Làm bài tập toán lớp 12 trang 43

Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 2 trang 43 SGK Giải tích 12:

Khảo sát tự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:

Lời giải:

Kiến thức áp dụng

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:

*] Xét chiều biến thiên của hàm số:

+] Tính đạo hàm.

+] Tìm các điểmximà tại đó đạo hàm cóy′=0hoặc đạo hàm không xác định.

+] Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

*] Tìm cực trị:y[xi].

*] Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực và tiệm cận của đồ thị hàm số nếu có:

*] Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.

Bước 3: Đồ thị:

+] Giao điểm của đồ thị với trục tung:x=0 ⇒ y=....⇒ A[0;.....].

+] Giao điểm của đồ thị với trục hoành:y=0 ⇒ x=.....⇒ B[...;0].

+] Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.

a] Hàm số y = -x4+ 8x2– 1.

1] Tập xác định: D = R

2] Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = -4x3+ 16x = -4x[x2- 4]

y' = 0 ⇔ -4x[x2- 4] = 0 ⇔ x = 0 ; x = ±2

Trên khoảng [-∞; -2] và [0; 2], y’ > 0 nên hàm số đồng biến.

Trên các khoảng [-2; 0] và [2; +∞], y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.

+ Cực trị :

Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và x = -2 ; yCĐ = 15

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; yCT = -1.

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

3] Đồ thị:

+ Hàm số đã cho là hàm số chẵn, vì:

y[-x] = -[-x]4+ 8[-x]2- 1 = -x4+ 8x2- 1 = y[x]

⇒ Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.

+ Giao với Oy tại điểm [0; -1] [vì y[0] = -1].

+ Đồ thị hàm số đi qua [-3; -10] và [3; 10].

b] Hàm số y = x4– 2x2+ 2.

1] Tập xác định: D = R

2] Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = 4x3- 4x = 4x[x2- 1]

y' = 0 ⇔ 4x[x2- 1] = 0 ⇔ x = 0 ; x = ±1.

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

Kết luận :

Hàm số đồng biến trên khoảng [-1; 0] và [1; +∞].

Hàm số nghịch biến trên các khoảng [-∞; -1] và [0; 1].

Đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu là: [-1; 1] và [1; 1].

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: [0; 2]

3] Đồ thị:

+ Hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy là trục đối xứng.

+ Đồ thị hàm số cắt trục tung tại [0; 2].

+ Đồ thị hàm số đi qua [-1; 1] và [1; 1].

+ Đồ thị hàm số:

c] Hàm số

1] Tập xác định: D = R

2] Sự biến thiên:

+ y' = 2x3+ 2x = 2x[x2+ 1]

y' = 0 ⇔ 2x[x2+ 1] = 0 ⇔ x = 0

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng [0; +∞].

Hàm số nghịch biến trên các khoảng [-∞; 0].

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: [0; -3/2].

• Giải Toán 12: Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Skip to content

Hướng dẫn giải Bài §5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, sách giáo khoa Giải tích 12. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 trang 43 44 45 sgk Giải tích 12 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập giải tích có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 12.

Lý thuyết

1. Sơ đồ khảo sát hàm số

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \[y=f[x]\]:

– Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

– Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:

+ Xét chiều biến thiên của hàm số:

+ Tính đạo hàm \[f'[x]\].

+ Tìm các điểm mà tại đó \[f'[x]=0\] hoặc không xác định.

+ Xét dấu đạo hàm \[f'[x]\] và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

+ Tìm cực trị của hàm số.

+ Tính các giới hạn \[\lim_{x\rightarrow +\infty }y,\lim_{x\rightarrow -\infty }y\] và các giới hạn có kết quả là vô cực [\[= \pm \infty\]], tìm các đường tiệm cận [nếu có]

– Bước 3: Vẽ đồ thị

+ Xác định các điểm đặc biệt: giao với Ox, Oy điểm có tọa độ nguyên.

+ Nêu tâm đối xứng, trục đối xứng [nếu có].

Chú ý:

– Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm \[I[x_0,f[x_0]]\] với \[x_0\] là nghiệm phương trình \[f”[x_0]=0\] làm tâm đối xứng.

– Đồ thị hàm số phân thức bậc nhất / bậc nhất nhận giao của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.

– Đồ thị hàm số lẻ nhận \[O[0;0]\] làm tâm đối xứng.

– Đồ thị hàm số chẵn nhận Oy làm trục đối xứng.

2. Những dạng đồ thị của các hàm số thường gặp

a] Các dạng đồ thị hàm số bậc ba:

\[y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left[ {a \ne 0} \right]\]

b] Các dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương:

\[y = a{x^4} + b{x^2} + c\left[ {a \ne 0} \right]\]

c] Các dạng đồ thị hàm số phân thức bậc nhất / bậc nhất:

\[y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\;[c \ne 0,\;ad – bc \ne 0]\]

3. Chứng minh \[[x_{0};y_{0}]\] là tâm đối xứng của đồ thị [C] của hàm số y=f[x]

Đồ thị hàm số lẻ luôn nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.

