline \text{Số gia đình}\; & 7 & 15 & 21 & 12 & 5\\ \hline \end{array}

Giả sử lượng nước sạch tiêu thụ của các hộ gia đình là một biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn.

1. Hãy ước lượng bằng khoảng tin cậy lượng nước sạch trung bình của các hộ sử dụng trong $6$ tháng năm nay với độ tin cậy $95\%.$
2. Có ý kiến cho rằng lượng nước tiêu thụ năm nay tăng lên. Sử dụng bảng số liệu trên hãy kiểm định ý kiến đó với mức ý nghĩa $2,5\%.$ Lời giải: Thực hiện phép đổi biến $u_i=\displaystyle\frac{x_i^0-17,5}{1}$ với $x_0=17,5$ và $h=1.$ Ta có bảng tính sau: \begin{array}{| c| c| c| c| c| c| }\hline x_i-x_{i+1} & x_i^0 & r_i & u_i & r_iu_i & r_iu_i^2\\ \hline \hline 15-16 & 15,5 & 7 & -2 & -14 & 28\\ \hline 16-17 & 16,5 & 15 & -1 & -15 & 15\\ \hline 17-18 & 17,5 & 21 & 0 & 0 & 0\\ \hline 18-19 & 18,5 & 12 & 1 & 12 & 12\\ \hline 19-20 & 19,5 & 5 & 2 & 10 & 20\\ \hline \hline \sum & & n=60 & & -7 & 75\\ \hline \end{array} Ta có \begin{equation}\notag \begin{aligned} \overline{u}&=\displaystyle\frac{-7}{60}=-0,12,\\ \overline{x}&=x_0+h\overline{u}=17,5+1\times (-0,12)=17,38,\\ s_u^2&=\displaystyle\frac{1}{59}\Big(75-\displaystyle\frac{(-7)^2}{60}\Big)=\displaystyle\frac{4451}{3540},\\ s^2&=h^2s_u^2=1^2\times\displaystyle\frac{4451}{3540}=\displaystyle\frac{4451}{3540},\\ s&=\sqrt{\displaystyle\frac{4451}{3540}}\approx 1,12. \end{aligned} \end{equation} Độ tin cậy $95\%,$ suy ra $1-\alpha=0,95$ hay $\alpha=0,05.$ Khi đó $\displaystyle\frac{\alpha}{2}=0,025$. Do đó $u_{\frac{\alpha}{2}}=1,96.$ Độ chính xác của ước lượng $$\varepsilon=u_{\frac{\alpha}{2}}\displaystyle\frac{s}{\sqrt{n}}=1,96\times\displaystyle\frac{1,12}{\sqrt{60}}\approx 0,28.$$ Khoảng tin cậy của lượng nước sạch trung bình của các hộ sử dụng trong $6$ tháng năm nay \begin{equation}\notag \begin{aligned} (\overline{x}-\varepsilon, \overline{x}+\varepsilon)&=(17,38-0,28; 17,38+0,28)\\ &=(17,1; 17,66). \end{aligned} \end{equation} b) Ta kiểm định giả thuyết $H_0: \mu=17;\;H_1: \mu>17.$ Ta có $\alpha=0,025$, do đó $u_\alpha=1,96.$ Miền bác bỏ \begin{equation}\notag \begin{aligned} W_\alpha&=[u_{\alpha}; +\infty)\\ &=[1,96; +\infty). \end{aligned} \end{equation} Giá trị quan sát $$u_{\text{qs}}=\displaystyle\frac{(\overline{x}-\mu_0)\sqrt{n}}{s}=\displaystyle\frac{(17,38-17)\sqrt{60}}{1,12}\approx 2,63.$$ Ta thấy $u_{\text{qs}}\in W_\alpha$, vậy ta bác bỏ $H_0,$ thừa nhận $H_1.