CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊNa [ a + 1] = k 2Dạng 1: Sử dụng tính chất:x2 + x − y 2 = 0Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:x = 02x +1 = 0x [ x + 1] = y=>x 2 + y 2 + 3 xy = x 2 y 2Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:2[ x + y ] = x 2 y 2 − xy = xy [ xy − 1]x2 − y 2 − x + 2 y = 1Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:2x 2 − x = y 2 − 2 y + 1 => [ y − 1] = x [ x − 1]x 2 + xy + y 2 = x 2 y 2Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:2[ x + y ] = x 2 y 2 + xy = xy [ xy + 1]1GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713Dạng 2: Đưa về tổng các số chính phương4 x 2 + 8 y 2 + 8 xy + 4 y − 8 = 0Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:22[ 2 x + 2 y ] + [ 2 y + 1] = 9 = 02 + 32x2 + y 2 − x − y = 8Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:[ 4 x 2 − 4 x + 1] + [ 4 y 2 − 4 y + 1] = 34Nhân với 4 ta được:x 2 − 4 xy + 5 y 2 = 169Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:2[ x − 2 y ] + y 2 = 169x 2 + 5 y 2 + 2 y − 4 xy − 3 = 0Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:22[ x − 2 y ] + [ y + 1] = 4x 2 + 13 y 2 − 6 xy = 100Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên dương:HD:2[ x − 3 y ] + 4 y 2 = 1002 x 6 + y 2 − 2 x3 y = 64Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:2t 2 + [ t − y ] = 64x3 = tnếu đặtx+11+ y+ =4xy[x+ 1] [ x 2 + y 2 ] = 4 x 2 yBài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:221 1 x−+y−÷ =4÷x y÷2Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:x 4 + x 2 y 2 + x 2 + y 2 = 4 x 2 y => [ x 2 − y ] + x 2 [ y − 1] = 0222 x 2 + y 2 − 2 xy + 2 y − 6 x + 5 = 0Bài 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên::HD :2GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713[x2− 2 xy + y 2 ] − 6 x + 2 y + x 2 + 5 = 0[ x − y]2− 2 [ x − y ] − 4x + x2 + 5 = 0=>[ x − y − 1]2+ [ x − 2] = 02=>x2 + 4 y 2 − 2x − 4 y + 2 = 0Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:[ x2 − 2 x + 1] + [ 4 y 2 − 4 y + 1] = 04 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 − 4 xy − 4 xz + 2 yz − 6 y − 10 z + 34 = 0Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:2[ 2 x ] − 4 x [ y + z ] + y 2 + 2 yz + z 2 + y 2 − 6 y + z 2 − 10 z + 34 = 0[[ 2x − x − y ]2] [] []+ [ y 2 − 6 y + 9 ] + [ z 2 − 10 z + 25 ] = 0=>x2 + y 2 − x − y = 8Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:1 21 1722 2=> [ 2 x − 1] + [ 2 y − 1] = 34 x − x + ÷+ y − y + ÷ =4 4 2m 2 + n 2 = 9m + 13n − 20Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:[ 4m2 − 36m + 81] + [ 4n2 − 52n + 169 ] = 170Nhân 4x 2 − 6 xy + 13 y 2 = 100Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên:HD:[ x − 3 y ] 2 = 4[25 − y 2 ]y 2 ≤ 25, y 2, màlà số chính phương nên =>yx 2 − 4 xy + 5 y 2 − 16 = 0Bài 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:HD :x 2 − 4 xy + 5 y 2 − 16 = 0Ta có phương trình trở thành :2x 2 − 4 xy + 4 y 2 + y 2 = 16 => [ x − 2 y ] + y 2 = 16[ x − 2y] ∈ Z=>, Vì x,y là số nguyên nên22[ x − 2 y ] + y = 16 = 0 + 16 = 16 + 0=>x 2 + y 2 + 5 x 2 y 2 + 60 = 37 xyBài 16: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn:HD:3GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713[ x − y]2= − x 2 y 2 + 35 xy − 60 => [ x − y ] = 5 [ xy − 3 ] [ 4 − xy ]2≥05 [ xy − 3] [ 4 − xy ] ≥ 0 => 3 ≤ xy ≤ 4Giả sử có x,y nguyên thỏa mãn: VT=>Do x,y nguyên nên xy=3 hoặc xy=42[ x − y ] = 0 => x = yNếu xy=3 thìvà xy=3[ vô lý]2[ x − y ] = 0 => x = y = 2Nếu xy=4 thì.10 x 2 + 20 y 2 + 24 xy + 8 x − 24 y + 51 < 0Bài 17: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn bất phương trình:HD:222[ 3x + 4 y ] + [ x + 4 ] + [ 2 y − 6 ] − 1 < 03x + 4 y = 0, x + 4 = 0, 2 y − 6 = 0Biến đổi:khi2x + y 2 − 8 x + 3 y = −18Bài 18: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :HD:x5 + 29 x − 30 y = 10Bài 19: CMR: phương