Vậy để chứng minh \[I[x_{0};y_{0}]\] là tâm đối xứng, ta dùng công thức đổi trục: \[\left\{\begin{matrix} x=x_{0}+X & \\ y=y_{0}+Y & \end{matrix}\right.\] để đưa hệ trục Oxy về hệ trục IXY [gốc I] và chứng minh: trong hệ trục IXY, hàm số đã cho có dạng Y=g[X] là hàm số lẻ.

Chú ý:

\[M[x,y]\in [C]\Leftrightarrow y=f[x]\Leftrightarrow Y+y_{0}=f[X+x_{0}]\Leftrightarrow Y=g[X]\].

4. Chứng minh đường thẳng \[\Delta : x=x_{0}\] là trục đối xứng của đồ thị [C] của hàm số y=f[x]

Đồ thị của hàm số chẵn luôn nhận trục tung là trục đối xứng. Vậy để chứng minh đường thẳng \[\Delta : x=x_{0}\] là trục đối xứng, ta dùng công thức đổi trục \[\left\{\begin{matrix} x=x_{0}+X & \\ y=Y & \end{matrix}\right.\] để đưa hệ số Oxy về hệ trục IXY [\[\Delta\] là trục tung] và chứng minh: trong hệ trục IXY, hàm số đã cho có dạng Y=g[X] là hàm số chẵn.

5. Tương giao của các đồ thị

Cho hai đồ thị \[[C_{1}]:y=f[x];\] và \[[C_{2}]:y=g[x].\]

Phương trình xác định hoành độ giao điểm của \[[C_{1}]\] và \[[C_{2}]\] là: f[x]=g[x]. [1]

– Nếu [1] vô nghiệm thì \[[C_{1}]\] và \[[C_{2}]\] không có điểm chung [không cắt nhau và không tiếp xúc với nhau].

– Nếu [1] có nnghiệm phân biệt thì \[[C_{1}]\] và \[[C_{2}]\] giao nhau tại n điểm phân biệt. Nghiệm của [1] chính là hoành độ các giao điểm.

Chú ý:

– \[[C_{1}]\] tiếp xúc với \[[C_{2}]\] \[\Leftrightarrow\] hệ \[\left\{ \begin{matrix} f[x] =g[x]& \\ f'[x]=g'[x] & \end{matrix}\right.\] có nghiệm. Nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị đó.

– Đường thẳng [d]: y: mx+n tiếp xúc với parabol \[-1\] \[\Leftrightarrow\] hệ \[\left\{ \begin{matrix} ax^{2}+bx+c=mx+n \\ 2ax+b=m] & \end{matrix}\right.\] có nghiệm

\[\Leftrightarrow\] phương trình \[\Leftrightarrow\] \[ax^{2}+bx+c=mx+n\] có nghiệm kép.

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Giải tích 12.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 32 sgk Giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số đã học theo sơ đồ trên.

$y = ax + b$

$y = ax^2 + bx + c$

Trả lời:

Hàm số $y = ax + b$

♦ Trường hợp $a > 0$

– TXĐ: $D = R$.

– Sự biến thiên.

y’ = a > 0. Vậy hàm số đồng biến trên toàn bộ R.

\[\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \cr

& \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty \cr} \]

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

♦ Trường hợp $a < 0$

– TXĐ: $D = R.$

– Sự biến thiên.

$y’ = a < 0$. Vậy hàm số đồng biến trên toàn bộ $R$.

\[\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = – \infty \cr

& \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = + \infty \cr} \]

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Hàm số y = ax2 + bx + c

♦ Trường hợp $a > 0$

– TXĐ: $D = R$.

– Sự biến thiên.

$y’ = 2ax + b.$

\[y’ = 0 \Rightarrow x = {{ – b} \over {2a}}\]

\[\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = – \infty \cr

& \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = + \infty \cr} \]

– Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên khoảng [-∞, \[{{ – b} \over {2a}}\]].

Hàm số đồng biến trên khoảng [\[{{ – b} \over {2a}}\], +∞].

Hàm số đạt cực tiểu bằng \[ – {\Delta \over {4a}}\] tại x = \[{{ – b} \over {2a}}\]

– Đồ thị:

♦ Trường hợp $a < 0$

– TXĐ: $D = R$.

– Sự biến thiên.

$y’ = 2ax + b$.

Cho \[y’ = 0 \Rightarrow x = {{ – b} \over {2a}}\]

\[\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = – \infty \cr

& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = – \infty \cr} \]

– Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng [-∞, \[{{ – b} \over {2a}}\]].

Hàm số nghịch biến trên khoảng \[[{{ – b} \over {2a}}, +∞]\].

