So sánh hai cơ số cùng số mũ
2. Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân. \(a < b\) thì \(a.c{\rm{ }} < {\rm{ }}b.c\) với \(c > 0\) II. Bài tập Bài 1: So sánh các số sau, số nào lớn hơn? \(\begin{array}{*{20}{l}}{a){\rm{ }}{{27}{11}}vs{\rm{ }}{{81}^8}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;b){\rm{ }}{{625}^5}vs{\rm{ }}{{125}^7}}\\{\;c){\rm{ }}{5{36}}vs{\rm{ }}{{11}{24\;\;\;\;}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;d){\rm{ }}{3{2n}}vs{\rm{ }}{2^{3n\;}}\;(n \in {N^*})}\end{array}\) Hướng dẫn:
Bài 2: So sánh các số sau, số nào lớn hơn? \(\begin{array}{*{20}{l}}{\;\;\;\;\;\;\;\;\;a){\rm{ }}{5^{23}}\;vs{\rm{ }}{{6.5}{22}}\;\;\;\;\;\;\;}\\{\;\;\;\;\;\;\;\;\;b){\rm{ }}{{7.2}{13}}vs{\rm{ }}{2^{16}}}\\{\;\;\;\;\;\;\;\;\;c){\rm{ }}{{21}^{15}}vs{\rm{ }}{{27}^5}{{.49}^8}}\end{array}\) Hướng dẫn:
Bài 3: So sánh các số sau, số nào lớn hơn. \(\begin{array}{*{20}{l}}{a){\rm{ }}{{199}{20}}\;vs{\rm{ }}{{2003}{15}}.}\\{\;b){\rm{ }}{3^{39}}vs{\rm{ }}{{11}^{21}}.}\end{array}\) Hướng dẫn : \(\begin{array}{*{20}{l}}{a){\rm{ }}{{199}{20}} < {\rm{ }}{{200}{20}} = {\rm{ }}{{\left( {{2^3}{{.5}2}} \right)}{20}} = {\rm{ }}{2^{60}}.{\rm{ }}{5^{40}}.}\\\begin{array}{l}\;{2003^{15}} > {\rm{ }}{2000^{15}} = {\rm{ }}{\left( {{{2.10}3}} \right){15}} = {\rm{ }}{\left( {{2^4}.{\rm{ }}{5^3}} \right){15}} = {\rm{ }}{2{60}}{.5^{45}}\\ = > {199^{20}} < {2003^{15}}\;\end{array}\\{\;b){\rm{ }}{3^{39}} < {3^{40}} = {\rm{ }}{{\left( {{3^2}} \right)}{20}} = {\rm{ }}{9{20}} < {{11}^{21}}.}\end{array}\) Bài 4: So sánh 2 hiệu,hiệu nào lớn hơn? \({72^{45}} - {\rm{ }}{72^{44}}\) và \({72^{44}} - {\rm{ }}{72^{43}}\) Hướng dẫn: \(\begin{array}{*{20}{l}}{{{72}{45}} - {{72}{44}} = {{72}{44}}\left( {72 - 1} \right) = {{72}{44}}.71.}\\{{{72}{44}} - {{72}{43}} = {{72}{43}}\left( {72 - 1} \right) = {{72}{43}}.71.}\end{array}\) Bài 5: Tìm \(x \in N\)biết: \(\begin{array}{l}a,{\rm{ }}{16^x} < {\rm{ }}{128^{4.}}\\b,{\rm{ }}{5^x}{.5^{x + 1}}{.5^{x + 2}} \le 100...0{\rm{ }}:{\rm{ }}{2^{18}}\end{array}\) Hướng dẫn: a, Đưa 2 vế về cùng cơ số 2. luỹ thừa nhỏ hơnsố mũ nhỏ hơn. Từ đó tìm x. b, Đưa 2 vế về cùng cơ số 5x.\({10.9^8}.\) Bài 6: Cho \(S = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ..... + {2^9}.\) Hãy so sánh S với \({5.2^8}.\) Hướng dẫn: \(\begin{array}{l}2S = 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + .... + {2^{10}}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ = > 2S - S = {2^{10}} - 1\left( {{2^{10}} = {2^2}{{.2}^8} = {{4.2}^8} < {{5.2}^8}} \right).\end{array}\) Bài 7: Gọi m là các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0. Hãy so sánh m với Hướng dẫn:Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm triệu. Có 9 cách chọn chữ số hàng chục triệu.... \( = > m = 9.9.9.9.9.9.9.9.9 = {9^9}.\) Mà \({9^{9\;}} = \;{9.9^8}{\;^{\;\;}} < \;{10.9^8}.\) Vậy: \(m{\rm{ }} < \;{10.9^8}.\) Bài 8: So sánh \(a)\;\;{31^{31}}\;\;vs\;\;{17^{39}}.\;\;\;\) b) và Hướng dẫn: a) \({31^{31}} < {\rm{ }}{32^{31}} = {2^{155}};{\rm{ }}{17^{39}} > {16^{39}} = {\rm{ }}{2^{156}}.\)
Bài 9: Tìm \(x \in N\) biết \(\begin{array}{*{20}{l}}{a){\rm{ }}{1^3}\;\; + {\rm{ }}{2^3}\;\;\; + {\rm{ }}{3^3} + {\rm{ }}... + {\rm{ }}{{10}^3} = {\rm{ }}{{\left( {{\rm{ }}x{\rm{ }} + 1} \right)}^2}}\\{b){\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} + {\rm{ }}... + {\rm{ }}99{\rm{ }} = {\rm{ }}{{\left( {x{\rm{ }} - 2} \right)}^2}}\end{array}\;\) Giải: \(\begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{l}}{a){1^3}\;\; + {2^3}\;\; + {\rm{ }}{3^3} + {\rm{ }}... + {\rm{ }}{{10}^3} = {\rm{ }}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}\\{{{\left( {1 + {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}3 + ... + {\rm{ }}10} \right)}^2} = {\rm{ }}{{\left( {{\rm{ }}x{\rm{ }} + 1} \right)}^2}}\\{{{55}^2}\;\; = {\rm{ }}{{\left( {{\rm{ }}x{\rm{ }} + 1} \right)}^2}}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{l}}{55{\rm{ }} = {\rm{ }}x{\rm{ }} + 1}\\{x{\rm{ }} = {\rm{ }}55 - {\rm{ }}1}\\{x{\rm{ }} = {\rm{ }}54}\\{}\end{array}\end{array}\) \(\begin{array}{l}b)1 + 3 + 5 + 7 + ... + 99 = {(x - 2)^2}\\{(\frac{{99 - 1}}{2} + 1)^2} = {(x - 2)^2}\\{50^2} = {(x - 2)^2}\\x = 50 + 2\\x = 52\end{array}\) |