trình sau không có nghiệm nguyên:HD:4GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713DẠNG 3 : ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCHx2 + 4x − y 2 = 1Bài 1 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :[ x2 + 4x + 4] − y 2 = 5x − y + 2 xy = 6Bài 2 :Giải phương trình nghiệm nguyên :HD:Ta có: x [ 1 + 2 y ] − y = 6 x [ 1 + 2 y ] − y −1 11=2 22 x [ 1 + 2 y ] − [ 2 y + 1] = 11 [ 2 x − 1] [ 2 y + 1] = 11x 2 + xy + 3 y = 11Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :22 2y y2 y2 2x + y y − 3 x + 2 x. + ÷− − 3 y ÷ = 11 => ÷ −÷ =22 4 4 2 2 [ 2x + y ]2− [ y − 3] = 8 [ 2 x + y + y − 3] [ 2 x + y − y + 3] = 82x 2 − 25 = y [ y + 6 ]Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :x 2 − [ y 2 + 6 y ] = 25 => x 2 − [ y 2 + 6 y + 9 ] = 16[ x + y + 3][ x − y − 3] = 16=>x − y − 3 + x + y + 3 = 2xmàlà 1 số chẵn nên 2 số đều chẵnx [ x + 1] [ x + 2 ] [ x + 3] = y 2Bài 5 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :[ x2 + 3x ] [ x 2 + 3x + 2 ] = y 2 => [ a + 1 + y ] [ a + 1 − y ] = 1 a = x2 + 3xvới22x − y = 1999Bài 6 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD:[ x − y ] [ x + y ] = 1999x 2 + 2 y = xyBài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên :HD: 2y y2 y2yx−2x.+ ÷− + 2. .2 + 4 ÷ = −42 4 42[ x − 2 y − 2 ] [ x + 2 ] = −16=>x − y = 6 − 2 xyBài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :5GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 09818917132 xy + x − y = 6 x [ 2 y + 1] − y −1 11=2 22 x [ 2 y + 1] − [ 2 y + 1] = 11 [ 2 x − 1] [ 2 y + 1] = 11x2 + y 2 = 2x2 y 2Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên :HD:2 x 2 y 2 − x 2 − y 2 = 0 => x 2 [ 2 y 2 − 1] − y 2 +1 1=2 22 x 2 [ y 2 − 1] − [ 2 y 2 − 1] = 1 => [ 2 x 2 − 1] [ 2 y 2 − 1] = 1=>xy = 4 [ x + y ]Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :xy − 4 x − 4 y = 0 x [ y − 4 ] − 4 y + 16 = 16 x [ y − 4 ] − 4 [ y − 4 ] = 16 [ x − 4 ] [ y − 4 ] = 16x [ x − 1] [ x − 7 ] [ x − 8 ] = y 2Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên :HD:[ x 2 − 8 x ] [ x 2 − 8 x + 7 ] = y 2 a [ a + 7 ] = y 2x [ x − 8 ] = y 2 − 116Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên :HD:2x 2 − 8 x + 16 − y 2 = −110 => [ x − 4 ] − y 2 = −110xy + 3 x − 5 y = −3Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên :HD:x [ y + 3] − 5 y − 15 = −18 => x [ y + 3] − 5 [ y + 3] = −186 x 2 y 3 + 3 x 2 − 10 y 3 = 2Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên :HD:3x 2 [ 2 y 3 + 1] − 10 y 3 − 5 = 23 x 2 [ 2 y 3 + 1] − 5 [ 2 y 3 + 1] = 2=>2 x 2 + y 2 + 3 xy + 3 x + 2 y + 2 = 0Bài 15: Giải phương trình nghiệm nguyên :HD:22 23x + 2 ] 2 [ 3x + 2 ][y+ 3x + 2 ÷ = 0 y + 2. . [ 3 x + 2 ] + + 2x −÷244 2=>3 x + 2 8 x 2 − 9 x 2 − 12 x − 4 + 12 x + 8y+=0÷ +2 4[ 2 y + 3x + 2 ]2− x 2 = −4=>6GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 09818917134 2+ =1x yBài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên :HD:4 y + 2 x = xy => x [ y − 4 ] − 2 x = 01 1 1+ =x y 3Bài 17 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :⇔ 3 [ x + y ] = xy ⇔ x [ y − 3] − 3 y = 0xy − x − y = 2Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD : x [ y − 1] − y + 1 = 3 x [ y − 1] − [ y − 1] = 3 [ x − 1] [ y − 1] = 3x + xy + y = 9Bài 19 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :x [ y + 1] + y + 1 = 10 [ x + 1] [ y + 1] = 10x 2 − 2 x − 11 = y 2Bài 20 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :2 [ x 2 − 2 x + 1] − y 2 = 12 [ x − 1] − y 2 = 12 [ x − 1 − y ] [ x − 1 + y ] = 12x3 − y 3 = xy + 8Bài 21 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Ta có :3[ x − y ] + 3xy [ x − y ] = xy + 8x − y = aa3 − 833=>fta+3ab=b+8a−8=−b3a−1=>−b=[]3a − 1 xy = bĐặt :27 [ a 3 − 8 ] M3a − 1 => 27 a 3 − 1 − 215M3a − 1 => 3a − 1 ∈ U [ 215 ]1 111+ +=x y 6 xy 6Bài 22 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Ta có : 6 [ x + y ] + 1 = xy xy − 6 x − 6 y = 1 x [ y − 6 ] − 6 y + 36 = 37 x [ y − 6 ] − 6 [ y − 6 ] = 37 [ x − 6 ] [ y − 6 ] = 372 x 2 − 2 xy − 5 x + y + 19 = 0Bài 23 : Giải phương trình nghiệm nguyên :7GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713HD :Ta có : 2 x [ x − y ] − [ x − y ] − 4 x + 19 = 0 [ x − y ] [ 2 x − 1] − 4 x + 2 = −17 [ x − y ] [ 2 x − 1] − 2 [ 2 x − 1] = −17 [ 2 x − 1] [ x − y − 2 ] = −17x 2 + 2 y 2 + 2 xy + y − 2 = 0Bài 24 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Ta có : x 2 + 2 yx + 2 y 2 + y − 2 = 0∆ ' = y2 − [ 2 y 2 + y − 2] = − y2 − y + 2Có, Để phương trình có nghiệm thì :1 931 3∆ ' ≥ 0 y + ÷ ≤ − ≤ y + ≤ −2 ≤ y ≤ 12 422 22x2 + [ 3 − 2 y ] x + 2 y 2 − 3 y + 2 = 0Bài 25 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :∆ ' = 1 − 4y 2∆ ' ≥ 0 y 2 ≤Có1 y = 0 => x = −1, x = −24, để phương trình có nghiệm thì3x 2 + 4 y 2 + 6 x + 3 y − 4 = 0Bài 26 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD : [ 3 x 2 + 6 x ] + [ 4 y 2 + 3 y ] = 4x 2 + 5 y 2 − 4 xy + 2 y − 3 = 0Bài 27 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :22 [ x 2 − 4 xy + 4 y 2 ] + [ y 2 + 2 y + 1] = 4 [ x − 2 y ] + [ y + 1] = 43 x 2 + y 2 + 4 xy + 4 x + 2 y + 5 = 0Bài 28 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :∆ y = x 2 − 4 => ∆ y ≥ 0 [ x − 2 ] [ x + 2 ] ≥ 0 => x = ±Xét :x 2 − [ y + 5] x + 5 y + 2 = 0Bài 29 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Theo vi- ét ta có : x1 + x2 = y + 5=> [ x1 − 5 ] [ x2 − 5 ] = 2 = 1.2 = [ −1] . [ −2 ] x1.x2 = 5 y + 2x 2 − 2 x − 11 = y 2Bài 30 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :8GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713[ x − 1]2− y 2 = 12 [ x − 1 + y ] [ x − 1 − y ] = 12Đưa phương trình về dạng :x 2 + 2 y 2 + 3 xy − x − y + 3 = 0Bài 31 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Chuyển phương trình thành bậc hai với x x 2 + [ 3 y − 1] x + [ y 2 − y + 3] = 0, có :2∆ = y − 2 y − 11∆, Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm nguyên là là số chính phươngy 2 − 2 y − 11 = k 2 [ k ∈ Z ] => y = 5, y = −3=>xy − 2 x + 3 y = 27Bài 32 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :[ x + 3] [ y − 2 ] = 21Đưa phương trình về dạng :x [ y + 3] − y = 38Bài 33 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :[ x − 1] [ y + 3] = 35Đưa phương trình về dạng :3 xy + x + y = 17Bài 34 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :[ 3x + 1] [ 3 y + 1] = 52Đưa phương trình về dạng :x 2 + x + 1 = xy − yBài 35 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :[ x − 1] [ y − x − 2 ] = 3Đưa phương trình về dạng :xy 2 + 2 xy − 243 y + x = 0Bài 36 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Đưa phương trình về dạng :22x [ y + 1] = 243 y => [ y + 1] ∈ U [ 243][ x; y ] = [ 54; 2 ] ; [ 24;8 ]=>2 x 2 − 2 xy = 5 x − y − 19Bài 37 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :2 x 2 − 5 x + 192 x 2 − 5 x + 19 = y [ 2 x − 1] => y =2x −1đưa phương trình về :9GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713y [ x − 1] = x 2 + 2Bài 38 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Đưa phương trình về dạng :3y = x +1+x −115 x 2 − 7 y 2 = 9Bài 39 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :y 2 M3 => y M3 => y = 3 y1 => 5 x 2 − 21 y12 = 3 => xM3 => x = 3 x1Ta có :=> 15 x12 − 7 y12 = 1 => y12 ≡ −1[ mod 3 ]=> Vô nghiệm29 x 2 − 28 y 2 = 2000Bài 40 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :x 2 ≡ 5 [ mod 7 ]Đưa phương trình về thành :, Vô nghiệm1999 x 2 − 2000 y 2 = 2001Bài 41 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :x 2 ≡ −1[ mod 4 ]Đưa phương trình về dạng :, Vô nghiệmx 2 y 2 − x 2 − 8 y 2 = 2 xyBài 42 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :2y 2 [ x2 − 7 ] = [ x + y ]Đưa phương trình về dạng :x= y=0x2 − 7Phương trình có nghiệm, xét x, y # 0 =>là 1 số chính phương22x − 7 = a => [ x − a ] [ x + a ] = 7 =>Đặt :Tìm x[ 0;0 ] , [ 4; −1] , [ 4; 2 ] , [ −4;1] , [ −4; −2 ]x + xy + y = 9Bài 43 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :[ x + 1] [ y + 1] = 10Đưa phương trình vê dạng :y 2 = x [ x + 1] [ x + 7 ] [ x + 8 ]Bài 44 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :2y 2 = [ x 2 + 8 x ] [ x 2 + 8 x + 7 ] = z 2 + 7 z => 4 y 2 = [ 2 z + 7 ] − 49Đưa phương trình thành :10GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 098189171349 = [ 2 z − 2 y + 7 ] [ 2 z + 2 y + 7 ]=>x [ 1 + x + x 2 ] = 4 y [ y + 1]Bài 45 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :21 + x + x 2 + x3 = 4 y 2 + 4 y + 1 => [ x + 1] [ x 2 + 1] = [ 2 y + 1]Phương trình [ x + 1] , [ x 2 + 1]Vì VP là 1 số lẻ =>là số lẻ ,1 − x 2 Md1 + x Md=> 22[ x + 1; x2 + 1] = d1 + x Md1 + x MdGiả sử :=> d lẻ , Mà :2=> [ 1 + x ] [ 1 + x ]x + 1 = x 2 + 1 => x = 0là số chính phương =>x 2 + xy + y 2 = x 2 y 2Bài 46 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Ta có :2x 2 + xy + y 2 = x 2 y 2 => [ x + y ] = x 2 y 2 + xy = xy [ xy + 1] xy = 0=> xy + 1 = 0x + y + xy = x 2 + y 2Bài 47 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Đưa phương trình về dạng :x 2 − [ y + 1] x + [ y 2 − y ] = 0, Điều kiện để phương trình có nghiệm là :222∆ ≥ 0 3 y − 6 y − 1 < 0 3 [ y − 1] ≤ 4 => [ y − 1] ≤ 1y = 0,1, 2Từ đó ta có :x 2 + 2 y 2 + 3 xy − x − y + 3 = 0Bài 48 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :x 2 + [ 3 y − 1] x + [ 2 y 2 − y + 3] = 0Đưa phương trình về dạng :∆≥0Điều kiện để phương trình có nghiệm làLàm giống bài trên[ x2 + y ] [ x + y 2 ] = [ x − y ] 3Bài 49 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :y 2 y 2 + [ x 2 − 3 x ] y + [ x + 3x 2 ] = 0Đưa phương trình về dạng :TH1 : y=0 => ...11GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713y ≠ 0 => 2 y 2 + [ x 2 − 3 x ] y + [ x + 3 x 2 ] = 0TH2 :∆ ≥ 0 => [ x + 1] x [ x − 8 ]2Điều kiện để phương trình có nghiệm làphải là 1 số chính phương2x [ x − 8 ] = a [ a ∈ N ] => [ x − 4 − a ] [ x − 4 + a ] = 16=>=> Tìm xĐáp án : [x ; y]= [ 9 ; -6], [9 ; -21], [8 ; -10], [-1 ; -1], [m ; 0] với m là số nguyên7 [ x + y ] = 3 [ x 2 − xy + y 2 ]Bài 50 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :3x 2 − [ 3 y + 7 ] x + 3 y 2 − 7 y = 0Đưa phương trình về dạng :∆Để phương trình có nghiệm thì phải là 1 số chính phương12 x 2 + 6 xy + 3 y 2 = 28 [ x + y ]Bài 51 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Cách 1 : Đánh giá miền cực trị của x :214214 196229 x = −3 [ x + y ] + 28 [ x + y ] =− 3 [ x + y ] − ≤333x 2 ≤ 7 => x 2 ∈ { 0;1; 4}=>Cách 2 : Tính∆x 2 + xy + y 2 = 2 x + yBài 52 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :x2 + [ y − 2] x + y2 − y = 0Đưa phương trình về dạng :∆≥0Điều kiện để phương trình có nghiệm làx 2 + xy + y 2 = x + yBài 53 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :x 2 + [ y − 1] x + y 2 − y = 0Đưa phương trình về dạng :∆≥0Điều kiện để phương trình có nghiệm làx 2 − 3 xy + 3 y 2 = 3 yBài 54 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :x 2 − 3 yx + 3 y 2 − 3 y = 0Đưa phương trình về dạng :∆≥0Điều kiện để phương trình có nghiệm làx 2 − 2 xy + 5 y = y + 1Bài 55 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :12GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713x 2 − 2 yx + 5 y 2 − y − 1 = 0Đưa phương trình về dạng :Điều kiện để phương trình có nghiệm là∆≥0x2 − 4 y 2 = 1Bài 56 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :[ x − 2y] [ x + 2 y] = 1Biến đổi phương trình thành :x 2 − y 2 = 91Bài 57 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :[ x − y ] [ x + y ] = 91Biến đổi phương trình thành :2 x3 + xy = 7Bài 58 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :x [ 2 x2 + y ] = 7Biến đổi phương trình thành :x3 + 7 y = y 3 + 7 xBài 59 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Biến