Hàm số đạt cực đại bằng \[ – {\Delta \over {4a}}\] tại x = \[{{ – b} \over {2a}}\]

– Đồ thị:

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 

33 sgk Giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = -x^3 + 3x^2 – 4$. Nêu nhận xét về đồ thị của hàm số này với đồ thị của hàm số khảo sát trong Ví dụ $1$.

Trả lời:

– TXĐ: $D = R$.

– Sự biến thiên:

\[\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = – \infty \cr

& \mathop {\lim }\limits_{x – \infty } y = + \infty \cr} \]

$y’ = -3x^2 + 6x$. Cho $y’ = 0 ⇒ x = 0$ hoặc $x = 2$.

– Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng $[0,2]$

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $[-∞,0], [2,+ ∞]$.

Hàm số đạt cực đại bằng $0$ tại $x = 2$.

Hàm số đạt cực tiểu bằng $-4$ tại $x = 0$.

– Đồ thị

Nhận xét: hai đồ thị đối xứng nhau qua $Oy$.

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 

35 sgk Giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \[y = {{{x^3}} \over 3} – {x^2} + x + 1\]

Trả lời:

– TXĐ: $D = R$.

– Sự biến thiên:

\[\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \cr

& \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty \cr} \]

$y’ = x^2 – 2x + 1 = [x – 1]^2 ≥ 0$ với mọi $x$. Vậy hàm số đồng biến trên toàn bộ $R$.

Cho $y’ = 0 ⇒ x = 1$.

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 36 sgk Giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = -x^4 + 2x^2 + 3$.

Bằng đồ thị, biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình $-x^4 + 2x^2 + 3 = m.$

Trả lời:

– TXĐ: $D = R$.

– Sự biến thiên:

\[\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = – \infty \cr

& \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty \cr} \]

$y’ = -4x^3 + 4x.$ Cho $y’ = 0 ⇒ x = 0$ hoặc $x = ±1.$

– Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên: $[-∞,-1], [0,1]$.

Hàm số nghịch biến trên: $[-1,0], [1, +∞]$.

Hàm số đạt cực đại bằng $4$ tại $x = -1$ và $x = 1$.

Hàm số đạt cực tiểu bằng $3$ tại $x = 0$.

– Đồ thị

Giải biện luận phương trình $-x^4 + 2x^2 + 3 = m$.

Số giao điểm của hai đồ thị $y = -x^4 + 2x^2 + 3$ và $y = m$ là số nghiệm của phương trình trên.

– Với $m > 4$. Hai đồ thị không giao nhau nên phương trình vô nghiệm.

– Với $m = 4$ và $m < 3$. Hai đồ thị giao nhau tại $2$ điểm phân biệt nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

– Với $m = 3$. Hai đồ thị giao nhau tại $3$ điểm phân biệt nên phương trình có ba nghiệm phân biệt.

– Với $3 < m < 4$. Hai đồ thị giao nhau tại $4$ điểm phân biệt nên phương trình có bốn nghiệm phân biệt.

5. Trả lời câu hỏi 5 trang 

38 sgk Giải tích 12

Lấy một ví dụ về hàm số dạng $y = ax^4 + bx^2 + c$ sao cho phương trình $y’ = 0$ chỉ có một nghiệm.

Trả lời:

Ví dụ: hàm số $y = x^4$. Có đạo hàm $y’ = 4x^3$. Cho $y’ = 0$ thì $x = 0$.

6. Trả lời câu hỏi 6 trang 

42 sgk Giải tích 12

Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số

$y = x^2 + 2x – 3;$

$y = -x^2 – x + 2.$

Trả lời:

Xét phương trình tương giao:

$x^2 + 2x – 3 = -x^2 – x + 2$

$⇔ 2x^2 + 3x – 5 = 0$

$⇔ x = 1$ hoặc $x = -\frac{5}{2}$.

Vậy tọa độ giao điểm là $[1, 0]$ và $[-\frac{5}{2}, 8.25]$.

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 trang 43 44 45 sgk Giải tích 12. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập giải tích 12 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 trang 43 44 45 sgk Giải tích 12 của Bài §5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trong Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 trang 43 44 45 sgk Giải tích 12

1. Giải bài 1 trang 43 sgk Giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:

a] \[\small y = 2 + 3x – x^3\].

b] \[\small y = x^3 + 4x^2 + 4x\].

c] \[\small y = x^3 + x^2+ 9x\].

d] \[\small y = -2x^3 + 5\].

Bài giải:

a] \[y=2+3x-{{x}^{3}}.\]

– TXĐ: \[D=R.\]

– Sự biến thiên:

Ta có: \[y’=3-3{{x}^{2}}\Rightarrow y’=0\Leftrightarrow 3-3{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=1 \\ & x=-1 \\ \end{align} \right..\]

Trên khoảng \[\left[ -1;\ 1 \right],\ y’>0\] nên hàm số số đồng biến, trên khoảng \[\left[ -\infty ;-1 \right]\] và \[\left[ 1;+\infty \right]\] có \[y' 0, ∀x.\]

Vậy hàm số luôn đồng biến trên \[\mathbb{R}\] và không có cực trị.

– Giới hạn: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\].

– Bảng biến thiên :

– Đồ thị:

Đồ thị hàm số cắt trục \[Ox\] tại điểm \[[0;0]\], cắt trục \[Oy\] tại điểm \[[0;0]\].

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \[y”=0 ⇔ 6x+2=0 ⇔\] \[x=-\frac{1}{3}.\] Suy ra tọa độ tâm đối xứng là: \[I\left [ -\frac{1}{3};-\frac{79}{27} \right ].\]

Lúc này ta vẫn chưa có đủ điểm để vẽ đồ thị hàm số, ta cần lấy thêm hai điểm có hoành độ cách đều hoành độ \[x_1\] và \[x_2\] sao cho \[\left| {{x_1} – \left[ { – \frac{1}{3}} \right]} \right| = \left| {{x_2} – \left[ { – \frac{1}{3}} \right]} \right|\], khi đó hai điểm này sẽ đối xứng nhau qua điểm uốn. Ta chọn các điểm \[[-1;-9]\] và \[\left [ \frac{1}{2};\frac{39}{8} \right ].\]

d] Xét hàm số \[y=-2x^3+5\]

– Tập xác định: \[D=\mathbb{R}.\]

– Sự biến thiên:

Đạo hàm: \[y’ = -6x^2≤ 0, ∀x\].

Vậy hàm số luôn nghịch biến trên \[\mathbb R\].

– Hàm số không có cực trị.

– Giới hạn: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = – \infty\]

– Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Tính đối xứng: \[y”=-12x; y”=0 ⇔ x=0\]. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm uốn \[I[0;5]\] làm tâm đối xứng.

Đồ thị hàm số cắt trục \[Oy\] tại điểm \[[0;5]\], đồ thị cắt trục \[Ox\] tại điểm \[\left[ {\sqrt[3]{{\frac{5}{2}}};0} \right].\]

2. Giải bài 2 trang 43 sgk Giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:

a] \[\small y = -x^4 + 8x^2 – 1\].

b] \[\small y = x^4 – 2x^2 + 2\].

c] \[\small y=\frac{1}{2}x^4+x^2-\frac{3}{2}\].

d] \[\small y = -2x^2 – x^4 + 3\].

Bài giải:

a] Hàm số \[\small y = -x^4 + 8x^2 – 1\]

– Tập xác định: \[D=\mathbb R\] ;

– Sự biến thiên:

Ta có: \[y’ =-4x^3+ 16x = -4x[x^2- 4]\];

\[\Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow – 4x\left[ {{x^2} – 4} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} – 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 2\end{array} \right.\] .

Hàm số đồng biến trên khoảng \[[-\infty;-2]\] và \[[0;2]\]; nghịch biến trên khoảng \[[-2;0]\] và \[2;+\infty]\].

– Cực trị:

Hàm số đạt cực đạt tại hai điểm \[x=-2\] và \[x=2\]; \[y_{CĐ}=y[\pm 2]=15\].

Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=0\]; \[y_{CT}=-1\]

– Giới hạn: \[\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = – \infty \]

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Đồ thị giao \[Oy\] tại điểm \[[0;-1]\]

Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục \[Oy\] làm trục đối xứng.

b] Hàm số \[\small y = x^4 – 2x^2 + 2\]

– Tập xác định: \[D=\mathbb R\];

– Sự biến thiên:

Ta có: \[y’ =4x^3- 4x = 4x[x^2- 1]\];

\[ \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow 4x\left[ {{x^2} – 1} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} – 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm 1

\end{array} \right..\]

Hàm số đồng biến trên khoảng \[[-1;0]\] và \[[1;+\infty]\]; nghịch biến trên khoảng \[[-\infty;-1]\] và \[[0;1]\].

– Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại \[x=0\]; \[y_{CĐ}=2\].

Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm \[x=-1\] và \[x=1\]; \[y_{CT}=y[\pm 1]=1\].

– Giới hạn: \[\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = + \infty \]

– Bảng biến thiên :

– Đồ thị:

Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục \[Oy\] làm trục đối xứng.

Đồ thị giao \[Oy\] tại điểm \[[0;2]\]

c] Hàm số \[\small y=\frac{1}{2}x^4+x^2-\frac{3}{2}\]

– Tập xác định: \[D=\mathbb R\];

– Sự biến thiên:

Ta có: \[y’ =2x^3+ 2x = 2x[x^2+1]\];

\[ \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow 2x\left[ {{x^2} + 1} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} + 1 = 0

\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0.\]

Hàm số nghịch biến trên khoảng \[[-\infty;0]\]; đồng biến trên khoảng \[[0;+\infty]\].

– Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=0\]; \[y_{CT}={-3\over 2}\]

– Giới hạn: \[\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = + \infty \]

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Hàm số đã cho là hàm số chẵn, nhận trục \[Oy\] làm trục đối xứng.

Đồ thị giao \[Ox\] tại hai điểm \[[-1;0]\] và \[[1;0]\]; giao \[Oy\] tại \[[0;{-3\over 2}]\].

d] Hàm số \[\small y = -2x^2 – x^4 + 3\]

– Tập xác định: \[D=\mathbb R\];

– Sự biến thiên:

Ta có: \[y’ = -4x – 4x^3= -4x[1 + x^2]\];

\[ \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow – 4x\left[ {1 + {x^2}} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} + 1 = 0

\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0.\]

Hàm số đồng biến trên khoảng: \[[-\infty;0]\]; nghịch biến trên khoảng: \[[0;+\infty]\].

– Cực trị: Hàm số đạt cực đạt tại \[x=0\]; \[y_{CĐ}=3\].

– Giới hạn: \[\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = -\infty \]

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Hàm số đã cho là hàm chẵn, nhận trục \[Oy\] làm trục đối xứng.

Đồ thị giao \[Ox\] tại hai điểm \[[1;0]\] và \[[-1;0]\]; giao \[Oy\] tại điểm \[[0;3]\].

3. Giải bài 3 trang 44 sgk Giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức:

a] \[y=\frac{x+3}{x-1}\].

b] \[y=\frac{1-2x}{2x-4}\].

c] \[y=\frac{-x+2}{2x+1}\].

Bài giải:

a] Hàm số \[y=\frac{x+3}{x-1}\]

– Tập xác định : \[\mathbb R{\rm{\backslash \{ }}1\}\];

– Sự biến thiên:

Ta có: \[y’ = {{ – 4} \over {{{[x – 1]}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\] ;

Hàm số nghịch biến trên khoảng: \[[-\infty;1]\] và \[[1;+\infty]\].

– Cực trị: Hàm số không có cực trị.

– Tiệm cận:

\[\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ – }} = – \infty \], \[\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }} = +\infty\]; \[\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 1\]

Do đó, tiệm cận đứng là: \[x = 1\]; tiệm cận ngang là: \[y = 1\].

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Đồ thị nhận điểm \[I[1;1]\] làm tâm đối xứng.

Đồ thị giao trục tung tại:\[[0;-3]\], trục hoành tại \[[-3;0]\]

b] Hàm số \[y=\frac{1-2x}{2x-4}\]

– Tập xác định: \[\mathbb R \backslash {\rm{\{ }}2\} \];

– Sự biến thiên:

Ta có: \[y’ = {6 \over {{{\left[ {2{\rm{x}} – 4} \right]}^2}}} > 0,\forall x \ne 2\]

Hàm số đồng biến trên khoảng: \[[-\infty;2]\] và \[[2;+\infty]\]

– Cực trị: Hàm số không có cực trị.

– Tiệm cận:

\[\mathop {\lim y}\limits_{x \to {2^ – }} = + \infty \], \[\mathop {\lim y}\limits_{x \to {2^ + }} = – \infty \], \[\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = – 1\]

Do đó, tiệm cận đứng là: \[x = 2\]; tiệm cận ngang là:\[ y = -1\].

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Đồ thị nhận điểm \[I[2;-1]\] lầm tâm đối xứng.

Đồ thị giao trục tung tại: \[\left[ {0; – {1 \over 4}} \right]\], trục hoành tại: \[\left[ {{1 \over 2};0} \right]\]

c] Hàm số \[y=\frac{-x+2}{2x+1}\]

– Tập xác định: \[R\backslash \left\{ { – {1 \over 2}} \right\}\];

– Sự biến thiên:

Ta có: \[y’ = {{ – 5} \over {{{\left[ {2{\rm{x}} + 1} \right]}^2}}} < 0,\forall x \ne – {1 \over 2}\]

Hàm số nghịch biến trên khoảng: \[[-\infty;{-1\over 2}]\] và \[[{-1\over 2};+\infty]\]

– Cực trị: Hàm số không có cực trị.

– Tiệm cận:

\[\mathop {\lim y}\limits_{x \to – {{{1 \over 2}}^ – }} = – \infty \], \[\mathop {\lim y}\limits_{x \to – {{{1 \over 2}}^ + }} = + \infty \], \[\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = – {1 \over 2}\]

Do đó, tiệm cận đứng là: \[x = – {1 \over 2}\]; tiệm cận ngang là: \[y = – {1 \over 2}\].

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Đồ thị nhận điểm \[I[ – {1 \over 2}; – {1 \over 2}]\] làm tâm đối xứng.

Đồ thị giao \[Ox\] tại: \[[2;0]\], \[Oy\] tại: \[[0;2]\]

4. Giải bài 4 trang 44 sgk Giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Từ đồ thị tìm số nghiệm của các phương trình sau:

a] \[\small x^3 – 3x^2 + 5 = 0\].

b] \[\small -2x^3 + 3x^2 – 2 = 0\].

c] \[\small 2x^2 – x^4 = -1\].

Bài giải:

Thực chất yêu cầu bài tập là khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Sau đó từ đồ thị hàm số suy ra số nghiệm của phương trình cần tìm.

Số nghiệm của các phương trình đã cho chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f[x] ở vế trái của phương trình cới trục hoành ở câu a, b và với đường thẳng y = -1 ở câu c.

a] \[\small x^3 – 3x^2 + 5 = 0\]

Xét hàm số: \[y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5\]

– Tập xác định: \[D=R.\]

– Sự biến thiên:

Ta có: \[y’=3{{x}^{2}}-6x\Rightarrow y’=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{align} \right..\]

Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left[ \infty ;0 \right]\] và \[\left[ 2;+\infty \right]\]; hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left[ 0;\ 2 \right].\]

Hàm số đạt cực đại tại \[x=0;\ \ {{y}_{CD}}=5.\]

Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=2;\ \ {{y}_{CT}}=1.\]

Giới hạn: \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\infty ;\ \ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\infty .\]

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị hàm số: Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm \[\left[ 0;\ 5 \right].\]

Số nghiệm của phương trình \[{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5=0\] là số giao điểm của đồ thị hàm số \[y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5\] và trục hoành.

Từ đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 1 điểm duy nhất.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

b] \[\small -2x^3 + 3x^2 – 2 = 0\]

Xét hàm số y = -2x3 + 3x2 – 2

– Tập xác định: \[D=\mathbb{R}.\]

– Sự biến thiên:

Đạo hàm: y’ = -6x2 + 6x = -6x[x – 1]; y’ = 0 ⇔ x = 0,x = 1.

Giới hạn: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = – \infty .\]

– Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng [0;1]; nghịch biến trên các khoảng \[\left[ { – \infty ;0} \right]\] và \[\left[ {1; + \infty } \right].\]

– Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=1, giá trị cực đại ycđ=y[1]=-1, hàm số đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu yct=y[0]=-2.

– Đồ thị hàm số:

Tính đối xứng: \[y”=-12x+6;y”=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}.\] Nên tọa độ tâm đối xứng là \[I\left [ \frac{1}{2};-\frac{3}{2} \right ].\]

–Đồ thị hàm số đi qua các điểm: $[-1;3]; [2;-6]$.

Số nghiệm của phương trình \[\small -2x^3 + 3x^2 – 2 = 0\] là số giao điểm của đồ thị hàm số \[\small -2x^3 + 3x^2 – 2 = 0\] và trục hoành.

Từ đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 1 điểm duy nhất.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

c] \[2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}=-1.\]

Xét hàm số: \[y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}.\]

– Tập xác định: \[D=R.\]

– Sự biến thiên:

\[y’=4x-4{{x}^{3}}\Rightarrow y’=0\Leftrightarrow 4x-4{{x}^{3}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & x=\pm 1 \\ \end{align} \right..\]

Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left[ -\infty ;\ -1 \right]\] và \[\left[ 0;\ 1 \right];\] hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left[ -1;\ 0 \right]\] và \[\left[ 1;+\infty \right].\]

Hàm số đạt cực đại tại hai điểm \[x=-1\] và \[x=1;\ \ {{y}_{CD}}=1.\]

Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=0;\ {{y}_{CT}}=0.\]

Giới hạn: \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,=-\infty ;\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,=-\infty .\]

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Số nghiệm của phương trình \[2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}=-1\] là số giao điểm của đồ thị hàm số \[y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}\] và đường thẳng \[y=-1.\]

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \[y=-1\] cắt đồ thị hàm số \[y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}\] tại hai điểm phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

5. Giải bài 5 trang 44 sgk Giải tích 12

a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \[[C]\] của hàm số

\[y = -x^3+ 3x + 1\].

b] Dựa vào đồ thị \[[C]\], biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số \[m\].

\[x^3- 3x + m = 0\].

Bài giải:

a] Xét hàm số \[y = -x^3+ 3x + 1\].

– Tập xác định: \[\mathbb R\].

– Sự biến thiên:

Ta có: \[y’ = -3x^2+ 3 = -3[x^2-1]\];

\[\Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = – 1\end{array} \right.\].

Hàm số đồng biến trên khoảng \[[-1;1]\], nghịch biến trên khoảng \[[-\infty;-1]\] và \[[1;+\infty]\].

– Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại \[x=1\]; \[y_{CĐ}=3\]

Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=-1\]; \[y_{CT}=-1\]

– Giới hạn:

\[\eqalign{ & \mathop {\lim y}\limits_{x \to – \infty } = + \infty \cr

& \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = – \infty \cr} \]

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị: Đồ thị giao \[Oy\] tại điểm \[I[0;1]\] và nhận \[I\] làm tâm đối xứng.

b] \[x^3- 3x + m = 0\] \[⇔ -x^3+ 3x + 1 = m + 1\] [1].

Số nghiệm của [1] chính là số giao điểm của đồ thị hàm số [C] với đường thẳng [d] : \[y = m + 1\].

Từ đồ thị ta thấy:

\[m + 1 < -1 ⇔ m < -2 \]: [d] cắt [C] tại 1 điểm, [1] có 1 nghiệm.

\[m + 1 = -1 ⇔ m = -2\] : [d] cắt [C] tại 1 điểm và tiếp xúc với [C] tại 1 điểm, [1] có 2 nghiệm.

\[-1 < m + 1 < 3 ⇔ -2 < m < 2\] : [d] cắt [C] tại 3 điểm, [1] có 3 nghiệm.

\[ m + 1 = 3 ⇔ m = 2\] : [d] cắt [C] tại 1 điểm và tiếp xúc với [C] tại 1 điểm, [1] có 2 nghiệm.

\[m + 1 > 3 ⇔ m > 2\] : [d] cắt [C] tại 1 điểm, [1] có 1 nghiệm.

6. Giải bài 6 trang 44 sgk Giải tích 12

Cho hàm số \[y=\frac{mx-1}{2x+m}\].

a] Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b] Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị đi qua \[A[-1 ; \sqrt{2}].\]

c] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.

Bài giải:

a] \[y = {{mx – 1} \over {2x + m}}\].

Tập xác định: \[\mathbb R\backslash \left\{ {{{ – m} \over 2}} \right\}\] ;

Ta có: \[y’ = {{{m^2} + 2} \over {{{[2x + m]}^2}}} > 0,\forall x \ne – {m \over 2}\]

Do đó hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b] Tiệm cận đứng \[∆\]: \[x = – {m \over 2}\].

Vì \[A[-1 ; \sqrt2] ∈ ∆\] \[⇔- {m \over 2}= -1 ⇔ m = 2\].

c] Với \[m = 2\] thì hàm số đã cho có phương trình là: \[y = {{2x – 1} \over {2x + 2}}\].

– Tập xác đinh: \[D=\mathbb R\backslash {\rm{\{ }} – 1\} \]

– Sự biến thiên:

Ta có: \[y’ = {2.2+2 \over {{{[2x + 2]}^2}}}={6 \over {{{[2x + 2]}^2}}} > 0\forall x \in D\]

Hàm số đồng biến trên khoảng: \[[-\infty;-1]\] và \[[-1;+\infty]\]

– Cực trị: Hàm số không có cực trị.

– Tiệm cận:

\[\eqalign{ & \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 1 \cr & \mathop {\lim y}\limits_{x \to – {1^ – }} = + \infty \cr

& \mathop {\lim y}\limits_{x \to – {1^ + }} = – \infty \cr} \]

–Tiệm cận đứng là \[x=-1\], tiệm cận ngang là: \[y=1\]

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao \[Ox\] tại điểm \[[{1\over 2};0]\], giao \[Oy\] tại điểm \[[0;{-1\over 2}]\].

Đồ thị hàm số nhận điểm \[I[-1;1]\] làm tâm đối xứng.

7. Giải bài 7 trang 44 sgk Giải tích 12

Cho hàm số y = \[\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+m\].

a] Với giá trị nào của tham số \[m\], đồ thị của hàm số đi qua điểm \[[-1 ; 1]\] ?

b] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \[[C]\] của hàm số khi \[m = 1\].

c] Viết phương trình tiếp tuyến của \[[C]\] tại điểm có tung độ bằng \[\frac{7}{4}\].

Bài giải:

a] Điểm \[[-1 ; 1]\] thuộc đồ thị của hàm số \[⇔1=\frac{1}{4}[-1]^{4}+\frac{1}{2}[-1]^{2}+m\Leftrightarrow m=\frac{1}{4}\].

b] Với \[m = 1\] \[\Rightarrow y=\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+1\] .

– Tập xác định:\[\mathbb R\].

– Sự biến thiên:

Ta có: \[y’=x^{3}+x=x[x^{2}+1] \Rightarrow y’ = 0 ⇔ x = 0\].

Hàm số đồng biến trên khoảng \[[0;+\infty]\], nghịch biến trên khoảng \[[-\infty;0]\]

– Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=0\]; \[y_{CT}=1\]

– Giới hạn:

\[\eqalign{ & \mathop {\lim y}\limits_{x \to – \infty } = + \infty \cr

& \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = + \infty \cr} \]

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị: Đồ thị hàm số giao trục \[Oy\] tại điểm \[[0;1]\].

c] Gọi điểm M thuộc đồ thị hàm số và có tung độ bằng \[ \frac{7}{4}\] là: \[M\left[ {{x_0}; \frac{7}{4}} \right]\].

Khi đó: \[\frac{1}{4}x_0^4 + \frac{1}{2}x_0^2 + 1 = \frac{7}{4} \Leftrightarrow x_0^4 + 2x_0^2 + 4 = 7\]

\[\begin{array}{l}\Leftrightarrow x_0^4 + 2x_0^2 – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x_0^2 = 1\\x_0^2 = – 3\;\;\left[ {ktm} \right]\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = – 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M_1\left[ {1;\frac{7}{4}} \right]\\M_2\left[ { – 1;\;\frac{7}{4}} \right]\end{array} \right..\end{array}\]

Phương trình tiếp tuyến của \[[C]\] tại \[M_1\] là: \[y = y'[1][x – 1] + \frac{7}{4} ⇔ y = 2x -\frac{1}{4}\]

Phương trình tiếp tuyến của \[[C]\] tại \[M_2\] là: \[y= y'[-1][x + 1]+ \frac{7}{4} ⇔ y = -2x – \frac{1}{4}\].

8. Giải bài 8 trang 44 sgk Giải tích 12

Cho hàm số \[y = {x^3} + [m + 3]{x^2} + 1 – m\] [m là tham số] có đồ thị là [Cm].

a] Xác định \[m\] để hàm số có điểm cực đại là \[x=-1\].

b] Xác định \[m\] để đồ thị [Cm] cắt trục hoành tại \[x=-2\].

Bài giải:

a] \[y = {x^3} + \left[ {m + 3} \right]{x^2} + 1 – m.\]

Ta có: \[y’ = 3{x^2} + 2\left[ {m + 3} \right]x \Rightarrow y” = 6x + 2\left[ {m + 3} \right].\]

Hàm số đạt cực đại tại điểm \[x = – 1\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y’\left[ 1 \right] = 0\\y”\left[ 1 \right] < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 – 2\left[ {m + 3} \right] = 0\\ – 6 + 2\left[ {m + 3} \right] < 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = – \frac{3}{2}\\m < 0\end{array} \right. \Rightarrow m = – \frac{3}{2}.\]

Vậy \[m=-\frac{3}{2}.\] thì hàm số đã cho đạt cực đại tại \[x=-1\].

b] Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có M hoành độ \[x = -2 \Rightarrow M[-2;0] \].

\[\begin{array}{l}\Rightarrow {\left[ { – 2} \right]^3} + \left[ {m + 3} \right]{\left[ { – 2} \right]^2} + 1 – m = 0\\ \Leftrightarrow – 8 + 4\left[ {m + 3} \right] + 1 – m = 0\\\Leftrightarrow 4m + 5 – m = 0\\\Leftrightarrow 3m = – 5\\\Leftrightarrow m = – \frac{5}{3}.\end{array}\].

9. Giải bài 9 trang 45 sgk Giải tích 12

Cho hàm số \[y=\frac{[m+1]x-2m+1}{x-1}\] [m là tham số] có đồ thị là \[[G]\].

a] Xác định \[m\] để đồ thị \[[G]\] đi qua điểm \[[0 ; -1]\].

b] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với \[m\] tìm được.

c] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung.

Bài giải:

a] Theo đề bài ta có:

\[[0 ; -1] ∈ [G] ⇔\]\[-1=\frac{[m+1]\cdot 0-2m+1}{0-1}\Leftrightarrow m=0.\]

b] Với \[m = 0\] ta được hàm số \[y=\frac{x+1}{x-1}\] [G0].

– Tập xác định: \[D=\mathbb R \backslash {\rm{\{ }}1\}\]

– Sự biến thiên:

Ta có: \[y’ = {{ – 2} \over {{{[x – 1]}^2}}} < 0\forall x \in D\]

Hàm số nghịch biến trên khoảng: \[[-\infty;1]\] và \[[1;+\infty]\].

Cực trị: Hàm số không có cực trị.

– Tiệm cận:

\[\eqalign{ & \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 1 \cr & \mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ – }} = – \infty \cr

& \mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }} = + \infty \cr} \]

– Tiệm cận đứng là: \[x=1\], tiệm cận ngang là: \[y=1\]

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao trục \[Ox\] tại \[[-1;0]\], trục \[Oy\] tại \[[0;-1]\]

Đồ thị hàm số nhận \[I[1;1]\] làm tâm đối xứng.

c] [G0] cắt trục tung tại \[M[0 ; -1]\].

\[y’=\frac{-2}{[x-1]^{2}}\Rightarrow y'[0] = -2\].

Phương trình tiếp tuyến của [G0] tại \[M\] là : \[y – [-1] = y'[0][x – 0] ⇔ y= -2x – 1\].

Bài trước:

• Giải bài 1 2 trang 30 31 sgk Giải tích 12

Bài tiếp theo:

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 12 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 trang 43 44 45 sgk Giải tích 12!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“