Phương trình chính tắc E có tiêu điểm F2 3 √ 0 đi qua điểm M 1 ( − 3 √ 2 là)
|
Viết phương trình chính tắc của elip (E) . Bài 3.33 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10 – Bài 3: Phương trình đường elip
Viết phương trình chính tắc của elip (E) \({F_1}\) và \({F_2}\) biết: a) (E) đi qua hai điểm \(M\left( {4;{9 \over 5}} \right)\) và \(N\left( {3;{{12} \over 5}} \right)\); b) (E) đi qua \(M\left( {{3 \over {\sqrt 5 }};{4 \over {\sqrt 5 }}} \right)\) và tam giác \(M{F_1}{F_2}\) vuông tại M. Gợi ý làm bài a) Xét elip (E): \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\) (E) đi qua \(M\left( {4;{9 \over 5}} \right)\) và \(N\left( {3;{{12} \over 5}} \right)\) nên thay tọa độ của M và N vào phương trình của (E) ta được: \(\left\{ \matrix{ {{16} \over {{a^2}}} + {{81} \over {25{b^2}}} = 1 \hfill \cr {9 \over {{a^2}}} + {{144} \over {25{b^2}}} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {a^2} = 25 \hfill \cr {b^2} = 9. \hfill \cr} \right.\) Vậy phương trình của (E) là : \({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\) b) xét elip (E) : \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\) Vì \(M\left( {{3 \over {\sqrt 5 }};{4 \over {\sqrt 5 }}} \right) \in (E)\) nên \({9 \over {5{a^2}}} + {{16} \over {5{b^2}}} = 1\,\,\,\,\,(1)\) Ta có : \(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^ \circ } \Rightarrow OM = O{F_1}\) Quảng cáo\( \Rightarrow {c^2} = O{M^2} = {9 \over 5} + {{16} \over 5} = 5\) và: \({a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 5\) Thay vào (1) ta được : \(\eqalign{ & {9 \over {5\left( {{b^2} + 5} \right)}} + {{16} \over {5{b^2}}} = 1 \cr & \Leftrightarrow 9{b^2} + 16\left( {{b^2} + 5} \right) = 5{b^2}({b^2} + 5) \cr} \) \( \Leftrightarrow {b^4} = 14\) \( \Leftrightarrow {b^2} = 4\) Suy ra \({a^2} = 9\) Vậy phương trình chính tắc của (E) là \({{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 4} = 1\)
Viết phương trình chính tắc của đường elip (E) trong mỗi trường hợp sau. Bài 32 trang 103 SGK Hình học 10 Nâng cao – Bài 5. Đường Elip Viết phương trình chính tắc của đường elip (E) trong mỗi trường hợp sau a) (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai \(e = {{\sqrt 3 } \over 2};\) b) (E) có độ dài trục bé bằng 8 và tiêu cự bằng 4; c) (E) có một tiêu điểm là \(F(\sqrt 3 ;0)\) và đi qua điểm \(M\left( {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right).\)  a) Ta có: \(\eqalign{ & 2a = 8 \Leftrightarrow a = 4 \cr & e = {c \over a} = {{\sqrt 3 } \over 2} \Rightarrow c = 2\sqrt 3 \cr & {b^2} = {a^2} – {c^2} = 16 – 12 = 4 \cr} \) Vậy \((E):{{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 4} = 1.\) b) Ta có: Quảng cáo\(\eqalign{ & 2b = 8 \Leftrightarrow b = 4 \cr & 2c = 4 \Leftrightarrow c = 2 \cr & {a^2} = {b^2} + {c^2} = 16 + 4 = 20 \cr} \) Vậy \((E):{{{x^2}} \over {20}} + {{{y^2}} \over {16}} = 1.\) c) Ta có: \(c = \sqrt 3 \Rightarrow {a^2} – {b^2} = 3\) Giả sử: \((E):{{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\) \(M\left( {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right) \in (E)\) nên \({1 \over {{a^2}}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1\) Ta có hệ phương trình: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {a^2} – {b^2} = 3 \hfill \cr {1 \over {{a^2}}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {a^2} = {b^2} + 3 \hfill \cr {1 \over {{b^2} + 3}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {a^2} = {b^2} + 3 \hfill \cr 4{b^2} + 3{b^2} + 9 = 4{b^4} + 12{b^2} \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {a^2} = {b^2} + 3 \hfill \cr 4{b^4} + 5{b^2} – 9 = 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {b^2} = – {9 \over 4}\,(loai) \hfill \cr {b^2} = 1 \Rightarrow {a^2} = 4 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy \((E):{{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\)