đổi phương trình thành :x3 − y 3 − [ 7 x − 7 y ] = 0 [ x − y ] [ x 2 + xy + y 2 ] − 7 [ x − y ] = 0 [ x − y ] [ x 2 + xy + y 2 − 7 ] = 0x=yTH1 :x 2 + xy + y 2 = 7 => [ x − y ] = 7 − 3 xy => xy y = 27=> 3 x = 2 => y = 13x 2 + 10 xy + 8 y 2 = 96Bài 60 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :[ x + 2 y ] [ 3x + 4 y ] = 96Đưa phương trình về dạng :[ x + 2 y ] + [ 3x + 4 y ] = 2 [ 2 x + 3 y ]Chú ý : Vìlà 1 số chẵn nên có tính chất cùng chẵnxy + 3x − 5 y = −3Bài 61 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :x [ y + 3] − 5 y − 15 = −18 => x [ y + 3] − 5 [ y + 3] = −18Đưa phương trình về dạng :13GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 [ x − 5 ] [ y + 3] = −18x + y + 1 = xyzBài 62 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :x≤ yGiả sử :x = y => 2 x + 1 = x 2 z => x [ xz − 2 ] = 1 => x = y = 1, z = 3TH1 :x < y => xyz < 2 y + 1 => xyz ≤ 2 y xz ≤ 2 => x = 1, y = 2, z = 2TH2 :hoặcx = 2, y = 2, z = 12 x 2 − 2 xy − 5 x + 5 y = −19Bài 63 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :2 x [ x − y ] − 5 [ x − y ] = −19 [ 2 x − 5 ] [ x − y ] = −19Đưa phương trình về dạng :4 x + 11 y = 4 xyBài 64 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :[ 4 x − 11] [ y − 1] = 1Đưa phương trình về dạng :x 2 − 656 xy − 657 y 2 = 1983Bài 65 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :[ x + y ] [ x − 567 y ] = 1983Đưa phương trình về dạng :7 x − xy − 3 y = 0Bài 66 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :[ x + 3] [ 7 − y ] = 21Đưa phương trình về dạng :y 2 [ x + 1] = 1576 + x 2Bài 67 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :[ x + 1] [ y 2 − x + 1] = 1577 = 19.83Đưa phương trình về dạng :x 2 + 2003 x + 2004 y + y = xy + 2004 xy 2 + 2005Bài 68 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :[ x − 1] [ x + 2004 − 2004 y 2 − y ] = 1Đưa phương trình về dạng :14GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713DẠNG 4 : ĐƯA VỀ ƯỚC SỐx 2 − 3x + 9 = − xy + 2 yBài 1 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :y [ x − 2 ] = x2 − 3 x + 9Phương trình tương đương với :=> x 2 − 3x + 9M2 − xy=x 2 − 3x + 92− xVới x=2 không phải là nghiệm khi đó ta có :x2 y + 2 y = x + 4Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :y [ x 2 + 2 ] = x + 4 => y =Biến đổi phương trình thành :x+4x2 + 2x2 y + 2 y − 2x +1 = 0Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :y [ x 2 + 2 ] = 2 x − 1 => y =Biến đổi phương trình thành :2x −1x2 + 2x3 − x 2 y + 3x − 2 y − 5 = 0Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :x3 + 3x − 5 = x 2 y + 2 y = y [ x 2 + 2 ]Biến đổi phương trình về dạng :x3 + 3x − 5=> y =x2 + 2A=x3 − 2 x2 + 7 x − 7x2 + 3Bài 5 : Tìm x nguyên để biểu thức sau nguyên :HD :4x −1A = [ x − 2] + 2=> [ 4 x − 1] Mx 2 + 3 => [ 4 x − 1] [ 4 x + 1] Mx 2 + 3x +3Ta có :7 [ x − 1] + 3 y = 2 xyBài 6 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :HD :7 x − 7 + 3 y = 2 xy => 7 [ x − 1] = 2 xy − 3 y = y [ 2 x − 3 ]ta có :7x − 7=> y =2x − 3x 2 y + xy + y − x − 1 = 0Bài 7 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :HD :15GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713y [ x 2 + x + 1] = x + 1 => y =Biến đổi phương trình thành :x +1x + x +12x2 y − 2x + 2 y +1 = 0Bài 8 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :HD :Biến đổi phương trình thành :2x −1y [ x 2 + 2 ] = 2 x − 1 => y = 2x +2x3 − x 2 y − 2 x 2 − 3 y − 7 x − 7 = 0Bài 9 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :HD :Biến đổi phương trình trở thành :x3 − 2 x 2 − 7 x − 7 = x 2 y + 3 y = y [ x 2 + 3]x3 − 2 x 2 − 7 x − 7=> y =x2 + 33 x + 4 y − xy = 16Bài 10 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :HD :Biến đổi phương trình thành :xy − 3 x − 4 y = −16 x [ y − 3] − 4 y + 12 = −4x [ y − 3] − 4 [ y − 3] = −4 => [ y − 3 ] [ x − 4 ] = −4xy − 3x − 4 y = 9Bài 11 