$ Vậy lượng nước tiêu thụ năm nay tăng lên. Trường hợp $3$: $n<30,$ phương sai chưa biết. Với mức ý nghĩa $\alpha$ cho trước, ta xây dựng miền bác bỏ phụ thuộc vào giả thuyết đối $H_1$ như sau: Bài toán $1$: $H_0: \mu=\mu_0;\;H_1: \mu\neq\mu_0.$ Miền bác bỏ $$W_\alpha=(-\infty; -t_{\alpha/2}(n-1)]\cup [t_{\alpha/2}(n-1), +\infty).$$ Bài toán $2$: $H_0: \mu=\mu_0;\;H_1: \mu>\mu_0.$ Miền bác bỏ $$W_\alpha=[t_{\alpha}(n-1); +\infty).$$ Bài toán $3$: $H_0: \mu=\mu_0;\;H_1: \mu<\mu_0.$ Miền bác bỏ $$W_\alpha=(-\infty; -t_{\alpha}(n-1)].$$ Giá trị quan sát $$t_{\text{qs}}=\displaystyle\frac{(\overline{x}-\mu_0)\sqrt{n}}{s}.$$ Ta xét xem $t_{\text{qs}}$ có thuộc miền bác bỏ $W_\alpha$ không để kết luận: $\bullet$ Nếu $t_{\text{qs}}\in W_\alpha$ thì ta bác bỏ $H_0$, thừa nhận $H_1.$ $\bullet$ Nếu $t_{\text{qs}}\notin W_\alpha$ thì chưa có cơ sở bác bỏ giả thuyết $H_0,$ tức là chưa có cơ sở để thừa nhận giả thuyết $H_1.$ Ví dụ 3: Phòng kỹ thuật của một công ty theo dõi mức xăng tiêu hao cho cùng một loại xe chạy từ $A$ đến $B$ và có bảng số liệu sau: \begin{array}{| c| c| c| c| c| }\hline \text{Mức xăng tiêu hao X (lít)}\; & 8,5 & 9 & 11 & 12,5\\ \hline \text{Số chuyến tương ứng}\; & 5 & 8 & 10 & 2\\ \hline \end{array} Với mức ý nghĩa $5\%$, có thể kết luận mức xăng tiêu hao trung bình thấp hơn $11$ lít không? biết mức xăng tiêu hao $X$ tuân theo quy luật chuẩn. Lời giải: Ta lập bảng tính như sau: \begin{array}{| c| c| c| c| }\hline x_i & r_i & r_ix_i & r_ix_i^2\\ \hline \hline 8,5 & 5 & 42,5 & 361,25\\ \hline 9 & 8 & 72 & 648\\ \hline 11 & 10 & 110 & 1210\\ \hline 12,5 & 2 & 25 & 312,5\\ \hline \hline \sum & n=25 & 249,5 & 2531,75\\ \hline \end{array} Ta có \begin{equation}\notag \begin{aligned} \overline{x}&=\displaystyle\frac{249,5}{25}\\ &=9,98,\\ s^2&=\displaystyle\frac{1}{24}\Big(2531,75-\displaystyle\frac{249,5^2}{25}\Big)\\ &\approx 1,7392.\\ s&\approx\sqrt{1,7392}\\ &\approx 1,32. \end{aligned} \end{equation} Ta kiểm định giả thuyết $H_0: \mu=11;\;H_1: \mu<11.$ Miền bác bỏ \begin{equation}\notag \begin{aligned} W_\alpha&=(-\infty; -t_{\alpha}(n-1)]\\ &=(-\infty; -t_{0,05}(24)]\\ &=(-\infty; -1,711]. \end{aligned} \end{equation} Giá trị quan sát \begin{equation}\notag \begin{aligned} t_{\text{qs}}&=\displaystyle\frac{(\overline{x}-\mu_0)\sqrt{n}}{s}\\ &=\displaystyle\frac{(9,98-11)\sqrt{25}}{1,32}\\ &\approx -3,86. \end{aligned} \end{equation} Ta thấy $t_{\text{qs}}\in W_\alpha,$ vậy ta bác bỏ $H_0$, thừa nhận $H_1.$ Vậy có thể kết luận mức xăng tiêu hao trung bình thấp hơn $11$ lít.