Quảng cáo + Bài toán 1: Lập phương trình elip (E) đi qua hai điểm A và B : - Bước 1: Gọi phương trình chính tắc của elip( E) : - Bước 2: Do hai điểm A và B thuộc elip (E) nên thạy tọa độ hai điểm này vào phương trình ( E) ta được hai phương trình ẩn a2; b2. Giải hệ phương trình ta được a2; b2... ⇒ Phương trình chính tắc của elip. + Bài toán 2: Lập phương trình chính tắc của elip ( E) đi qua điểm M và thỏa mãn điều kiện T ( về tiêu cự ; độ dài trục lớn- trục nhỏ; tâm sai....) - Bước 1: Gọi phương trình chính tắc của elip( E) : - Bước 2: Do điểm M thuộc elip (E) nên thạy tọa độ điểm này vào phương trình ( E) ta được một phương trình ẩn a2; b2 - Bước 3: Từ điều kiện T thiết lập một phương trình ẩn a ; b và c. Mà a2 – b2 = c2. Kết hợp ba phương trình trên để tìm a; b; c. ⇒ Phương trình chính tắc của elip ( E) . Ví dụ 1: Elip đi qua các điểm M ( 0; 3) và N( 3; A. C. Lời giải Gọi phương trình chính tắc của Elip là = 1 (a > b > 0). Elip đi qua điểm M( 0; 3) suy ra: ⇔ Elip đi qua điểm N N( 3; ) suy ra: Thay( 1) vào ( 2) ta được: ⇔ Vậy phương trình cần tìm là: Chọn B Quảng cáo Ví dụ 2: Tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng 6 và đi qua điểm A( 0; 5). A. C. Lời giải Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng = 1 (a > b > 0). Ta có tiêu cự bằng 6 nên: 2c = 6 ⇒ c = 3 và a2 - b2 = c2 = 9 ( 1) Do điểm A(0; 5) thuộc ( E) nên: Thay vào (1) ta được : a2 – 25 = 9 ⇔ a2 = 34 ⇒ Phương trình chính tắc của elip ( E) : Chọn D Ví dụ 3: Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và đi qua điểm A. C. Lời giải Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng = 1 (a > b > 0). Theo đề ra: Trục lớn gấp đôi trục bé nên : 2a = 2.( 2b) ⇔ a = 2b ⇔ a2 = 4b2 Điểm ( 2; -2) thuộc Elip : Ta được hệ: ⇒ Phương trình elip ( E) : Chọn D Quảng cáo Ví dụ 4: Phương trình chính tắc của Elip có một tiêu điểm F1(-√3; 0 ) và đi qua M(1; A. C. Lời giải Do elip có một tiêu điểm là F1(- √3; 0) nên c = √3 Phương trình chính tắc của elip có dạng : (E) : = 1 (a > b > 0) ⇒ c = M(1; )∈ (E) ⇒ Giải hệ (1) và (2)
Vậy phương trình elip là: Chọn C Ví dụ 5: Phương trình chính tắc của elip có hai tiêu điểm F1(- 2;0); F2(2; 0) và đi qua điểm M( 2; 3) là A. C. Lời giải + Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm: = 1 (a > b > 0). + Ta có elip có hai tiêu điểm F1(- 2;0); F2(2; 0) nên c = 2 ⇒ a2- b2=c2 = 4 ⇒ a2= b2 + 4 ( 1) + Do elip đi qua điểm M( 2; 3) nên :
+ Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
+ Giải phương trình ( *) ⇔ 4b2 + 9( b2+ 4) = b2 ( b2 + 4) ⇔ 4b2 + 9b2+ 36 = b4 + 4b2 ⇔ b4 – 9b2 -36 = 0 ⇔ b2 = 12 ⇒ a2 = b2 + 4 = 16 ⇒ Phương trình chính tắc của elip ( E) : Chọn A Ví dụ 6: Lập phương trình chính tắc của elip có tâm O; hai trục đối xứng là hai trục toạ độ và qua hai điểm A. C. Lời giải Gọi phương trình chính tắc elip cần tìm là = 1 (a > b > 0). Do elip đi qua , nên ta có hệ :
Vậy elip cần tìm là Chọn C Ví dụ 7: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó có chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là 8 và đi qua A(5; 0) ? A. C. Lời giải Gọi phương trình chính tắc của elip = 1 (a > b > 0). Do chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là 8 nên 2b = 8 ⇔ b = 4 Do elip đi qua điểm A( 5;0) nên: ⇔ a2 = 25 Phương trình chính tắc của elip : Chọn B Ví dụ 8: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A(6; 0) và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng A. C. Lời giải Gọi phương trình chính tắc của Elip là: = 1 (a > b > 0). Elip đi qua điểm A( 6;0) suy ra: ⇔ Tỉ số của tiêu cực với độ dài trục lớn bằng suy ra : ⇒ b2 = a2 – c2 = 62 – 32= 27 Vậy phương trình cần tìm là ( E) : Chọn A Câu 1: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A(2; 1) và có tiêu cự bằng 2√3 ? A. C.