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :HD :Biến đổi phương trình thành :x [ y − 3] − 4 y + 12 = 21 [ x − 4 ] [ y − 3] = 212 xy − 5 = 6 x + yBài 12 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :HD :Biến đổi phương trình thành :2 xy − 6 x − y = 5 2 x [ y − 3] − y + 3 = 8[ y − 3] [ 2 x − 1] = 8[ y + 2] x2 + 1 = x 2Bài 13 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :HD :Biến đổi phương trình thành :x2 −1x2 − 1y + 2 = 2 => y = 2 − 2xxx 2 + 2 xy + x + 1 + 3 y = 15Bài 14 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :HD :16GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713Biến đổi phương trình thành :x 2 + x + 1 − 15 = − y [ 2 x + 3] => − y =x 2 + x − 142x + 35 x + 25 = 8 y 2 − 3xyBài 15 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :HD :Biến đổi phương trình thành :3 xy + 5 x = 8 y 2 − 25 => x [ 3 y + 5 ] = 8 y 2 − 25x=8 y 2 − 253y + 52 xy 2 + x + y + 1 = x 2 + 2 y 2 + xyBài 16 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :HD :Biến đổi phương trình thành :[ 2 xy 2 − 2 y 2 ] − [ xy − y ] − [ x 2 − x ] = −1 2 y 2 [ x − 1] − y [ x − 1] − x [ x − 1] = −1 [ x − 1] [ 2 y 2 − y − x ] = −1[ y + 2] x2 + 1 = y2Bài 17 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Biến đổi phương trình thành :y2 −1x2 =y+25 x − 3 y = 2 xy − 11Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Biến đổi phương trình thành :2 xy − 5 x + 3 y = 11 x [ 2 y − 5 ] = 11 − 3 y => x =11 − 3 y2y −5xy − 2 x − 3 y + 1 = 0Bài 19 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Biến đổi phương trình ta có :5y = 2+x −3y [ x + 1] = x 2 + 2Bài 20 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Biến đổi phương trình ta có :3y = x +1+x −12 x − 3 y + 5 xy = 39Bài 21 : Giải phương trình nghiệm nguyên :17GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713HD :Biến đổi phương trình thành :2 x − 39y==> 2 x − 39 ≥ 3 − 5 x => −12 ≤ x ≤ 63 − 5x=> [ 2 x − 39 ] ≥ [ 3 − 5 x ]225 x − 3 y = 2 xy − 11Bài 22 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Biến đổi phương trình về dạng :x+522y = 2+=> x + 5 ≥ 2 x + 3 => [ x + 5 ] ≥ [ 2 x + 3]2x + 3Bài 23 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Đưa phương trình trở thành :[ y − 1] x 2 + [ y + 1] x + y − 1 = 0x2 − x + 1y= 2x + x +1TH1 : y=1=>x=0y ≠ 1 => ∆ x ≥ 0 TH2 :1≤ y ≤ 3 => y ∈ { 0;1; 2;3}3A=x2 + x + 1xy − 1Bài 24 : Tìm các cặp [x ; y] nguyên sao cho A có giá trị nguyên :HD :Biến đổi phương trình thành :x + y +1yA = x + 1 +=> x + y + 1 ≥ xy − 1 => [ x − 1] [ y − 1] ≤ 3xy − 12 [ y + z ] = x [ yz − 1]Bài 25 : Tìm các cặp số nguyên dương x,y,z biết :HD :Biến đổi phương trình thành :2 y + 2zx==> 2 y + 2 z ≥ yz − 1 => yz − 1 − 2 y − 2 z ≤ 0yz − 1A=Bài 26 : Tìm các cặp nguyên dương a, b biêt A có giá trị nguyên :HD :Biến đổi phương trình thành :2 [ a + b ] M[ ab + 2 ] => 2 [ a + b ] = k [ ab + 2 ]a2 − 2ab + 2Chứng minh k=1=>a=4, b=3x 2 − y 2 = 2003Bài 27 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :18GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713HD:[ x − y ] [ x + y ] = 2003Biến đổi phương trình thành:3 x 2 + 7 y 2 = 2002Bài 28 : Có tồn tại hay không hai số nguyên x, y thỏa mãn :HD:Biến đổi phương trinhg thành:x23. + y 2 = 286 => x 2 M7x 2 < 286 => 7 ≤ x ≤ 16x M7 => x = 7, x = 147vàvà2x = 7 => y = 165 [ l ]Vớix = 14 => y 2 = 202 [ l ]Vớix 3 + y 3 + z 3 = x + y + z + 2006Bài 29 : Có tồn tại hay không hai số nguyên x, y thỏa mãn :HD:Biến đổi phương trình thành:x 3 − x = x [ x 2 − 1] = [ x − 1] x [ x + 1] M3y 3 − y M3, z 3 − z M3Tương tự ta có:, Mà/32006 M, Vậy không tồn tại x,y,zx + 3 = 30262yBài 30 : Tìm các cặp số tự nhiên thỏa mãn :HD:y = 0 => x 2 = 3026 − 1 = 3025 => x = 55Xéty > 0 => 3 y M3x2 : 3Xétcòndư 0 hoặc 12yx +3 :3=>dư 0 hoặc dư 1, Mà 3026 chia 3 dư 2=> Vô lýx 2 − 2 y = 2005Bài 31 : Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên :HD:Với y Phương trình vô nghiệmnếu y=0,1,2,3=> Phương trình cũng vô nghiệmy > 3 => 2 y M8 => PT x 2 − 2005 = 2 y M8nếux 2 ≡ 5 [ mod 8 ]=>[ Vô lý] do số chính phương chia 8 dưa 0 hoặc 1 hoặc 4Bài 32: Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là 1 số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chuviHD:[1≤ x ≤ y < z]Gọi x, y là các cạnh của hình vuôngxy = 2 [ x + y + z ]x2 + y 2 = z 2ta có:và[2]222z = [ x + y ] − 2 xy = [ x + y ] − 4 [ x + y + z ]Khi đó ta có:19GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713=> [ x + y ] − 4 [ x + y ] + 4 = z 2 + 4 z + 42=> [ x + y − 2 ] = [ z + 2 ] => [ x + y − 2 = z + 2 ]22z = x+ y−4Thayvào [2] ta được5 x − 3 y = 2 xy − 11Bài 33 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :HD:5 x + 11x+5y== 2+=> 2 [ x + 5 ] M2 x + 3 => 7 M2 x + 32x + 32x + 3Đưa phương trình thành:x 2 − 2 x − 11 = y 2Bài 34 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :HD:[ x2 − 2 x + 1] − y 2 = 12 [ x − 1 − y ] [ x − 1 + y ] = 12Biến đổi phương trình thành:y [ x − 1] = x 2 + 2Bài 35 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :HD:x2 + 23y== x +1+x −1x −1Biến đôi phương trình thành:xy 2 + 2 xy − 243 y + x = 0Bài 36 : Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :HD:Biến đổi phương trình thành:222/ [ y + 1] => 243Mx [ y + 1] = 243 yyM[ y + 1]Vìx + y = xyBài 37 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :HD:Biến đổi phương trình thành:[ x − 1] [ y − 1] = 1xy + 1 = x + yBài 38 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :HD:[ x − 1] [ y − 1] = 0Biến dổi phương trình thành:x 2 − xy = 6 x − 5 y − 8Bài 39 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :HD:Biến đổi phương trình thành:x2 − 6 x + 83y== [ x − 1] +x −5x −520GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713x 3 − y 3 = xy + 8Bài 40 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :HD:Biến đổi phương trình thành:x − y = a3[ x − y ] + 3xy [ x − y ] = xy + 8 xy = b, Đặt:Khi đó phương trình trở thành:a3 − 8a 3 + 3ab = b + 8 => −b ==> a 3 − 8M3a − 1 => 27 [ a 3 − 8 ] M3a − 13a − 127 a 2 − 1 − 215M3a − 1 => 3a − 1 ∈U [ 215 ]xy − 2 x − 3 y + 1 = 0Bài 41 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :HD:Biến đổi phương trình thành:2x −15y== 2+x−3x −3x 2 y 2 − x 2 − 8 y 2 = 2 xyBài 42 : Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :HD:2y 2 x2 − 7 = [ x + y ][]Biến đổi phương trình thành:x= y=0Phương trình đã cho có nghiệm:x, y ≠ 0,x2 − 7Xét:từ [1] =>là 1 số chính phương22x − 7 = a => [ x − a ] [ x + a ] = 7Đặt=> Tìm đc x=> [0; 0], [4; -1], [4; 2], [-4; -1], [-4; -2][1]3 x 2 + 4 y 2 = 6 x + 13Bài 43 : Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :HD:Biến đổi phương trình thành:23 x 2 − 6 x + 3 = 16 − 4 y 2 => 3 [ x − 1] = 4 4 − y 2[]=> 4 − y 2 ≥ 0 => y 2 ≤ 4 => y ≤ 2 => y = 1, y = 221GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713DẠNG 5: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨCx4 + x2 + 1 = y 2Bài 1 : Tìm tất cả x,y nguyên thỏa mãn :HD:Ta có:x 2 + 1 ≥ 1 > 0 => y 2 = x 4 + x 2 + 1 > x 4 = [ x 2 ]2y 2 = x 4 + 2 x 2 + 1 − x 2 = [ x 2 + 1] − x 2 ≤ [ x 2 + 1]2Mặt khác[x ]2 2[1]2< y 2 ≤ [ x 2 + 1] => y 2 = [ x 2 + 1]2[2]2Từ [1] và [2] ta có:y =1=> x 4 + x 2 + 1 = x 4 + 2 x 2 + 1 x = 0 => y 2 = 1 => y = −1x4 − y 4 = 3 y2 + 1Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Ta có :x 4 = y 4 + 3 y 2 + 1 = y 4 + 2 y 2 + 1 + y 2 = [ y 2 + 1] + y 2 ≥ [ y 2 + 1]22x 4 = y 4 + 3 y 2 + 1 = y 4 + 4 y 2 + 4 − y 2 − 3 = [ y 2 + 2 ] − [ y 2 + 3] < [ y 2 + 2 ]2Mặt khác :[y2+ 1] ≤ x 4 < [ y 2 + 2 ] => x 4 = [ y 2 + 1]2222Khi đó :x 4 = y 4 + 2 y 2 + 1 => y 4 + 3 y 2 + 1 = y 4 + 2 y 2 + 1 => y = 0, x = ±1x3 − y 3 − 2 y 2 − 3 y − 1 = 0Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Ta có :3x 3 = y 3 + 2 y 2 + 3 y + 1 = y 3 + 3 y 2 + 3 y + 1 − y 2 ≤ [ y + 1][][1]3x = y + 2 y + 3 y + 1 = y − 3 y + 3 y − 1 + 5 y + 2 > [ y − 1]332[32]2mặt khác :33[ y − 1] < x3 ≤ [ y + 1]Khi đó : y = −133x = y => => x = −1 y = − 1 [l ]2TH1 :3x 3 = [ y + 1] => y 2 = 0 => x = 1TH2 :1 + x + x 2 + x3 = y 3Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :22GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713Ta có :21 3 31 + x + x 2 = x + ÷ + ≥ > 0 => y 3 = [ 1 + x + x 2 ] + x3 > x 32 4 4y 3 = x 3 + 3x 2 + 12 x + 8 − 5 x 2 − 11x − 7 = [ x + 2 ] − [ 5 x 2 + 11x + 7 ] < [ x + 2 ]23Mặt khác :Khi đó :x = 0y =133x 3 < y 3 < [ x + 2 ] => y 3 = [ x + 1] => => x = −1 y = 0Bài 5 : Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là 1 số chính phương :HD :x 4 + 2 x3 + 2 x 2 + x + 3 = y 2Đặtx 4 + 2 x3 + 2 x 2 + x + 3=> [ x 4 + 2 x 3 + x 2 ] + [ x 2 + x + 3 ] = [ x 2 + x ] + [ x 2 + x + 3] = y 22=> y 2 > [ x 2 + x ]2[x[1]2+ x ] < y 2 < [ x2 + x + 2]22Vậy ta cần chứng minhy 2 − [ x 2 + x ] = x 2 + x + 3 > 0 => y 2 > [ x 2 + x ]22Thật vậy :y 2 = [ x 2 + x + 2 ] = 3x 2 + 3x + 1 > 022x = 1y 2 = [ x 2 + x + 1] => x 2 + x − 2 = 0 => x = −22 x 2 + 3 y 2 + 4 x = 19Bài 6 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :24 x 2 + 6 y 2 + 8 x = 38 [ 2 x ] + 2.2 x.2 + 4 + 6 y 2 = 42Ta có :22[ 2 x + 2 ] + 6 y 2 = 42 ≥ [ 2 x + 2 ] ≥ 0[ 2x + 2]Mà2M4=> Tìm x => Tìm yx2 + 2 y 2 = 5Bài 7 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD :Ta có :2 y 2 M2mà 5 :2 dư 1=> x2 chia 2 dư 1=> x2 chia 8 dư 1=>2y2 +x2 chia 8 dư 1 hoặc 3mà 5 chia 8 dư 5=> Vô lývậy không có giá trị x, y nguyên thỏa mãn9 x + 5 = y [ y + 1]Bài 8 : Giải phương trình nghiệm nguyên :23GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713HD:Nhân với 4 ta có:36 x + 20 = 4 y 2 + 4 y36 x + 21 = 4 y 2 + 4 y + 1 = [ 2 y + 1]=>236 x + 21M3 => 2 y + 1M3 => [ 2 y + 1] M9Dovậy không tồn tại x, y nguyên, mà2/936 x + 21M=> Vô lý2 x 2 + 4 x = 19 − 3 y 2Bài 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên :HD:ta có:22 x 2 + 4 x + 2 = 21 − 3 y 2 => 2 [ x + 1] = 3 7 − y 2[=> 7 − y M2 => y2]x = 2y = ±1 => x = −42là số lẻ < 7=>2x + 3 = y 2Bài 10 : Tìm x, y nguyên sao cho :HD:x = 0 => y = ±2Xétx = 1 => y 2 = 5 =>XétVô lý2y 2 = 4k 2 + 4k + 1: 4x ≥ 2 => 2 M4 => VT : 4Vớidư 3=> y là số lẻ=> y=2k+1=>dư 1 [vl]Vậy không tồn tại x, y nguyên2 x + 57 = y 2Bài 11 : Tìm x, y nguyên sao cho :HD :TH1 : x là số lẻ :x = 2n + 1[ n ∈ N ] => 2 x = 2 2 n +1 = 2.4n = 2 [ 3 + 1]n= 2 [ B [ 3] + 1] = B [ 3] + 2n=>VP là 1 số chính phương chia 3 không dư 2TH2 : x là số chẵn :=> x = 2n [ n ∈ N ] => y 2 − 2 2 n = 57 => [ y + 2n ] [ y − 2n ] = 3.19y + 2n > 0 => y − 2 n > 0Thấy y + 2n = 57=> ny − 2 =1chia 3 dư 2y + 2n > y − 2nvà y + 2 = 19ny −2 = 3nhoặcx 4 + 4 x3 + 7 x 2 + 6 x + 4 = y 2Bài 12 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :HD:Ta có:[x4+ 4 x 3 + 4 x 2 ] + [ 3x 2 + 6 x + 4 ] = y 2 > [ x 2 + 2 x ] + 2 [ x 2 + 2 x ] + 1 + x 2 + 2 x + 3224GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713=> y 2 > [ x 2 + 2 x + 1] + [ x 2 + 2 x + 3]2y 2 ≤ [ x 2 + 2 x + 3]2Ta cần chứng minh:x 4 + 4 x 3 + 7 x 2 + 6 x + 4 ≤ x 4 + 4 x 2 + 9 + 4 x 3 + 12 x + 6 x 2Khi đó:[x2+ 2 x + 1] < y 2 ≤ [ x 2 + 2 x + 3]2vậy=> y 2 = [ x 2 + 2 x + 2 ]2y 2 = [ x 2 + 2 x + 3]22hoặcx 2 + y 2 + z 2 + xyz = 20Bài 13 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :HD:1 ≤ x ≤ y ≤ z => VT = x 2 + y 2 + z 2 + xyz ≥ x 2 + x 2 + x 2 + x 2 = 4 x 2Giả sử:x = 1=> 20 ≥ x 2 => x ≤ 2 => x = 2y 2 + z 2 + yz = 19 > y 2 + y 2 + y 2 = 3 y 2 => y 2 y =1y 2 < 6 => y = 2=>Nếu y=1=> Z không có giá trị, Nếu y=2=> z=3TH2 : Với x=2 làm tương tự1 1 1+ + =1x y zBài 14 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :HD:31 ≤ x ≤ y ≤ z => 1 ≤ => x < 3 => x ∈ { 2;3}xGiả sử:làm tương tự bài trên1 1 1 111+ + ++ +a b c ab bc caBài 15 : Tìm các số nguyên dương a, b, c đôi 1 khác nhau thỏa mãn :cógiá trị nguyênHD:ta có:A.abc = ab + bc + ca + a + b + c => a, b, cGiả sử :
a