Đáp án: D Trả lời: Giả sử elip có phương trình tổng quát là = 1 (a > b > 0). Do elip có tiêu cự là 2√3 nên 2c= 2√3 ⇔ c= √3. Do ( E) đi qua điểm A(2; 1) và có tiêu cự bằng nên ta có ⇔ Vậy phương trình (E): Câu 2: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A( 6;0) và có tâm sai bằng 1/2 A. C.
Đáp án: B Trả lời: Giả sử elip có phương trình tổng quát là = 1 (a > b > 0). Do ( E) đi qua điểm A(6; 0) và có tâm sai bằng 1/2 nên ta có:
⇔ Câu 3: Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 8 và đi qua M(√15 ; -1) A. C.
Đáp án: A Trả lời: Giả sử elip có phương trình tổng quát là = 1 (a > b > 0). Do ( E) có tiêu cự bằng 8 và đi qua M(√15 ; -1) nên:
⇔ ⇔ ⇒ Phương trình chính tắc của elip(E): Câu 4: Tìm phương trình chính tắc của elip, biết elip có chiều dài hình chữ nhật cơ sở bằng 4√5 và đi qua điểm M( 0; -1)? A. C.
Đáp án: D Trả lời: Gọi phương trình chính tắc của Elip là: = 1 (a > b > 0). Elip có chiều dài hình chữ nhật cơ sở bằng 4√5 suy ra: 2a= 4 √5 nên a= 2√5 và a2= 20 Elip đi qua điểm M(0; -1) suy ra: ⇒ Vậy phương trình cần tìm là: Câu 5: Elip qua điểm M(2; A. C.
Đáp án: A Trả lời: Gọi phương trình chính tắc của Elip là: = 1 (a > b > 0). Elip có một tiêu điểm là F( 2; 0) suy ra c= 2 và c2= 4 ⇔ a2- b2 = 4 (1). Elip đi qua điểm M(2; ) suy ra Từ (1) suy ra a2= b2 + 4 thay vào (2) ta được :
⇔ 36b2 + 25( b2 +4) = 9b2 ( b2 + 4) ⇔ 36b2 + 25b2 + 100 = 9b4 + 36b2 ⇔ 9b4 – 25b2 – 100 = 0 ⇔ b2 = 5 nên a2 = b2 + 4 = 9 Vậy phương trình cần tìm là ( E): Câu 6: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm N(2; A. C.
Đáp án: B Trả lời: Gọi phương trình chính tắc của Elip là: = 1 (a > b > 0). Elip đi qua điểm N( 2; ) suy ra: = 1 ( 1) Tỉ số của tiêu cực với độ dài trục lớn bằng = = ⇒ c2= Kết hợp với điều kiện b2 = a2 – c2 ta được : b2 = a2 - = Thay ( 2) vào ( 1) ta được :
⇔a2= 9 ⇔ b2 = 5 Vậy phương trình cần tìm là ( E): Câu 7: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A(2; √3) và tỉ số của độ dài trục lớn với tiêu cự bằng A. C.
Đáp án: A Trả lời: Gọi phương trình chính tắc của Elip là: = 1 (a > b > 0). Elip đi qua điểm A( 2; √3) suy ra: Tỉ số của độ dài trục lớn với tiêu cự bằng suy ra: = = ⇒ c = Kết hợp với điều kiện b2 = a2 - c2 ta được : b2 = a2 - Thay ( 2) vào (1) ta được : ⇒ a2 = 4b2 = 16 Vậy phương trình cần tìm là: Câu 8: . Lập phương trình chính tắc của elip, biết elip đi qua hai điểm A( 7;0) và B(0; 3). A. C.
Đáp án: D Trả lời: Gọi phương trình chính tắc của Elip là : = 1 (a > b > 0). Elip đi qua điểm A( 7; 0) suy ra: ⇔ Elip đi qua điểm B(0; 3) suy ra: ⇔ Vậy phương trình cần tìm là : Câu 9: Elip đi qua các điểm A( 0; 1) và N( 1; A. C.
Đáp án: C Trả lời: Gọi phương trình chính tắc của Elip là : = 1 (a > b > 0). Elip đi qua điểm A( 0; 1) suy ra: ⇔ Elip đi qua điểm N( 1; ) suy ra: : Thay( 1) vào ( 2) ta được: ⇔ Vậy phương trình cần tìm là ( E) : Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp |
